Les propriétés de la fonction exponentielle

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générale 2019 - 2020

Les fonctions exponentielles Exercices

Les propriétés de la fonction exponentielle

Exercice 1

Simplier les expressions suivantes :

• A= e³×e⁴

• B = e⁻⁵ e²

• C = e^5x+7×e^−x−3 e^2x+3

• D= 1 e⁻¹

• E = e²×e⁻⁴

• F = (e⁻⁵)² e²×e⁻⁶

• G= e^x×e^−x

• H = e^3x+22

• I =e^2x+1×e^−3x+5

• J = e^−x+1 e^3x−4

• K = e^x−7

e^2x × e^3x+5 e^−2x+1

Exercice 2

1) Montrer que pour tout réel x, on a : e^x+1

e + e^x+1 = e^x 1 + e^x 2) Montrer que pour tout réel x, on a :1− e^−x

1 + e^−x = e^x 1 + e^x 3) Justier que pour tout réel x on a 1−e^−x

1 +e^−x = e^x−1 e^x+ 1

Exercice 3

Développer et simplier les expressions suivantes :

• A= e^x(e^x+ 5)

• B = e^−x(e^x−2)

• C = e^2x(e^x−e^−x)

• D= (e^x+ 2)(e^x+ 5)

• E = (e^x−1)(e^−x+ 3)

• F = (e^x+ 1)(2−e^−x)

• G= (e^x−2)²

• H = (e^x+ 1)²

• I = (e^x−3)(e^x+ 3)

Exercice 4

Soit la fonctionf dénie par f(x) = 2 e^x+ 1 Démontrer quef(x) +f(−x) = 2

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Equations et inéquations avec des exponentielles

Exercice 5

1) Résoudre dans Rles équations suivantes :

a) e^x = 1 b) e^x = 0 c) e^x+ 1 = 0

2) Résoudre dans Rles équations suivantes :

a) e^4x = e^5x−1 b) e^4x2 = e³⁶ c) e^2x−3 = 1 d) e^5x = e^−x e 3) Résoudre dans Rles équations suivantes :

a) (3x−5)(e^x+ 2) = 0 b) 4e^−x+ 7xe^−x = 0 4) a) Résoudre dansR l'équation : X²+ 6X−7 = 0

b) En déduire la résolution dansR de l'équation : e^2x+ 6e^x−7 = 0 5) Résoudre dans Rles équations suivantes :

a) e^2x+ 3e^x−4 = 0 b) e^2x+ 4e^x+ 3 = 0

Exercice 6

1) a) Démontrer que pour tout réel x, −2e^2x+ e^x+ 1 = (2e^x+ 1)(1−e^x) b) Compléter le tableau de signe ci-dessous :

x

Signe de 2e^x + 1 Signe de 1 −e^x Signe de −2e^2x+ e^x+ 1

−∞ .. +∞

2) Étudier le signe de l'expression (2x+ 6)e^x2+6x+2. On complètera le tableau ci-dessous :

x

Signe de 2x + 6 Signe de e^x2+6x+2 Signe de (2x+ 6)e^x2+6x+2

−∞ .. +∞

Calculer une dérivée (gratuitement.... pour le plaisir !)

Exercice 7

Calculer les dérivées des fonctions suivantes :

• f(x) = 2e^x

• i(x) = (x²+ 3x+ 5) e^x.

• l(x) = 10e^−0,5x+1.

• g(x) = 2x+ e^x

• j(x) = 4 e^x e^x+ 1.

• m(x) = (2x−3)e^−0,1x.

• h(x) = e^2x+1

• k(x) = x² +x+ 1 e^x .

• n(x) = e^−x2+x.

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Étudier une fonction

Exercice 8

Soit f la fonction dénie sur R par f(x) = (2x+ 1)e^x. On note C sa courbe représentative.

Pour chaque armation suivante, préciser si elle est vraie ou fausse : 1) Le pointA(0 ; 1) appartient la courbeC.

