Remédiation
–Les inéquations
A) Propriétés des inégalités
Une inéquation est une inégalité. Pour résoudre sans problème les inéquations, tu dois connaître les propriétés des inégalités.
1) Redécouverte des propriétés
Dans chaque cas, complète la 2e inégalité.
Ex. 1 Ex. 2 Ex. 3 Ex. 4 Ex. 5
6 > –3 6 > –3 6 > –3 6 > –3 6 > –3
8 > – 1 1 > – 8 24 > –12 –12 < 6 – 2 < 1
En utilisant les exemples ci-dessus, complète les phrases.
Si on ajoute un même nombre réel aux deux membres d'une inégalité, on obtient une inégalité de même sens (exemple n° 1)
Si on retire un même nombre aux deux membres d'une inégalité, on obtient une inégalité de même sens (exemple n° 2)
Si on multiplie les deux membres d'une inégalité par un même nombre réel strictement positif, on obtient une inégalité de même sens (exemple n° 3) Si on multiplie les deux membres d'une inégalité par un même nombre réel strictement négatif, on obtient une inégalité de sens contraire (exemple n° 4) Si on divise les deux membres d'une inégalité par un même nombre réel strictement négatif, on obtient une inégalité de sens contraire (exemple n° 5)
2) Exercices
Complète les inégalités et vérifie les propriétés énoncées ci-dessus.
- 3 < 5 - 3 < 5 - 3 < 5 - 3 < 5 - 3 < 5 - 3 < 5
⇓ ⇓ ⇓ ⇓ ⇓ ⇓
- 6 < 2 - 5 < 3 – 6< 10 6 > – 10 0 < 8 - 6 < 10
12 > - 8 12 > - 8 12 > - 8 12 > - 8 12 > - 8 12 > - 8
⇓ ⇓ ⇓ ⇓ ⇓ ⇓
3 > – 2 - 6 < 4 10 > – 10 - 24 < 16 - 12 < 8 15 > – 5
+2 ⇓ +2 -5 ⇓ –5 . 4 ⇓ . 4 .(-2) ⇓ .(-2) : (-3) ⇓ : (-3)
B) Etre ou ne pas être solution ?
Parmi les nombres proposés entre parenthèses, quels sont ceux qui sont solutions de l'inéquation ?
3x > - 12 (– 5, – 4 , 0, 6) x + 3 ≤ -4 (-9 , -7 , 0 , 1)
0 car 3 . 0 > – 12 ; en effet 0 > – 12 – 9 car – 9 + 3 < – 4 ; en effet, – 6 < – 4 6 car 3 . 6 > – 12 ; en effet 18 > – 12 – 7 car – 7 + 3 < – 4 ; en effet, – 4 = – 4
-2x ≥ - 10 (– 5 , 0, 5, 7) x - 7 > 2 (-9 , -7 , 0 , 1) – 5 car – 2 . (– 5) > – 10 ; en effet 10 > – 10 Aucun nombre n’est solution.
0 car – 2 . 0 > – 10 ; en effet 0 > – 10 5 car – 2 . 5 = – 10 ; en effet – 10 = – 10
C) Résolution d'inéquations élémentaires (un nombre "gêneur")
Résous chaque inéquation en indiquant à côté des flèches la manière dont tu as neutralisé le nombre "gêneur". Attention, pense aux propriétés des inégalités revues à la page précédente.
Vérifie ta solution avec 3 nombres bien choisis.
x + 2 > 7 3x < 12 – 2x ≥ – 8
– 2 – 2 : 3 : 3 : (– 2) : (– 2)
x > 5 x < 4 x ≤ 4
6 + 2 > 7 ; 8 > 7 3 . 0 < 12 ; 0 < 12 – 2 . 4 = – 8 ; – 8 = – 8 9 + 2 > 7 ; 11 > 7 3 . 1 < 12 ; 3 < 12 – 2 . 0 > – 8 ; 0 > – 8 20 + 2 > 7 ; 22 > 7 3 . 2 < 12 ; 6 < 12 – 2 . 1 > – 8 ; – 2 > – 8
– 5 + x > –2 -3x > 6 – x ≤ – 8
+ 5 + 5 : (– 3) : (– 3) . (– 1) . (– 1)
x > 3 x < – 2 x ≥ 8
– 5 + 4 > – 2 ; – 1 > – 2 – 3 . (– 5) > 6 ; 15 > 6 – 8 = – 8 – 5 + 5 > – 2 ; 0 > – 2 – 3 . (– 4) > 6 ; 12 > 6 – 9 < – 8 – 5 + 6 > – 2 ; 1 > – 2 – 3 . (– 3) > 6 ; 9 > 6 – 10 < – 8
x - 3 1 < 1
4x ≤ 3 – 3x >
7 5
. 4 . 4 : (– 3) : (– 3)
x < x ≤ 12 x <
D) Résolution d'inéquations non élémentaires
1) Inéquations avec un terme et un facteur "gêneurs"
Résous chaque inéquation en indiquant à côté des flèches la manière dont tu as neutralisé le nombre "gêneur" à chaque étape.
