La fonction est dérivable en , si et seulement si, tend vers un réel quand ℎ tend vers 0.

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FONCTION DERIVEE - ETUDE DE FONCTIONS I. Fonction dérivée

1° Définition algébrique : Soit une fonction définie sur un intervalle . Soit un réel de .

La fonction est dérivable en , si et seulement si, tend vers un réel quand ℎ tend vers 0.

Ce réel est appelé nombre dérivé de en , on le note . On peut écrire :

→

= ′

Définition géométrique : La fonction est dérivable en de , si et seulement si, il existe en ; une tangente à unique et non parallèle à l’axe des ordonnées.

Le coefficient directeur de cette tangente est appelé nombre dérivé de en , et est noté ′

Remarques :

Si ne tend pas vers un réel quand ℎ tend vers 0 alors la fonction est non dérivable en Si la tangente à en ; est « verticale », alors la fonction est non dérivable en .

S’il existe deux demi-tangentes de coefficient directeur distincts en ; , alors la fonction est non dérivable en .

2° Tableaux récapitulatifs

a) Dérivées des fonctions usuelles

LA FONCTION ∶ ⟼ SA FONCTION DERIVEE : ⟼ ′

= " avec " réel #

$

= est dérivable sur et = 0

= + ' #

$

= est dérivable sur et =

=

⁽

) ∈ ℕ, ) ≥ 2 #

$

=

Par exemple : =

^/

; 0 =

¹

est dérivable sur et = ).

^{( 3}

= 2 ; 0 = 3 ²

=

₆³

#

$

= * est dérivable sur * et =

₆³₇

= √ #

$

= [: ; +∞[ est dérivable sur ]: ; +∞[ et =

_/√6³

Remarque : Par abus de langage, on dit que « la dérivée de ² est 2 » ; mais on ne l’écrit pas.

On écrira : La fonction a pour dérivée la fonction ’ définie par ’ = 2 ou plus simplement : Pour = ², on a ’ = 2 .

b) Théorème : Opérations sur les fonctions dérivables.

et 0 sont deux fonctions dérivables sur un intervalle I.

Fonction Fonction dérivée Ensemble de dérivabilité

+ 0 > + ? = > + ?′ I

@. > @ ∈ ℝ @. > ′ = @. >′ I

. 0 . 0 = . 0 + 0 . I

^/

= 2. . I

1 ≠ 0 D 1 E = −

/

l’ensemble des réels de I tels que

≠

0. 0 0 ≠ 0 G0H = . 0 − 0 .

0

^/

l’ensemble des réels de I tels que 0

≠

0. √ > I ≥ : √ = 2√

l’ensemble des réels I de I tels que > I > 0 .

Remarque : Ensemble de dérivabilité

Les fonctions polynômes et les fonctions rationnelles sont dérivables sur leur ensemble de définition.

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II. Utilisations de la fonction dérivée

1° Sens de variation d’une fonction

Le signe de la dérivée donne le sens de variation de la fonction et vice-versa.

Théorème 1 :

Soit une fonction définie et dérivable sur un intervalle I.

a) la fonction est croissante sur I si et seulement si pour tout de I, on a : ≥ 0 b) la fonction est décroissante sur I si et seulement si pour tout de I, on a : K 0 .

Théorème 2 (plus précis) :

Soit une fonction définie et dérivable sur un intervalle I.

a) Si J 0 pour tout de I, sauf éventuellement en un nombre fini de valeurs où ′ s’annulerait, alors la fonction est strictement croissante sur I.

b) Si L 0 pour tout de I, sauf éventuellement en un nombre fini de valeurs où ′ s’annulerait, alors la fonction est strictement décroissante sur I.

c) Si 0 pour tout de I, alors est constante sur I.

Méthode :

Pour étudier les variations d’une fonction

•

On détermine la fonction dérivée ′ ,

c’est-à-dire l’ensemble de dérivabilité, puis l’expression de ′

•

On étudie le signe de ′ .

•

On en déduit le sens et/ou le tableau de variations de la fonction .

☺ Applications :

Le tableau de variations est un outil essentiel pour encadrer au mieux I sachant I ∈ 9 ; M<

Le tableau de variations permet parfois de déterminer le signe d’une fonction.

2° Tangente

Soit une fonction définie et dérivable sur un intervalle I.

a) Le nombre dérivé de la fonction en un réel de I, noté , est le coefficient directeur de la tangente à au point A d’abscisse .

b) Une équation de la tangente à en G ; H est : N . F &

Remarques :

Pour lire graphiquement un coefficient directeur :

OP éRS(TS UROU((éSV OP éRS(TS WVTPVVSV

Lors du tracé de , pensez à matérialiser les tangentes horizontales (coefficient directeur nul)

2 3

-1 -2 -3

2 3 4

-1 -2

0 1

1

x y

S

S'

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A.BERGER Cours de prérentrée TS Etude de fonctions 3 / 4 EXERCICES

Exercice 1 : Calcul de dérivées

La fonction est définie sur I. Déterminez l’ensemble de dérivabilité, puis calculer .

X

& 4 F 2

^Y ¹

& 5

2 F 3 I A

'

₃³ ¹

F

] 10

5

^/

& 3 I A

^

^/

F 4 & 5

F 2 I <2 ; &∞9

_

^/

& √ I <0 ; &∞9 3 & 4 & 1

& 2 I <F2 ; &∞9

`

¹

&

^/

F 1

^/

<F∞ ; &∞9

Exercice 2 : Variations d’une fonction Dans chaque cas,

1° Calculer la dérivée, puis étudier son signe.

2° Dresser le tableau de variation de la fonction 3° Encadrer au mieux pour ∈ 9F1 ; 1< . 4° Dresser le tableau de signe de .

1

& 3

^/

F 4 # A '

³_Y ^Y

F

¹

& 7 # A

] F 2 #

¹

<F∞ ; 29 ∪ <2 ; &∞9

Exercice 3 : Dérivable ou non dérivable ? Dans chaque cas, la fonction est définie en 3, et 3 ; 1 ∈ La fonction est-elle dérivable en 3 ? Si, oui préciser le nombre dérivé de en 3.

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