2) Pour tout réel x, f⁰(x) = 2e^x

3) La tangente à la courbeC au point d'abscisse −1,5 est horizontale.

4) La fonction est croissante sur R 5) La fonction est positive sur R

Exercice 9

Soit f la fonction dénie sur R par f(x) = (3− 8x) e^−2x.

On note C la courbe représentative de la fonction f dans un repère orthonormal (O; −→ı ,−→). 1) Étudier les variations de f et dresser son tableau de variations.

2) Déterminer l'équation de la tangente à C en0.

3) Pour quelle valeur de x, C admet-elle une tangente parallèle à l'axe des abscisses ?

Exercice 10

La fonctionf qui à l'altitudexen kilomètres, associe la pression atmosphérique en hectopascals est dénie sur[0 ; +∞[ par :

f(x) = 1 013,25e^−0,12x 1) Calculer f⁰(x) et déterminer le sens de variations def.

2) En 1648, Blaise Pascal et Florin Périer mesurent la hauteur de mercure dans deux baromètres, l'un situé à Clermont-Ferrand et l'autre en haut de la montagne la plus proche, le Puy-de-Dôme.

Dans quel baromètre la hauteur de mercure était-elle la plus petite ?

Exercice 11

Un parachutiste de 80 kg est lâché avec une vitesse initiale nulle à 5 000 mètres d'altitude.

On considère la fonctionv qui, à tout instant t positif (ens), associe la vitesse (en m.s⁻¹) du parachutiste à cet instant.

On suppose que tant que le parachute n'est pas ouvert,v(t) = 44 1−e^−0,2t 1) Étudier le signe de 44−v(t)sur [0 ; +∞[.

2) En déduire une vitesse en m.s⁻¹, puis en km.h⁻¹, que ne peut pas dépasser ce parachutiste pendant sa chute, même s'il n'ouvre pas son parachute.

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Exercice 12

Une brioche qui était dans une étuve à 30 °C est placée dans un four chaué à 180 °C pendant 35 minutes.

La température au c÷ur de la brioche, exprimée en degrés Celsius, est donnée sur l'intervalle [0 ; 35] par une fonction du temps t, exprimé en minutes, de la forme f(t) =ae^−0,022t+ 180

1) Sachant que f(0) = 30, déterminer la valeur dea.

2) a) Justier que f⁰(t) = 3,3e^−0,022t pour toutt ∈[0 ; 35]

b) En déduire les variations def sur[0 ; 35].

c) Interpréter ce tableau de variations dans le contexte de l'exercice.

3) A l'aide d'une calculatrice, déterminer le temps nécessaire, en minutes, pour que la température au c÷ur de la brioche soit supérieure à 100 °C.

Exercice 13

On s'intéresse à la croissance d'une ville depuis le 1^er janvier 2019.

On modélise l'évolution de sa population par la fonctionf dénie sur l'intervalle[0 ; +∞[ par :

f(x) = 3 1 + 2e^−0,05x

, où f(x) est le nombre d'habitants, en centaines de milliers, au 1^er janvier 2019+x. 1) Quel est le nombre d'habitants en 2019 ?

2) a) Déterminerf⁰(x) pour tout réelx de [0 ; +∞[. b) Déterminer le sens de variation de f.

3) Á l'aide de la calculatrice, déterminer à partir de quelle année la population de la ville sera supérieure à 200 000 habitants.

La fonction f est un exemple de fonction logistique. Ces fonc- tions ont été mises en évidence par le mathématicien belge Pierre-François Verhulst (1804-1849)

Exercice 14

On a tracé les courbes de quatre fonctionsf, g, h eti dénies surR. On sait que

• f(x) = e^x

• g(x) = e^−x

• h(x) = e^0.5x

• et i(x) = e^−2x

Associer à chaque fonction la courbe qui lui corres-

pond en justiant : ^{1 2 x3 4 5 6 7}

y

−

→i

−

→j

0

C1

C2 C4 C3

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