Vérifie ta solution avec plusieurs nombres bien choisis.
3x + 4 < 7 -2x + 6 ≤ 12 – x + 5 > – 3
– 4 – 4 – 6 – 6 – 5 – 5
3x < 3 – 2x ≤ 6 – x > – 8
: 3 : 3 :(–2) :(–2) .(–1) .(–1)
x < 1 x≥ −3 x < 8
3 . 0 + 4 < 7 ; 4 < 7 – 2 . 0 + 6 < 12 ; 6 < 12 – 7 + 5 > – 3 ; – 2 > – 3 3 . (– 1) + 4 < 7 ; 1 < 7 – 2 . (– 1) + 6 < 12 ; 8 < 12 – 6 + 5 > – 3 ; – 1 > – 3 3 . (– 2) + 4 < 7 ; – 2 < 7 – 2 . (– 2) + 6 < 12 ; 10 < 12 – 5 + 5 > – 3 ; 0 > – 3
– 4 + 3x ≥ 5 - 3 -2x ≤ 2 2 – x < 8
+ 4 + 4 + 3 + 3 – 2 – 2
– 2x ≤ 5 – x < 6
: 3 : 3 : (–2) : (–2) .(–1) .(–1) x > – 6
– 4 + 3 . 4 > 5 ; 8 > 5 – 3 – 2 . (– 2) < 2 ; 1 < 2 2 – (– 5) < 8 ; 7 < 8 – 4 + 3 . 3 = 5 ; 5 = 5 – 3 – 2 . (– 1) < 2 ; – 1 < 2 2 – (– 4) < 8 ; 6 < 8 – 4 + 3 . 5 > 5 ; 11 > 5 – 3 – 2 . 0 < 2 ; – 3 < 2 2 – (– 3) < 8 ; 5 < 8 1
+3 1
+3 4
3
5
−21 0 3 ; 0 3
48 3 ; 2 3 12 3 ; 3 = 34
4
< <
< <
=
1 1
0 1 ; 1
3 3
1 1 1 ; 0 1
3 31 2
1 1 ; 1
3 3
− < − <
− < <
− < <
5 5
3.( 2) ; 6
7 7
5 5
3.( 1) ; 3
7 7
1 5 5
3. ; 1
3 7 7
− − > >
− − > >
− − > >
3x 9≥
x 3≥ x 5
≥ −2
Remarque
Si l'inconnue est dans le membre de droite, tu peux procéder de plusieurs manières.
a) Résoudre l'inéquation en gardant l'inconnue dans le membre de droite jusqu'à la dernière étape, puis "retourner " toute l'inégalité pour présenter la solution sous la forme x < a.
b) "Retourner" toute l'inégalité avant de commencer la résolution.
c) Neutraliser le terme en x pour qu'il disparaisse du membre de droite.
Exemple Méthode a
5 > 2x + 3
2 > 2x
1 > x
x < 1
Méthode b 5 > 2x + 3 2x + 3 < 5 2x < 2 x < 1
Méthode c 5 > 2x + 3 -2x + 5 > 3 -2x > -2 x < 1
Si tu devais résoudre cette inéquation, quelle méthode choisirais-tu ? Pourquoi ?
...
Résous l'inéquation ci-dessous avec les 3 méthodes décrites ci-dessus.
Méthode a 9 < -2x + 5 4 < – 2x 2 < – x – 2 > x x < – 2
Méthode b 9 < -2x + 5 – 2x + 5 > 9 – 2x > 4 – x > 2 x < – 2
Méthode c 9 < -2x + 5 2x + 9 < 5 2x < – 4 x < – 2
Si tu devais résoudre cette inéquation, quelle méthode choisirais-tu ? Pourquoi ?
...
Résous les inéquations ci-dessous.
