MPSI 2 Semaine 23
Exercice 1 Intégration 1. Calculer, poura < b,Rb
a E(x)dxen justifiant son existence (E est la partie entière).
2. Soitf une fonction continue sur[a;b]à valeurs réelles. Montrer que si Z
[a;b]
f
= Z
[a;b]
|f|, alorsf est de signe constant sur[a;b].
3. Soitf continue de[0; 1]dansRtelle que Z
[0;1]
f = 1/2. Montrer quef a un point fixe en montrant quex7→f(x)−xn’est pas de signe constant.
4. Soit nun entier naturel etf une fonction continue de[a;b] dansR. Montrer que sif s’annulen fois sur [a;b], alors il existe un polynôme P de degré inférieur à n tel quex7→ f(x)P(x)soit de signe constant sur [a;b]. En déduire : si ∀0 ≤k≤n,
Z b
a
tkf(t)dt = 0, alorsf s’annule au moins n+ 1fois.
5. Soitf continue de[0; 1]dans lui-même telle que Z 1
0
f = Z 1
0
f2. Montrer quef est constante (égale à 0 ou 1).
6. Soitf continue sur[a;b]à valeurs réelles. Montrer Z b
a
fcos
!2
+ Z b
a
fsin
!2
≤(b−a) Z b
a
f2 et étudier le cas d’égalité.
7. Étudier les infimum, minimum, supremum et maximum de la quantité Z b
a
f× Z b
a
1
f pourf variant dans l’ensembleC0([a;b];R∗+).
8. Soitf etgcontinues par morceaux de[0; 1]dansR+telles quef g≥1. Montrer Z
[0;1]
f Z
[0;1]
g≥1.
9. Pourpréel supérieur à1etf dansL1([a;b]), on pose||f||p= Z b
a
|f|p
!1/p
et||f||∞= sup[a;b]|f|.
Montrer ||f||p≤ ||f||∞ et, sif est continue,limp→+∞||f||p=||f||∞.
10. En utilisant l’inégalité de Hölder (ou l’inégalité de Jensen, voir Exercice 6), montrer que, pourf dansL1([0; 1]),p7→ ||f||p est croissante.
11. Déterminer lim
n→+∞
Z π
0
sin(x)
n+xdx, lim
n→+∞
Z 1
0
xn
1 +xdxet lim
n→+∞
Z 1+1/n
1
√1 +xndx.
12. Soit f continue de[0; 1] dansR. Montrer queIn = Z 1
0
xnf(x)dx tend vers 0 lorsquen tend vers l’infini et, plus précisément lim
n→+∞nIn =f(1).
13. Montrer que la suite définie parun= Z π/2
0
sinn(x)dxest décroissante et minorée. Montrer de plus qu’on aun ≤π
2
1− 1
√n n
+π
2 −arcsin
1− 1
√n
et déterminer la limite de(un).
14. Montrer que la suite précédente est donnée par u2n = π 2
(2n)!
22n(n!)2 et u2n+1 = 22n(n!)2 (2n+ 1)! et en déduire
π 2 = 2·2
1·3 4·4 3·5
6·6 5·7
8·8 7·9
10·10 9·11 · · ·
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Exercice 2 Sommes de Darboux/Riemann
SoitI un intervalle compact etD une subdivision de I. On dit que (D, ζ) est une subdivision pointée si ζ = (ζi)1≤i≤n est une suite de points telle que, pour 1 ≤i≤n, xi−1 ≤ ζi ≤ xi. On définit alors la somme de RiemannS(f;D, ζ)par
S(f;D, ζ) =
n
X
i=1
(xi−xi−1)f(ζi).
1. Soitf dansL1(I)et (D, ζ)une subdivision pointée deI. Montrer s(D;f)≤S(f;D, ζ)≤S(f;D).
En déduire que si le pas deDtend vers 0, alorsS(f;D, ζ)tend versR
If. 2. Soit(un)n≥1la suite réelle définie parun=
n
X
k=1
n
n2+k. Écrireuncomme une somme de Darboux et en déduire que la suite(un)est convergente. Déterminer sa limite,`, puisatel queun=`+na+o n1
. 3. Étudier un= 1
n
sinπ
n+ sin2π
n +. . .+ sinnπ n
. 4. Étudier un= 1 +√
2 +· · ·√ n n√
n .
