-2 …. -2 x 5-2 2 ….52 -2 x -2 x <5 < > >

(1)

3

^ème

−−−− Inéquations −−−− Feuille d’exercices n°1

Exercice n°1

1.

Voici une inégalité : ─ 6 < 4.

a.

Est-elle vraie ?...

b.

Diviser chaque partie de cette inégalité par 2. Qu’obtient-on comme nouvelle inégalité ? : ………

c.

L’inégalité obtenue est –elle toujours vraie ? ………

d.

Diviser maintenant chaque partie de l’inégalité ─ 6 < 4 par ─ 2 . Qu’obtient-on (attention à bien vérifier le sens de cette nouvelle inégalité ) :………..

e.

Que semble-t-il se passer (que faut-il faire pour que l’inégalité obtenue soit vraie) ?

……….

f.

Recommencer avec une autre inégalité et chercher une règle qui permette de diviser ou de multiplier une inégalité par un nombre négatif.

2. Compléter les phrases suivantes :

Attention :

1 ─ Le sens d’une inégalité change si on ……….. ou si on ……….. chaque membre de cette inégalité par un

………. ……….. :

• « > » (qui veut dire ……… ) devient « ….. » et « < » (qui veut dire ……… ) devient « …. »

• de même « ≤ » devient « ….. » et « ≥ » devient « ….. »

2 ─ Dans les autres cas, le sens de l’inégalité ………

.

(2)

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A copier et à compléter dans le cahier de cours :

Chapitre …. : Inéquations I) Règles de base

Propriété n°1

Soient a et b deux nombres tels que a<b. Alors :

Si c>0 : a+c<b+c ; a-c<b-c ; a × ^{c< b} × ^{c ;} ^a _c ^< ^b _c

Si c < ^{0 :} a+c<b+c ; a-c<b-c ; a × ^c > ^b × ^{c ;} ^a c > ^b

c

Autrement dit :

•

Une inégalité ne change pas de sens si on additionne ou soustrait un même nombre aux deux membres.

•

Une inégalité ne change pas de sens si on multiplie les deux membres de cette inégalité par un même nombre strictement positif..

•

Une inégalité change de sens si on multiplie les deux membres de cette inégalité par un même nombre strictement négatif.

Exemple : si -2x<5 ^{, alors} -2x

2 …. 5

2 (car on divise par un nombre positif)

mais -2x

-2 …. ⁵

-2 (car on divise par un nombre négatif)

Montrez votre travail au professeur avant de passer aux exercices suivants.

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Exercice n°2

Pour chaque inégalité :

Diviser chaque membre de l’inégalité par le nombre indiqué, puis simplifier.

Exemple : pour « -- 2x<6 avec −2 », écrire : « -- 2x<6 , donc -- 2x

− ² ^> − ⁶ ² ^, ^donc − ^{x >} − ³ ^».

a. 2 x < − ^{6 avec 2.}

b. −6 x > 4 avec −6.

c. −3 x ≤ −5 avec −3.

d. 16 x ≤ −12 avec 16.

e. −5 x < −11 avec −5.

f. 6 x > −33 avec 6.

g. −4 x ≥ 12 avec −4.

h. −19 ≥ −5x avec −5.

i. 14 < −12x avec −12.

j. −12 > 16x avec 16.

k. 2,4 ≥ −3x avec −3.

l. −5,4 ≤ 9x avec 9.

m. 6,3 ≥ −2x avec −2.

Exercice n°3

Pour chaque inégalité :

Diviser chaque membre de l’inégalité par le nombre qui convient, de façon à ce qu’il ne reste que x

dans un des membres.

a. 4 x ≤ −6.

b. −4 ≥ −7x.

c. 16 x ≤ −56.

d. −15 x > 5.

e. 24 x < 16.

f. − 35 x ≥ 25.

S.

S.F.

S.

(3)

g. 12 x ≤ 14.

h. −8 > −6x.

i. 18 < 12x.

j. −32 x ≤ 54.

k. −21 x ≤ 24.

l. −5,4 x >6,3.

m. 3,9 ≤ −3x.

n. 13,5 x < 4,5.

o. −6 x ≥ −5,1 ^.