– 4 ≥ 5x – 7 3 ≤ –2x + 6 1 < 3x - 1
– 4 + 7 ≥ 5x 2x + 3 ≤ 6 3x – 1 > 1 3 ≥ 5x 2x ≤ 3 3x > 2 x ≤ 3
2 x 2
>3
-3 -3
: 2 : 2 -3 -3
: 2 : 2
-2x -2x
- 5 - 5
:( -2) : (-2)
3 x5 x 3
5
≥
≤
2) Inéquations du type ax + b < cx + d
Résous l'inéquation en neutralisant d'abord les termes soulignés pour obtenir une inéquation de la forme ax < b.
3x – 7 > x + 3 -5x + 4 > 2x – 3 2x + 6 ≤ 3x – 4 3x – x > 3 + 7 – 5x – 2x > – 3 – 4 6 + 4 ≤ 3x – 2x 2x > 10 – 7x > – 7 10 ≤ x x > 5 – x > – 1 x ≥ 10 x < 1
Remarque
Quels termes faut-il neutraliser ?
Résous les inéquations en neutralisant chaque fois les termes soulignés.
2x + 3 < 5x – 2 2x – 5x < – 2 – 3 – 3x < – 5 x > 5
3
2x + 3 < 5x – 2 3 + 2 < 5x – 2x 5 < 3x 5
3< x x > 5
3
4x – 3 < 2x – 7 4x – 2x < – 7 + 3 2x < – 4 x < – 2
4x – 3 < 2x – 7 – 3 + 7 < 2x – 4x 4 < – 2x 2 < – x – 2 > x x < – 2 Pour chaque inéquation, quelle est la méthode qui te paraît la plus "facile" ?
1ère inéquation : c’est la méthode 2 2ème inéquation : c’est la méthode 1
En utilisant la remarque ci-dessus, souligne les termes que tu vas neutraliser en priorité puis résous.
5x + 5 > -2x - 1 -3x - 1 > 5x – 2 2 + 5x ≤ -2 + 6x 5x + 2x > – 1 – 5 – 1 + 2 > 5x + 3x 2 + 2 ≤ 6x – 5x 7x > – 6 1 > 8x 4 ≤ x
1 x x ≥ 4
8 1
x 8
>
<
x 6 7
> −
0 1 3
0 1 3
0 1
0 1
0 1
4 -2
3) Inéquations avec dénominateurs
En utilisant les méthodes que tu connais pour la résolution des équations, résous les inéquations suivantes.
4 2 x 3
1 x
2 − ≤ − 0
2 3 x 5
2 x
3 − − − >
4 . (2x – 1) ≤≤≤≤ 3 . (x – 2) 2 . (3x – 2) – 5 . (x – 3) > 0
8x – 4 ≤ 3x – 6 6x – 4 – 5x + 15 > 0
8x – 3x ≤ – 6 + 4 6x – 5x > 4 – 15
5x ≤ – 2 x > – 11
x ≤ 2 5
−
E) Solutions d'une inéquation
Une inéquation ne possède pas qu'une seule solution. En effet, quand tu écris x > 3, cela signifie que la valeur de x doit être strictement supérieure à 3.
Représentation Notation
S = ] 3 ;
Associe chaque représentation avec sa notation.
S = ] -1;
S = ; 4 [ S = ; 2 ] S = [ -1 ;
Représente l'ensemble des réels qui répondent à la condition donnée et note-le.
x < 3 S = ; 3 [ x > 1 S = ] 1;
x ≤ 4 S = ; 4 ]
x ≥ -2 ...S = [ -2 ;
0 1 2
0 1 4
0 1
-1
0 1
-1
Pour chaque inéquation, résous, représente et note l'ensemble des solutions.
3x + 2 > -1 -5x + 2 > -8
3x > – 1 – 2 – 5x > – 8 – 2
3x > – 3 – 5x > – 10
x > – 1 x < 2
0 1
0 1
S = ] -1; S = ; 2 [
2x - 3 < -3x + 2 -3x + 1 ≤ -5x + 3
2x + 3x < 2 + 3 – 3x + 5x ≤ 3 – 1
5x < 5 2x ≤ 2
x < 1 x ≤ 1
0 1
0 1
S = ; 1 [ S = ; 1 ]
x - 2 ≤ 3x + 3 2x - 1 ≥ 3x + 1
x – 3x ≤ 3 + 2 2x – 3x ≥ 1 + 1
– 2x ≤ 5 – x ≥ 2
x ≥ 5 2
− x ≤ – 2
0 1
0 1
S = [ 5 2
− ; S = ; – 2]
Actimath 3 – Chapitre 13 – Activité 4 p. 175, Activité 5 p. 176
Actimath 3 – Chapitre 13 – Exercices complémentaires 3 p. 178, 7 à 10 p. 180
2 –1
–2
-5 2