5. Étudier un= 1 n
1
(1 + 1/n)2 + 1
(1 + 2/n)2 +· · ·+ 1 (1 +n/n)2
. 6. Étudier un=
n
X
k=1
n+k2 n3+k3. 7. Étudier un=
2n
X
k=n
k+ 1 n2+kn. 8. Étudier un=
n
Y
k=1
1 + k
n 1/n
. 9. CalculerIα=
Z π
0
ln(1−2αcos(x) +α2)dxgrâce à des sommes de Riemann (en prenantζi le plus grand possible et pour une subdivision de pas constant) et montrerIα= 0si|α|<1et2πln|α|si
|α|>1.
10. Que dire pour|α|= 1dans la question précédente ?
11. Soitf une fonction continue, positive et décroissante surR∗+. On poseun =
n
X
k=1
f(k)etvn= Z
[1;n]
f. Montrer un−f(1)≤vn ≤un−1et en déduire que (un)et (vn)sont de même nature. En déduire la nature deun=
n
X
k=1
k−αpourα∈R.
Exercice 3 Différentiation
1. Démontrer que la dérivée d’une fonction dérivable paire (resp. impaire) est impaire (resp. paire).
2. Démontrer que la dérivée d’une fonction dérivable périodique l’est également.
3. Le produit de deux fonctions peut-il être dérivable en un point sans qu’au moins l’une des deux fonctions ne soit dérivable en ce point ?
4. Reprendre la question précédente pour la composée de deux fonctions.
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5. La fonctionx7→1/(1 +|x|)est-elle dérivable surR? 6. La fonctionx7→cos(√
x)est-elle dérivable (à droite) en 0 ?
7. Dire si les fonctions de R dans R suivantes sont continues, dérivables. Si oui, combien de fois sont-elles dérivables ?
(a) x7→ |x|.
(b) x7→x|x|.
(c) La fonction définiex7→e−1/x surR∗+ et nulle surR−.
(d) La fonction définiex7→e−1/x surR∗+ et parx7→1−e−x surR−.
(e) La fonction définie parx7→xnsin(1/x)surR∗ et nulle en0, pournentier entre 0 et 4.
(f) La fonction définie par x7→xnsin(1/x3)surR∗et nulle en 0.
8. Donner la dérivée n-ème desin, dex7→x2sin(x), dex7→xn−1ln(1 +x)(sur]−1; +∞[).
9. Montrer, grâce au théorème de Bolzano, qu’une fonction continue et injective sur un intervalle est monotone. En déduire qu’une telle fonction, si elle est dérivable, a une dérivée de signe constant (Attention !on ne suppose pas la fonction continûment dérivable.)
10. Déduire de la question précédente, le théorème de Darboux : la dérivée d’une fonction vérifie le théorème des valeurs intermédiaires (Bolzano) même si elle n’est pas continue.
11. Trouver toutes les fonctions dérivables deRdans lui-même telles que∀(x, y)∈R2,f(x+f(y)) = f(y+f(x)).
Exercice 4 Polynômes
SoitP un polynôme à coefficients réels. On dit que P est hyperbolique s’il a nracines réelles. Dans la suiteP est un polynôme hyperbolique de degrén≥2.
1. Montrer que si les racines deP sont distinctes, alorsP0 est hyperbolique à racines distinctes.
2. Montrer qu’en faitP0 est toujours hyperbolique.
3. Montrer que siαest une racine multiple deP0, alors c’est aussi une racine deP.
4. Montrer (P0)2−P.P”ne prend que des valeurs positives sur R.
Exercice 5 Théorèmes de Rolle (Bonnet) et de Lagrange
1. Soit f deux fois dérivable sur ]a;b[, de dérivée continue sur[a;b]et telle que la corde du graphe def correspondant àaetb est égale à la tangente au graphe correspondant àa. Montrer quef” s’annule sur]a;b[.
2. Soientf etgdeux fonctions à valeurs réelles, continues sur[a;b], dérivables sur]a;b[. Montrer qu’il existec∈]a;b[tel que
f(b)−f(a) f0(c) g(b)−g(a) g0(c)
= 0.
3. Soit f une fonction continue de [a; +∞[ dans R, dérivable sur ]a; +∞[. Montrer ( lim
x→+∞f(x) = f(a))⇒(f0 s’annule sur]a; +∞[). Montrer( lim
x→+∞f0(x) =`)⇒( lim
x→+∞f(x)/x=`).
