Fonction exponentielle
1. Fonction exponentielle
Définition et variation
Théorème – Définition. Il existe une unique fonction définie et dérivable sur telle que et . Cette fonction est appelée fonction exponentielle et se note exp.
En conséquence, et pour tout , .
Lemme. Une fonction satisfaisant l’hypothèse du théorème ne s’annule pas sur .
Démonstration. Soit une telle fonction et définie sur par . Cette fonction est dérivable sur et
Or pour tout , donc
ce qui prouve que est une fonction constante. Or , donc finalement pour tout , on a . S’il existait un réel tel que , on aurait , contrairement à ce qui vient d’être montré.
Démonstration du théorème. L’existence d’une telle fonction est admise, on va prouver l’unicité.
Pour cela on suppose qu’il existe deux fonctions et qui vérifient les hypothèses du théorème, c’est-à-dire , , et et on doit montrer que . D’après le lemme, ne s’annule pas sur , ce qui nous autorise à considérer la fonction . Elle est définie et dérivable sur avec
La fonction est donc constante. Comme , on a donc pour tout , , d’où , ce qui prouve bien que .
Théorème. La fonction exponentielle est strictement positive sur .
Démonstration. On a vu dans la démonstration du théorème précédent que la fonction exponentielle ne s’annule par sur .
Raisonnons par l’absurde en supposant qu’il existe tel que .
La fonction exponentielle étant dérivable sur , elle y est continue. Comme , le réel est compris entre et , donc d’après le théorème de valeurs intermédiaires, il existe un réel tel que , ce qui contredit le fait que exp ne s’annule pas.
Par conséquent tout pour , on a bien .
Théorème. La fonction exponentielle est strictement croissante sur .
Démonstration. Pour tout , , donc est strictement croissante sur .
La représentation graphique de est donnée ci-contre.
Corollaire. Pour tout réel et on a
et .
Démonstration. Si , alors . Réciproquement, supposons . Si , on a soit , soit et donc par croissante stricte de l’exponentielle, on a ou , contrairement à l’hypothèse . Finalement on en déduit que . La deuxième assertion résulte de la croissance stricte de l’exponentielle.
Exemple
Résoudre les équations suivantes.
a. b. c.
Réponse.
a. , donc .
b. Comme , on a , d’où .
c. , donc .
Relation fonctionnelle et corollaire
Théorème (relation fonctionnelle). Pour tous réels et , on a
Démonstration. Soit un réel fixé et considérons la fonction définie sur par
On a et . Donc par le théorème d’unicité de la fonction exponentielle, on a que , c’est-à-dire , donc finalement
Corollaire. Pour tous réels et et tout entier relatif , on a
1. 2.
3. 4.
Démonstration.
1. En prenant dans la relation fonctionnelle, on obtient
Comme la fonction exponentielle ne s’annule par sur , on en déduit donc la formule annoncée.
2. D’après la relation fonctionnelle et le 1. on a
. 3. Démontrons déjà la propriété pour par récurrence.
Pour , on a et , donc la propriété est vraie au rang .
Supposons la propriété vraie au rang . Alors
Mais par hypothèse de récurrence , donc
ce qui montre que la propriété est héréditaire.
Soit maintenant , avec . Posons . On a donc en utilisant 1. ainsi que ce qui vient d’être prouvé sur ,
4. On a , donc .
Notation
Définition. L’image de par la fonction exponentielle est notée , ainsi . À l’aide de la calculatrice, .
Grâce au corollaire, on peut écrire , ce qui incite à introduire la notation suivante : pour tout réel , .
La relation fonctionnelle et son corollaire se reformulent alors de la façon suivante en prolongeant naturellement les propriétés connues sur les puissances.
Corollaire. Pour tous réels et et tout entier relatif , on a
; ; ;
Exemple
Montrer les égalités suivantes.
a. b.
Réponse.
a.
b. Commençons par multiplier le numérateur et le dénominateur par . On obtient donc
. Par ailleurs , ce qui prouve l’égalité.
Dérivée de
Théorème (admis). Soit une fonction dérivable sur un intervalle de . Alors la fonction est dérivable sur et sa dérivée est .
Exemple
Soit la fonction . Cette fonction est dérivable sur et
2. Limites liées à la fonction exponentielle
Limites de la fonction exponentielle
Lemme. Pour tout réel , on a .
Cette inégalité traduit le fait que la courbe de la fonction exponentielle est située au-dessus de sa tangente au point d’abscisse . En effet l’équation de cette tangente est , soit .
Démonstration. Soit la fonction définie par . Elle est dérivable sur et . On a
donc est strictement croissante sur et strictement
décroissante sur , elle atteint son minimum en et il vaut . Par suite pour tout , on a et donc .
Théorème. On a les limites remarquables suivantes
Démonstration. D’après le lemme et en utilisant le fait que
, il résulte du théorème de comparaison que
. Enfin pour montrer que
, on écrit que . On a
donc par composition
puis
.
Le tableau de variation complet de la fonction exponentielle est donc le suivant.
Croissance comparée
Théorème. On a les résultats suivants.
et
Démonstration.
On sait que pour tout on a , d’où et donc . En supposant et en élevant au carré, il vient , donc en divisant par , on a . Comme
, il vient donc
.
Effectuons le changement de variable . On peut écrire et , on a .
Exemple
Soit la fonction définie sur par . 1. Étudier les variations de .
2. Calculer les limites aux bornes de l’ensemble de définition de .
3. Montrer que le point appartient à la tangente à la courbe représentative de au point d’abscisse .
Réponse.
1. La fonction est dérivable sur , donc est dérivable sur de dérivée . Il en résulte que est dérivable là où elle est définie. On a
Pour tout réel , et , donc est du signe de , d’où le tableau de variation suivant.
Le minimum de sur est .
2. Limite en
On a
et
donc par composition
. De plus
. Il en résulte par quotient
. Limite en
On a
et
, on en déduit par quotient,
. De même
. Limite en
On se ramène à
en mettant en facteur ce qu’il faut. On peut écrire
.
La limite du second facteur ne pose pas de problème lorsque : le numérateur tend vers et le dénominateur vers , donc le second facteur tend vers . Finalement
.
3. Quelques calculs montrent que et , donc la tangente a pour équation , soit encore .
On vérifie alors immédiatement que le point appartient à .
Une autre limite Théorème. On a
Démonstration. La fonction exponentielle est dérivable en et son nombre dérivé en est , donc
, ce qui est bien la limite annoncée.
Cela signifie que pour des valeurs proches de , . Exemple
Soit la fonction définie sur par . On a . Comme
et
, on obtient par composition
.
Exemple
Soit la fonction définie sur par . La détermination des limites aux bornes de l’ensemble de
définition ne pose pas de difficulté. On a
Le discriminant de est strictement négatif, la fonction est donc strictement croissante sur les intervalles et .
Lorsque tend vers , la fraction tend vers si bien que et donc . On constate d’ailleurs que les courbes représentatives de et sont très proches lorsque tend vers . En remarquant que
on voit que lorsque tend vers on a . Finalement . Graphiquement cela montre que la droite d’équation est asymptote à la courbe de en .
Montrons cela proprement. Il s’agit de prouver que
. Posons
. Comme
on a par composition d’après le cours,
. Par définition de , on peut écrire , d’où
donc . On a
et
, donc par produit
. On a bien sûr un résultat identique en .