Exercice n°4

Décrire sur une droite graduée chacune des inégalités suivantes : a. x<3.

b. x ≤ − ^1.

c. 6<x.

d. −2 ≥ x.

e. x ≥− ^5.

f. x ≤ − ^2.

g. −2 ≥ x.

h. −3 > x.

i. 2,25 < x.

j. x > 1,75

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A copier et à compléter dans le cahier de cours :

II) Visualisation des solution sur une droite graduée

Propriété n°2

•

Soient b un nombre.

•

x < b signifie : « tous les nombres strictement plus petits que b » et se schématise par :

•

x < b signifie : « tous les nombres plus petits ou égaux à b » et se schématise par :

•

x > b signifie : « tous les nombres strictement plus grands que b » et se schématise par :

• ^x > b signifie : « tous les nombres plus grands ou égaux à b » et se schématise par :

Exemples :

x < -6 se schématise par x > -6 se schématise par x < -6 se schématise par x > -6 se schématise par

Montrez votre travail au professeur avant de passer aux exercices suivants.

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S.F.

0 b

b 0

S.

(4)

Exercice n°5

Même exercice que le n°4 a. −2 ≤ x.

b. x ≥ −1,25.

c. x ≤ − ^0,75.

d. − 1 ≥ x.

e. −1,5 >x.

f. x> − ^3.

g. x< − ^4.

h. − ^5<x.

Exercice n°6

Compléter le tableau suivant en indiquant dans la troisième et à la quatrième ligne si les inégalités sont vérifiées ou non.

Valeur

de x −4 −3 −2,5 −2 −1,8 −1,5 −1,4 −0,8 −0,5 0 0,5 1 2 3,5

Valeur de 2x+3 2x+3<0 (vrai ou faux) 2x+3<2 (vrai ou faux)

Exercice n°7

Compléter le tableau suivant .

Valeur de x −4 −3

^−2,5

−2

^−1,8 ^−1,5 ^−1,4 ^−0,8 ^−0,5

0 0,5 1 2 3,5

Valeur de

−3x+4

− 3x+4 ≥− 1 (vrai ou faux)

Exercice n°8

Résoudre les équations suivantes : a. 4x+3=7x .

b. 4(x+3)=7x . c. 4x+3=7x+8.

d. 4x+3=7(x+8).

e. 4(x+3)=7(x+8).

f. −4x+3= 7x−8.

g. −4(x+3)=7(x−8).

h. − 4(x − ^3)=7x+8.

i. −4(−x+3)=7(x − ^8).

j. (2x−3)

²

= 4x

²

+2x−4

k. −(2x−3)

²

= −4x

²

+2x−4

l. (−3x+2)(2−6x)=(2x−6)(1+9x) Exercice n°9

Résoudre les inéquations suivantes : a. 2x+4>2

b. −3x+7<3

c. 7x−5 ≤ 19

d. −4x−3 ≥ 2

e. 3x+2 ≥ −3

f. −5x−1> −2

g. 6x+3<−5

h. −x−7 ≥ −3

i. 8x+1≤5

j. −9x−2>2,5

k. 10x+4<−9

l. −11x−5 ≥ 28

**Exercice n°10 (*)**

Résoudre les inéquations suivantes : a. 4x+3<7x .

b. 4(x+3)>7x .

c. 4x+3 ≥ 7x+8.

d. 4x+3 ≤ 7(x+8).

(5)

e. 4(x+3)>7(x+8).

f. −4x+3 ≥ 7x−8.

g. − 4(x+3) ≥ 7(x − 8).

h. −4(x − 3) ≤ 7x+8.

i. − 4( − x+3)>7(x − ^8).

j. (2x−3)

²

< 4x

²

+2x−4

k. −(2x−3)

²

≤ −4x

²

+2x−4

l. (−3x+2)(2−6x) ≥ (2x−6)(1+9x)

**Exercice n°11 (*)**

1. Tracer la représentation graphique de la fonction affine : x 2x+4

2. Retrouver sur le graphique le résultat obtenu à l’exercice n°9, question a. On effectuera des tracés explicites, et on répondra en expliquant avec des phrases.

**Exercice n°12 (*)**

1. Tracer la représentation graphique de la fonction affine : x −3x+7

2. Retrouver sur le graphique le résultat obtenu à l’exercice n°9, question b. On effectuera des tracés explicites, et on répondra en expliquant avec des phrases.