4. Soitf deux fois continûment dérivable sur[a;b]et y=ϕ(x)l’équation de la corde de son graphe associée àaetb. Montrer∃c∈]a;b[,f(x)−ϕ(x) = 1
2(x−a)(x−b)f”(c)et en déduiresup
[a;b]
|f−ϕ| ≤
(b−a)2
8 sup
[a;b]
|f”|.
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5. (Escalier du diable) Soit f la fonction définie sur [0; 1] ainsi : si x = P
iai3−i est l’écriture en base 3 de x(ai ∈ {0,1,2}), alors f(x) s’obtient en convertissant tous les 2 apparaissant avant le premier 1 en 1 et en éliminant tous les autres chiffres, i.e. f(x) = P
i<jbi2−i avec bi = ai/2 et j = min{k| ak = 1}. Montrer que f vaut1/2 sur [1/3; 2/3],1/4 sur [1/9; 2/9], 3/4 sur[7/9; 8/9]
et qu’elle est continue et croissante (au sens large) sur [0; 1]. Montrer de plus qu’elle est dérivable de dérivée nulle en presque tous les points de [0; 1]. Est-ce un contre-exemple au théorème de Lagrange ?
Exercice 6 Convexité
1. Montrer qu’une fonction est convexe surIsi et seulement si la fonctionp(x, y) = (f(x)−f(y))/(x−
y), définie pourx6=ydansI, est une fonction croissante de la variablex(àyfixé) et de la variable y (àxfixé).
2. Montrer qu’une fonction convexe sur I =]a;b[ y est dérivable à gauche et à droite, et est donc continue, et qu’on afg0(a)≤fd0(a)≤p(a, b)≤fg0(b)≤fd0(b).
3. En déduire que le graphe de f est au-dessus de toute droite passant par (a, f(a)) et de pente p comprise entrefg0(a)etfd0(a). En déduire enfin quef est enveloppe supérieure de fonctions affines.
4. Montrer qu’une fonction deux fois dérivable sur un intervalle ouvertI est convexe si et seulement si f0 est croissante ou encore si et seulement sif” est positive. On pourra utiliser le théorème de Lagrange et les deux premières questions.
5. Montrer qu’une fonction convexe surR+ et bornée est décroissante.
6. Montrer ∀x∈ 0;π2
, 2
πx≤sin(x)≤xet préciser les cas d’égalité.
7. Montrer ∀x >−1, x
x+ 1 ≤ln(x)≤xet préciser les cas d’égalité.
8. Montrer ∀x≥0,∀n∈N∗,xn+1−(n+ 1)x+n≥0et préciser les cas d’égalité.
9. (Inégalité de Jensen) Soitf une fonction convexe deIdansR. En utilisant la question 3, montrer
∀(x, y)∈I2,f(x)≥f(y) +fg0(y)(x−y). Soit de plusg de[0; 1]dansI une fonction continue par morceaux. Montrer qu’il existe u dans [0; 1] tel que g(u) =
Z 1
0
g et qu’on a ∀x∈ I, f(g(x))≥ f(g(u)) +fg0(g(u))(g(x)−g(u)), puis
Z 1
0
f◦g≥f Z 1
0
g
. 10. Soitf continue de[a;b]dansR∗+. Montrer 1
b−a Z b
a
ln◦f ≤ln 1 b−a
Z b
a
f
! . 11. Calculer lim
n→+∞
1 n−1
Z n
1
1 + 1
x x
dx.
12. Plus généralement, soit f convexe deI dans R,g continue par morceaux de [a;b] dansI et hde [a;b] dansR+ tel que
Z b
a
h= 1. Montrerf Z b
a
g(x)h(x)dx
!
≤ Z b
a
h(x)f◦g(x)dx.
13. Soit f un fonction définie sur un intervalle I et à valeurs strictement positives. On dit que f est logarithmiquement convexe siln(f)est convexe. Montrer qu’alorsf est convexe.
14. Montrer que le produit de deux fonctions logarithmiquement convexes est logarithmiquement convexe.
15. Montrer quef est logarithmiquement convexe si et seulement si le trinômex2f(t) + 2xf0(t) +f”(t) ne prend que des valeurs positives. En déduire que la somme de deux fonctions logarithmiquement convexes est logarithmiquement convexe.
16. Montrer quer7→Mr(λ)r est logarithmiquement convexe.
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