Chapitre VI : LA FONCTION EXPONENTIELLE I - Définition Théorème-définition 1 : Il existe une unique fonction

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Chapitre VI : LA FONCTION EXPONENTIELLE

I - Définition

Théorème-définition 1 :

Il existe une unique fonction , dérivable sur ℝ, de dérivée ’ égale à , et telle que (0) = 1.

Cette fonction est appelée fonction exponentielle.

Remarque : L’existence d’une telle fonction est admise. L’unicité a été démontrée dans l’exercice II d’introduction.

Notation : La fonction exponentielle est notée exp : exp : ℝ → ℝ

↦ exp ()

On obtient alors les égalités : exp(0) = 1 et pour tout réel, (exp())′ = exp()

Première propriété

Propriété 1 : La fonction exponentielle est strictement positive sur ℝ.

II - Propriétés algébriques et notation

1) Relation fonctionnelle

Propriété 2 :

Pour tous réels et on a : exp( + ) = exp () × exp ()

Remarque : Cette relation a été démontrée dans l’exercice II d’introduction.

Propriété 3 : Conséquences

Pour tous réels et et tout entier naturel on a : 1) exp(−) = 1

exp ()

2) exp( − ) =exp () exp () 3) exp() = exp ()

Remarque : Les points 1) et 3) permettent d’énoncer un résultat plus général pour tout entier relatif .

2) Notation « puissance »

Définition 2 :

L’image de 1 par la fonction exponentielle est notée e : on a alors exp(1) = e.

2 Remarques :

1) A l’aide de la calculatrice, on obtient e ≈ 2,718 …

2) La propriété 3 nous permet d’écrire que, pour tout entier relatif : exp() = exp( × 1) = exp (1) = e

De plus, la fonction exponentielle possède les mêmes propriétés que les fonctions puissances, on utilisera donc la notation : pour tout réel , exp() = e^!

Réécriture, avec cette nouvelle notation, des propriétés déjà rencontrées :

Propriété 4 :

1) Pour tout réel : (e^!)′ = e^! et e^!> 0 2) e^#= 1 et e^$ = e

Pour tous réels et et tout entier relatif on a : 3) e^%! = 1

e^!

4) e^!%' = e^! e^' 5) e^! = e^!

III - Étude de la fonction exponentielle

1) Variations

Propriété 5 :

La fonction exponentielle est strictement croissante sur ℝ.

Remarque : C’est une conséquence directe de la définition 1 et de la propriété 1.

Conséquences pratiques pour les résolutions d’équations et d’inéquations : Pour tous réels et , on a :

e^! = e^' ⇔ = et e^!< e^' ⇔ <

2) Limites

Propriété 6 : 1) lim

!→./e^! = +∞

2) lim

!→%/e^! = 0

3 3) Représentation graphique

Remarques :

1) L’axe des abscisses est asymptote à la courbe lorsque tend vers −∞.

2) Au point d’abscisse 0, la tangente à la courbe a pour équation = + 1 3) Au point d’abscisse 1, la tangente à la courbe a pour équation = e

IV - Fonctions 1 ↦ 2³⁽¹⁾

Propriété 7 :

Soit 4 une fonction dérivable sur un intervalle 5 de dérivée 4’.

La fonction ↦ e^6(!) est dérivable sur 5 et sa dérivée est la fonction ↦ 4⁷() × e^6(!). Plus simplement, on peut écrire : (e⁶)⁷= 4′e⁶

Exemple : Calculer la dérivée de : ↦ e^8!²%$

Propriété 8 :

Si 4 est une fonction dérivable sur un intervalle 5, alors les fonctions 4 et e⁶ ont le même sens de variation sur 5.

V - Autres limites

Propriété 9 : 1) lim

!→./

e^!

= +∞ et pour tout entier naturel , lim

!→./

e^!

= +∞

2) lim

!→%/e^! = 0 et pour tout entier naturel , lim

!→%/e^! = 0 3) lim

!→#

e^!− 1 = 1

Remarque : Ces cinq formules correspondent au départ à des formes indéterminées.

Les 4 premières se traduisent par « l’exponentielle l’emporte sur toutes les puissances entières de ».

La cinquième est la traduction du taux d’accroissement de la fonction exponentielle en 0.

−∞

⁷() =e

() = e