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Van In © - Le nouvel Actimath 2 1 Ch. 5 - Propriétés des puissances
Remédiation - Propriétés des puissances
Produit de puissances de même base
Pour multiplier des puissances de même base, on conserve la base et on additionne les exposants.
Exemples a3 . a5 = a 3 + 5 = a8 2a2 . 5a4 = (2.5).(a2.a4) = 10.a2+4 = 10 a6 4a . 2a = (4.2).(a1.a1) = 8.a1+1 = 8a2 -2a . 3a2 = (-2.3) . (a1.a2) = -6.a1+2 = -6 a3 Fais de même en notant tous les détails de ta démarche.
a2 . a4 = a2+4 = a6 3a . 5a = (3.5).(a1.a1) = 15.a1+1 = 15a2 2a3 . 3a2 = (2.3).(a3.a2) = 6.a3+2 = 6a5 -4a2 . 3a5 = (–4.3).(a2.a5)=-12.a2+5=–12a7 2a . 3a5 = (2.3).(a1.a5) =6.a1+5 = 6a6 -a . (-3a) = ((–1).(–3)).(a1. a1) = 3.a1+1= 3a2
Puissance d'une puissance
Pour élever une puissance à une autre puissance, on conserve la base et on multiplie les exposants.
Exemple (a3)5 = a 3 . 5 = a15
Fais de même en notant tous les détails de ta démarche.
(a5)2 = a5.2 = a10 (b3)3 = b3.3 = b9 (a3)4 = a3.4 = a12
Puissance d'un produit
Pour élever un produit de facteurs à une puissance, on élève chaque facteur à cette puissance.
Exemples (3.a)2 = 32 . a2 = 9 a2 (a2.b3)4 = (a2)4 . (b3)4 = a8 b12 (–2.a)3 = (– 2)3 . a3 = – 8 a3 (2.a4)3 = 23 . (a4)3 = 8 a12 Fais de même en notant tous les détails de ta démarche.
(5.x)2 = 52 . x2 = 25 x2 (xy3)4 = x4 . (y3)4 = x4y12 (–3.x)2 = (–3)2 . x2 = 9 x2 (3a2)2 = 32 . (a2)2 = 9 a4
(–2.a)5 = (–2)5 . a5 = – 32 a5 (-2a4)3 = (-2)3 . (a4)3 = - 8 a12 (10.c)3 = 103 . c3 = 1000 c3 (5ab)3 = 53 . a3 . b3 = 125 a3b3 (a5.b2)3 = (a5)3 . (b2)3 = a15b6 (3ab4)2 = 32 . a2 . (b4)2 = 9 a2b8
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Contrôle des connaissances
Complète l'égalité et énonce la propriété utilisée.
(1) a3 . a5 = a8 Pour multiplier des puissances de même base, on conserve la base et on additionne les exposants.
(2) (a3)2 = a6 Pour élever une puissance à une autre puissance, on conserve la base et on multiplie les exposants.
(3) (a
.
b)3 = a3 b3 Pour élever un produit de facteurs à une puissance, on élève chaque facteur à cette puissance.Reconnais la propriété que tu dois utiliser en notant son numéro entre parenthèses.
Ensuite, applique cette propriété afin de donner une écriture simplifiée du calcul.
(1) b3
.
b5 = b8 (3) (ab)4 = a4 b4 (1) 4a.
5a4 = 20 a5 (1) a.
a2 = a3 (2) (x3)3 = x9 (2) (2a)3 = 8 a3 (2) (a2)4 = a8 (1) 3a2.
2a3 = 6 a5 (2) (b5)2 = b10Exercices
1) Entoure la bonne réponse parmi les trois proposées.
3a3 . 2a2 = 5a6 6a6 6a5 5a . a5 = 6a6 5a6 5a5 4a . 4a4 = 16a5 8a5 16a4 (2ab)3 = 8ab3 6a3b3 8a3b3
(a4)4 = a8 a16 a256 2(a3b)2 = 2a6b2 8a6b2 2a5b2 (5a5)2 = 10a10 25a7 25a10 - a3 . 3a = 2a3 -3a4 2a4 (-4a4)2 = 16a8 -8a8 8a6 -3a . 2a = -a -6a2 -5a 2) Code l'expression, puis, écris-la sans parenthèses.
Le carré de 3a : (3a)2 = 9 a2 Le cube de b2 : (b2)3 = b6
Le cube de 2c : (2c)3 = 8 c3 Le cube de 5b2 : (5b2)3 = 125 b6 Le carré de a5 : (a5)2 = a10 Le carré de 3a5 : (3a5)2 = 9 a10
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3) Utilise les propriétés des puissances.
Propriété 1 Propriété 3 Propriétés 2 et 3
a3
.
a2 = a5 (ab)4 = a4 b4 (2a3)4 = 16 a12 b.
b4 = b5 (2a)4 = 16 a4 (5a2)3 = 125 a6 2a5.
2a2 = 4 a7 (-3b)2 = 9 b2 (2ab2)3 = 8 a3b6 – 2a3.
4a5 = – 8 a8 (–2a)3 = – 8 a3 (-4a2)3 = – 64 a6 2a.