Exercice n°13 ()**

1. Tracer les représentations graphiques des fonctions affine : x 4x+3 et x 7x

2. Retrouver sur le graphique le résultat obtenu à l’exercice n°10, question a. On effectuera des tracés explicites, et on répondra en expliquant avec des phrases.

f

g

h i

(6)

3ème − Inéquations − Résultats

Exercice n°2

a. x < −3.

b. x < − 2 3 .

c. x > 5 3 .

d. x < − 3 4

e. x > 11 5

f. x > − 11 2

g. x < − 3

h. x > 19 5

i. x < − 7 6

j. x < − 3 4

k. x > − 0,8

l. x > − 0,6

m. x > −3,15

Exercice n°3

a. x < − 1,5

b. x > 4 7

c. x < − 3,5

d. x < − 1 3

e. x < 2 3

f. x < − 5 7

g. x < 7 6

h. x > 4 3

i. x > 1,5

j. x > − 27 16

k. x > − 8 7

l. x < − 7 6

m. x < −1,3

n. x < 1 3

o. x < − 0,85

Exercice n°4

a.

b.

c.

d.

e.

f.

g.

h.

i.

j.

Exercice n°5

a.

b.

c.

d.

e.

f.

g.

h.

Exercice n°6

Valeur de x

−4 −3 −2,5 −2 −1,8 −1,5 −1,4 −0,8 −0,5 0 0,5 1 2 3,5

Valeur de

2x+3

−5 −3 −2 −1 −0,6 0 +0,2 +1,4 +2 +3 +4 +5 +7 +10

2x+3<0

vrai vrai vrai vrai vrai faux faux faux faux faux faux faux faux faux

2x+3<2

vrai vrai vrai vrai vrai vrai vrai vrai faux faux faux faux faux faux Exercice n°7

Valeur de x −4 −3 −2,5 −2 −1,8 −1,5 −1,4 −0,8 −0,5 0 0,5 1 2 3,5

Valeur de −3x+4 +16 +13 +11,5 +10 +9,4 +8,5 +8,2 +6,4 +5,4 +4 +2,5 +1 −2 −6,5

−3x+4≥−1

vrai vrai vrai vrai vrai vrai vrai vrai vrai vrai vrai vrai faux faux 0 3

0 −1 0 6 0

−2

−5 0

−2 0

−3 0

0 2,25 0 1,75

−2 0

−1,25 0 0

−0,75

0 −1

0 −3

0 −4

−1,5 0 −5 0

(7)

Exercice n°8

a. x = 1

b. x = 4

c. x = − 5 3

d. x = − 53 3

e. x = − 44 3

f. x = 1

g. x = 4

h. x = 4 11

i. x = 44 3

j. x = 13 14

k. x = 0,5

l. x = − 5 17 Exercice n°9

a.

b.

c.

d.

e.

f.

g.

h.

i.

j.

k.

l.

Exercice n°10

a.

b.

c.

d.

e.

f.

g.

h.

i.

j.

k.

l.

Exercice n°11

−1 0

0 4 3

24 7 0

− 5 0 4

− 5 0 3

0 1 5

− 4 3 0

−4 0

0 1 2

− 1 0 2

0 −1,3 0

−3

0 1 0 4

− 5 0 3

− 53 0 3

− 44 0 3

0 1

0 4 0 4

11 0 44

3 0 13 14 0 1

2 − 5 0 17

1 1

0 2

−1

f(x)>2

x > −1

2 x +4 est supérieur à 2 si x est plus grand que −1.

(8)

Exercice n°12

Exercice n°13

−3x+7 est inférieur à 3 si x est plus grand que 4 3 .

2 2

0 3

4 3 g(x)<3

x>4 3

2 2

0

h(x)=4x+3

i(x)=7x h(

x

)<i(

x

)

x

>1

4x+3 est inférieur à 7x si x est plus grand que 1 .

-2 …. -2 x 5-2 2 ….52 -2 x -2 x <5 < > >

3

−−−− Inéquations −−−− Feuille d’exercices n°1

Exercice n°1

Voici une inégalité : ─ 6 < 4.

Est-elle vraie ?...

Diviser chaque partie de cette inégalité par 2. Qu’obtient-on comme nouvelle inégalité ? : ………

L’inégalité obtenue est –elle toujours vraie ? ………

Diviser maintenant chaque partie de l’inégalité ─ 6 < 4 par ─ 2 . Qu’obtient-on (attention à bien vérifier le sens de cette nouvelle inégalité ) :………..

