Chapitre 10 : La fonction exponentielle I- Définition et propriétés

Chapitre 10 : La fonction exponentielle

I- Définition et propriétés

Théorème et définition ( admis ) :

Il existe une et une seule fonction f définie et dérivable sur ℝ telle que :

{

Cette fonction est appelée fonction exponentielle et on la note exp On a donc exp ( 0 ) = 1 et une valeur approchée de exp(1) est 2,718

Théorème : Pour tous réels x et y , on a : exp ( x + y ) = exp (x) × exp(y) Ce théorème permet d’établir d’autres propriétés algébriques bien utiles :

Propriété :

Pour tous réels x et y , on a : 1) exp ( – x ) = 1 exp(x) 2) exp ( x – y ) = exp(x)

exp(y)

3) (exp(x))ⁿ = exp(nx) n ∈ ℤ Démonstration :

1) vu dans l’activité

2) exp₍x₋y_)=exp(x₊₍₋y_))=exp(x_)+exp(−y₎= exp(x)× 1

exp(y) = exp(x) exp(y) 3) (exp(x))ⁿ=exp(x)×exp(x)×…×exp(x) = exp(x+x+…+x) = exp(nx)

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II- La notation puissance

Les propriétés précédentes faisant penser aux propriétés des puissances, on écrit ainsi plutôt exp(x) sous la forme e^x.

La fonction exponentielle peut donc être définie par : exp : ℝ → ℝ^+∗

x e^x Les propriétés précédentes peuvent alors se réécrire :

e⁰ = 1 ; e¹ = e ≈ 2,718 ; e^x+y=e^x×e^y ; ^{e– x= 1}

e^x ; ^{ex– y}=e^x

e^y et pour tout entier n , (e^x)ⁿ = e^nx

III- Etude de la fonction exponentielle

a) Sens de variation et signe Propriétés :

1) La fonction exponentielle est définie, dérivable sur ℝ et (e^x)'_=ex

2) Pour tout réel x, e^x>0

3) La fonction exponentielle est strictement croissante sur ℝ Démonstration :

Prop 2 : Voir activité

Prop 3 : Trivial à l’aide du 2) et de _e^x'=e^x

b) Tableau de variation

x –∞ 0 +∞

f '(x) + +

f(x) 0

1

+∞

Courbe représentative .

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c) Equations et inéquations

Propriétés Pour tout réel x et y :

• e^x=e^y ⇔ x = y

• e^x<e^y ⇔ x < y

Ces propriétés sont des conséquences de la continuité de la fonction exponentielle et de la stricte croissance

On a évidemment les équivalences analogues en remplaçant le symbole < par ≤ ou ≥ ou >

d) Fonctions exponentielles f (x)=e^kx et g(x) = e^−kx Théorème Soit k un réel strictement positif.

• Les fonctions f et g définies par f (x)=e^kx et g(x)=e^−kx sont dérivables sur ℝ et on a f '(x)=k e^kx et g '(x)=−k e^−kx

Variations On sait que pour tout X ∈ ℝ , e^X>0 on a donc e^kx > 0 et e^−kx > 0 . Comme k est strictement positif, f '(x) est donc positive et g '(x) est négative d'où la propriété suivante :

Propriété k est un réel strictement positif La fonction f définie par f(x) = e^kx est strictement croissante sur ℝ et sa courbe représentative est de la forme :

La fonction g définie par g(x) = e^−kx est strictement décroissante sur ℝ et sa courbe représentative est de la forme :

IV- La fonction exponentielle et les suites géométriques

Théorème

La suite (un) définie pour tout entier naturel n par un=e^na est géométrique de raison e^a Démonstration :

un+1=e^(n+1)a = e^na+a = e^na×e^a = e^a×un donc u_n est une suite géométrique de raison e^a

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