Terminale S
Thème 1 – Théorème des valeurs intermédiaires
Définition 1 : Continuité sur un interalle
Intuitivement, une fonction continue est une fonction que l’on peut tracer “sans lever le crayon”. La définition rigoureuse fait intervenir la notion de limite. Conformément au programme, on se limitera à cette approche intuitive.
Exemple : La fonctionx7→ 1
x n’est pas continue surR(car non définie) . . . mais est continue sur tout intervalle ne contenant pas 0 (R∗+ par exemple)
1 2 3
−1
−2
−3
−4
−5
1 2 3
−1
−2
−3
−4
−5
Théorème 1 (admis) :
Pour justifier la continuité d’une fonction, on pourra utiliser les propriétés suivantes :
• Les fonctions usuelles (puissances, polynômes, inverse, homographiques, racine carrée, exponen- tielle, logarithme, sinus, cosinus) sont continues sur tout intervalle où elles sont bien définies.
• Les fonctions somme, différence, produit, quotient et composée de deux fonctions continues sont continues sur tout intervalle où elles sont bien définies.
• une fonction dérivable sur un intervalle est continue sur cet intervalle. La réciproque est fausse
! voir deuxième remarque.
Remarque :
• On rencontre rarement des fonctions non continues. C’est le cas par exemple de la fonction partie entière, que nous verrons en devoir maison.
• La fonction "valeur absolue" est continue mais non dérivable en 0.
fonction "Partie Entiere" Fonction "Valeur absolue"
1 2 3
−1
−2
−3
1 2 3 4
−1
−2
−3
−4
−5
−6
1 2 3 4
−1
−2
−3
1 2 3 4
−1
−2
−3
−4
−5
Théorème 2 (admis) : Le théorème des valeurs intermédiaires
Soient f une fonction définie et continue sur un intervalle I de Ret a et b deux réels dans I. Pour tout réel λcompris entref(a) etf(b), il existe un réelccompris entreaet btel que f(c) =λ.
Démonstration : Ce théorème est admis. On peut toutefois le justifier intuitivement. Puisque la fonctionf est continue, pour passer de f(a) à f(b) on doit forcément passer par toutes les valeurs comprises entre ces deux nombres. (Pour passer de 100 à 200, on passe forcement par toute température entre 10 et 20 degré).
Illustration :
a
f(a)
b f(b)
λ
f est continue sur [a;b] donc f prend au moins toutes les valeurs comprises entre f(a) et f(b) (et peut même prendre des valeurs en dehors de cet intervalle ... sur l’exemple, on a des valeurs inférieures à f(a)).
Autrement dit, pour toutλvariant dans [f(a);f(b)], l’équation f(x) =λadmet au moins une solution.
Remarque :Si la fonction n’est pas continue, on peut avoir le cas suivant pour lequelλ∈[f(a);f(b)] sans que l’équationf(x) =λn’admette de solution :
a
f(a)
b f(b)
x0
λ
Théorème 3 (admis) : Corollaire du TVI
Sif est une fonction continue et strictement monotone sur un intervalle fermé[a;b], alors, pour tout réel kcompris entref(a)etf(b), l’équation f(x) =k a une unique solution dans[a;b].
Illustration : Le corollaire
O ~ı
~
a b
f(a) f(b) k
c
Exercice résolu 1 :
Soitf la fonction définie sur ]0; +∞[ parf(x) = (2 + 3x)√ x.
1. Montrer que la fonction est strictement croissante surR+∗.
2. Montrer que l’équationf(x) = 10 admet une unique solution sur l’intervalle [1; 5].
Solution :
1. la dérivée de la fonction f est
f′(x) = 3√
x+ (2 + 3x) 1 2√ x
= 6x
2√
x+2 + 3x 2√
x
= 9x+ 2 2√
x
Puisque xest dans ]0; +∞[, donc strcitement positif, alors 9x+ 2 et 2√
xle sont aussi et donc f′(x) est strictement positif. En conclusion, la fonctionf est strictement croissante.
2. • La fonctionf est continue par composition de fonctions contniues ;
• f(1) = 5 est inférieur à 10.
• f(5) = 17√
5 est supérieur à 10.
d’après le théorème des valeurs intermédiaires, l’équationf(x) = 10 admet au moins une solu- tion.
De plus, la fonctionf est strictement croissante (voir ci-dessous), donc la solution est unique.