Que semble-t-il se passer (que faut-il faire pour que l’inégalité obtenue soit vraie) ?

……….

Recommencer avec une autre inégalité et chercher une règle qui permette de diviser ou de multiplier une inégalité par un nombre négatif.

Attention :

1 ─ Le sens d’une inégalité change si on ……….. ou si on ……….. chaque membre de cette inégalité par un

………. ……….. :

• « > » (qui veut dire ……… ) devient « ….. » et « < » (qui veut dire ……… ) devient « …. »

• de même « ≤ » devient « ….. » et « ≥ » devient « ….. »

2 ─ Dans les autres cas, le sens de l’inégalité ………

.

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A copier et à compléter dans le cahier de cours :

Chapitre …. : Inéquations I) Règles de base

Soient a et b deux nombres tels que a<b. Alors :

Si c>0 : a+c<b+c ; a-c<b-c ; a × c< b × c ; a c < b c

Si c < 0 : a+c<b+c ; a-c<b-c ; a × c > b × c ; a c > b

c

Autrement dit :

Une inégalité ne change pas de sens si on additionne ou soustrait un même nombre aux deux membres.

Une inégalité ne change pas de sens si on multiplie les deux membres de cette inégalité par un même nombre strictement positif..

Une inégalité change de sens si on multiplie les deux membres de cette inégalité par un même nombre strictement négatif.

Exemple : si -2x<5 , alors -2x

2 …. 5

2 (car on divise par un nombre positif)

mais -2x

-2 …. 5

-2 (car on divise par un nombre négatif)

Montrez votre travail au professeur avant de passer aux exercices suivants.

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Exercice n°2

Pour chaque inégalité :

Diviser chaque membre de l’inégalité par le nombre indiqué, puis simplifier.

Exemple : pour « -- 2x<6 avec −2 », écrire : « -- 2x<6 , donc -- 2x

− 2 > − 6 2 , donc − x > − 3 ».

a. 2 x < − 6 avec 2.

b. −6 x > 4 avec −6.

c. −3 x ≤ −5 avec −3.

d. 16 x ≤ −12 avec 16.

e. −5 x < −11 avec −5.

f. 6 x > −33 avec 6.

g. −4 x ≥ 12 avec −4.

h. −19 ≥ −5x avec −5.

i. 14 < −12x avec −12.

j. −12 > 16x avec 16.

k. 2,4 ≥ −3x avec −3.

l. −5,4 ≤ 9x avec 9.

m. 6,3 ≥ −2x avec −2.

Exercice n°3

Pour chaque inégalité :

Diviser chaque membre de l’inégalité par le nombre qui convient, de façon à ce qu’il ne reste que x

dans un des membres.

a. 4 x ≤ −6.

b. −4 ≥ −7x.

c. 16 x ≤ −56.

d. −15 x > 5.

e. 24 x < 16.

f. − 35 x ≥ 25.

g. 12 x ≤ 14.

h. −8 > −6x.

i. 18 < 12x.

j. −32 x ≤ 54.

k. −21 x ≤ 24.

l. −5,4 x >6,3.

m. 3,9 ≤ −3x.

n. 13,5 x < 4,5.

o. −6 x ≥ −5,1 .

Exercice n°4

Décrire sur une droite graduée chacune des inégalités suivantes : a. x<3.

b. x ≤ − 1.

c. 6<x.

d. −2 ≥ x.

Si c>0 : a+c<b+c ; a-c<b-c ; a × ^{c< b} × ^{c ;} ^a _c ^< ^b _c

Si c < ^{0 :} a+c<b+c ; a-c<b-c ; a × ^c > ^b × ^{c ;} ^a c > ^b

Exemple : si -2x<5 ^{, alors} -2x

-2 …. ⁵

− ² ^> − ⁶ ² ^, ^donc − ^{x >} − ³ ^».

a. 2 x < − ^{6 avec 2.}

o. −6 x ≥ −5,1 ^.

b. x ≤ − ^1.

e. x ≥− ^5.

f. x ≤ − ^2.

• ^x > b signifie : « tous les nombres plus grands ou égaux à b » et se schématise par :

c. x ≤ − ^0,75.

f. x> − ^3.

g. x< − ^4.

h. − ^5<x.

h. − 4(x − ^3)=7x+8.

i. −4(−x+3)=7(x − ^8).