(–3a4 ) = – 6 a5 (–3ab)3 = – 27 a3b3 (-3ab2)4 = 81 a4b84) Reconnais la propriété qu’il faut utiliser, puis effectue en notant éventuellement les détails de ton raisonnement.
4a2.5a3 = 20 a5 (-4a2)3 = – 64 a6 (a4)2 = a8
(-4a)2 = 16 a2 -4a . 5a2 = – 20 a3 (-10x3)3 = – 1000 x9 (3ab)2 = 9 a2b2
-2a .(-3a) = 6a2
(-2x)5 = – 32 x5 -4 . (a5)2 = – 4 a10 (3a3)3 = 27 a9 (-5a2)2 = 25 a4 -5a2 . a2 = – 5 a4 -3 . (a3)2 = – 3 a6 -5a5 . 5a5 = – 25 a10 (-5a5)3 = – 125 a15 5) Reconnais la propriété qu’il faut utiliser, puis effectue.
a5 . (-a2) = – a7 b4 .(-b4) = – b8 (-2a2).(-a2) = 2 a4 (-ab)4 = a4b4 (b4)2 = b8 (-3a2b)2 = 9 a4b2 (c3)2 = c6 (-2b3)4 = 16 b12 -3(a2b3)4 = – 3 a8b12 (-2.b)3= – 8 b3 -2a3 . 3a4 = – 6 a7 (4ab2)3 = 64 a3b6 -3x . x4 = – 3 x5 (-6x)2 = 36 x2 (-3x).(-5x) = 15 x2 (3a)3 = 27 a3 (-3b)3 = – 27 b3 (-2a3b)4 = 16 a12b4 -3x . 2x = – 6 x2 (-a3bc2)4 = a12b4c8 (b4)3 = b12
(-2.x2)3 = – 8 x6 -2.(a3b)3 = – 2 a9b3 3 . 2a3 = 6 a3 (-2a) . (-3a) = 6 a2 (ab2c3)2 = a2b4c6 (-5a5)2 = 25 a10 2a3.5b3 = 10 a3b3 2ab4.(-3a2b) = – 6 a3b5 2ab.3ab4 = 6 a2b5
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Calcul littéral – Exercices divers avec parenthèses
Rappel : reconnaître la règle à appliquer
7a
.
(– 2) = - 14a Simple produit(7a)2 = (7 . a)2 = 72 . a2 = 49 a2 Puissance d'un produit
(–3a)2
.
3 = (-3)2 . a2 . 3 = 9a2 . 3 = 27a2 Puissance d'un produit puis simple produit 7.
(a + 2) = 7a + 14 Distributivité simple(3 + a2)
.
(a + 2) = 3a + 6 + a3 + 2a2 Distributivité double5a – (a2 – 5) = 5a – a2 + 5 Suppression de parenthèses précédées de "–"
a + (-2a2 - 1) = a – 2a2 - 1 Suppression de parenthèses précédées de "+"
Reconnais le type de calcul, puis écris sans parenthèses.
(6x)2 = 36x2 (– 5a2)3 = – 125a6
6
.
(x + 3) = 6x + 18 – 5+
(- a2 – 3) = – 5 – a2 – 3 = – 8 – a2 6x.
(– 3) = – 18x (–5a)2.
3 = 25a2 . 3 = 75a2– 6
-
(x – 3) = – 6 – x + 3 = – 3 – x (5 + a2).
(a + 3) = 5a + 15 + a3 + 3a2 (– 2x)7 = – 128x7 (a3 – 5).
(a2 + 3) = a5 + 3a3 – 5a2 – 15 -3.
(2x + 3) = – 6x – 9 5-
(- a2 – 1) = 5 + a2 + 1 = 6 + a26x
.
(– 3) = – 18x (5a2)2 = 25a4(-3x)2 = 9x2 – 5 + (a2 + 3) = – 5 + a2 + 3 = – 2 + a2 –6
.
(x – 3) = – 6x + 18 4 + a2.
(a + 2) = 4 + a3 + 2a22 . (3x)2 = 2 . 9x2 = 18x2 (4 + a2)
.
(a + 2) = 4a + 8 + a3 + 2a2 -3-
(2x + 3) = – 3 – 2x – 3 = – 6 – 2x 5a7.
(- a2)3 = 5a7 . (–a6) = – 5a13 6x+
(–3 + x) = 6x – 3 + x = 7x – 3 -2a. (a2 + a) = – 2a3 – 2a2-3.(3x)2 = – 3 . 9x2 = – 27x2 – 5 - (-a2 - 3) = – 5 + a2 + 3 = – 2 + a2 –4
.
(x – 3) = – 4x + 12 (-3 + a2) . (- a + 2) = 3a – 6 – a3 + 2a2 -2 . (3 - 2x) = – 6 + 4x (-3 + a2)-
(- a + 2) = -3 + a2+
a – 2= a2 + a – 5
Le nouvel Actimath 2 - Chapitre 5 – Activité 5 à 8 p. 106 à 110
Le nouvel Actimath 2- Chapitre 5 - Exercices complémentaires Série A : 7 à 11 p. 112
