• soit l un nombre réel, on dit que la suite (x n ) n∈ N tend vers l si on a

3.2 Limite d’une suite

Définition 33. On dit d’une suite numérique (x _n ) _{n∈ N} qu’elle admet une limite dans les trois cas suivants :

• soit l un nombre réel, on dit que la suite (x _n ) n∈ N tend vers l si on a

∀ε > 0, ∃k ∈ N , ∀n ≥ k, |x _n − l| ≤ ε,

autrement dit la suite (x _n ) n∈ N converge vers l si pour tout réel ε > 0 il existe un rang k à partir duquel tous les termes x _n de rang n supérieur à k sont dans l’intervalle [l − ε, l + ε].

Le nombre l est alors appelé limite de la suite (x _n ) _{n∈ N} . On note alors

n→+∞ lim x _n = l

• on dit que la suite (x _n ) _{n∈ N} tend vers +∞ si on a

∀M ∈ R , ∃k ∈ N , ∀n ≥ k, x _n ≥ M,

autrement dit la suite (x n ) n∈ N tend vers +∞ si pour tout réel M il existe un rang k à partir duquel tous les termes x _n de rang n supérieur à k sont dans l’intervalle [M, +∞[ . On note alors

n→+∞ lim x n = +∞

• on dit que la suite (x _n ) n∈ N tend vers −∞ si on a

∀M ∈ R , ∃k ∈ N , ∀n ≥ k, x _n ≤ M,

autrement dit la suite (x _n ) n∈ N tend vers −∞ si pour tout réel M il existe un rang k à partir duquel tous les termes x _n de rang n supérieur à k sont dans l’intervalle ] − ∞, M ].

On note alors

n→+∞ lim x _n = −∞

Définition 34. Lorsque la suite (x _n ) _{n∈ N} n’admet pas de limite, on dit qu’elle est diver- gente.

Notation 11. Au lieu de “la suite (x _n ) n∈ N tend vers l” on peut aussi dire “la suite (x _n ) n∈ N

converge vers l” ou “la suite (x n ) n∈ N admet l pour limite”.

Au lieu de “la suite (x _n ) n∈ N tend vers +∞” on peut aussi dire “la suite (x _n ) n∈ N diverge vers +∞” ou “la suite (x _n ) n∈ N admet +∞ pour limite” (idem pour −∞).

Exemple 39. On considère les suites ( _n ¹ ) n≥1 et (n) n∈ N .

Notation 12. Par convention, on utilisera par la suite les identités suivantes :

∀l ∈ R , l + (+∞) = +∞ et l + (−∞) = −∞

(+∞) + (+∞) = +∞ et (−∞) + (−∞) = −∞

∀l > 0, l × (+∞) = +∞ et l × (−∞) = −∞

∀l < 0, l × (+∞) = −∞ et l × (−∞) = +∞

(+∞) × (+∞) = +∞ et (−∞) × (−∞) = +∞

(+∞) × (−∞) = −∞ et (−∞) × (+∞) = −∞

∀l ∈ R , l

+∞ = 0 et l

−∞ = 0.

En revanche, les quantités suivantes n’ont a priori pas de sens : (+∞) + (−∞), 0 × (±∞), ±∞

±∞ , 0 0 . 3.3. Propriété – opérations sur les limites.

Soit (x _n ) n∈ N et (y _n ) n∈ N admettant chacune une limite (réelle, +∞ ou

−∞). À condition que le membre de droite existe, on a :

• lim

n→+∞ (x n + y n ) = lim

n→+∞ x n + lim

n→+∞ y n

• lim

n→+∞ (x _n × y _n ) = lim

n→+∞ x _n × lim

n→+∞ y _n

• lim

n→+∞

x _n y n

= lim n→+∞ x _n lim n→+∞ y n

• si ϕ : N → N est strictement croissante alors lim

n→+∞ x _ϕ(n) = lim

n→+∞ x _n

Exemple 40. On considère plusieurs combinaisons à partir des suites (n) _{n∈ N} , (2n) _{n∈ N} . 3.4. Propriété – comparaison des limites.

Soit (x _n ) n∈ N et (y _n ) n∈ N deux suites numériques pour lesquelles on a x _n ≤ y _n à partir d’un certain rang, ce qui signifie :

∃n ₀ ∈ N , ∀n ≥ n ₀ , x _n ≤ y _n Alors on a les propriétés suivantes :

• si chacune de ces deux suites admet une limite (réelle, +∞ ou −∞) alors

n→+∞ lim x _n ≤ lim

n→+∞ y _n

• si lim

n→+∞ x _n = +∞ alors (y _n ) n∈ N tend vers +∞ : lim

n→+∞ y _n = +∞.

• si lim

n→+∞ y _n = −∞ alors (x _n ) n∈ N tend vers −∞ : lim

n→+∞ x _n = −∞.

Remarque 30. Attention : le passage à la limite ne conserve pas l’inégalité stricte, c’est-à-dire qu’on peut avoir x _n < y _n à partir d’un certain rang et lim

n→+∞ x _n = lim

n→+∞ y _n . Par exemple : pour tout entier n ∈ N on a 0 < 1

n + 1 mais lim

n→+∞ 0 = lim

n→+∞

1

n + 1 = 0.

Exemple 41. On considère la suite (x _n ) n≥1 de terme général x _n = 1+ 1

√ 2 +. . .+ 1

√ n =

n

X

i=1

√ 1 k .

Exemple 42. On considère la suite (a ⁿ ) _{n∈ N} pour a > 1.

3.3 Suites arithmétiques et géométriques

3.5. Propriété – Cas des suites arithmétiques.

Soit (x _n ) _{n∈ N} la suite arithmétique donnée par le processus itératif

( x ₀ = b

pour tout n ≥ 0, x _n+1 = x _n + a avec a 6= 0, alors on a

• la suite (x _n ) n∈ N admet une limite, et







si a > 0, alors lim

n→+∞ x _n = lim

n→+∞ an + b = +∞

si a < 0, alors lim

n→+∞ x _n = lim

n→+∞ an + b = −∞

• la somme des n + 1 premiers termes de la suite (x _n ) n∈ N est x ₀ + . . . + x _n =

n

X

k=0

x _k =

n

X

k=0

(ak + b) = n(n + 1)

2 a + (n + 1)b

Exemple 43. Calculer la somme des n+1 premiers entiers pairs : 0 + 2 + 4 + . . . + 2n.

3.6. Propriété – Cas des suites géométriques.

Soit (x _n ) n∈ N la suite géométrique donnée par le processus itératif

( x ₀ = b

pour tout n ≥ 0, x _n+1 = qx _n avec q 6= 0 et q 6= 1 et b 6= 0, alors on a

• la suite (x _n ) _{n∈ N} peut admettre ou non une limite :



 

 

 



 

 

 



si q > 1 et b > 0, alors lim

n→+∞ x n = lim

n→+∞ b q ⁿ = +∞

si q > 1 et b < 0, alors lim

n→+∞ x _n = lim

n→+∞ b q ⁿ = −∞

si q ∈ ] − 1, 1[, alors lim

n→+∞ x _n = lim

n→+∞ b q ⁿ = 0 si q ≤ −1, alors la suite (x _n ) n∈ N diverge.

• la somme des n + 1 premiers termes de la suite (x _n ) n∈ N est x ₀ + . . . + x _n =

n

X

k=0

x _k =

n

X

k=0

b q ⁿ = q ⁿ⁺¹ − 1 q − 1 b

Exemple 44. Calculer la somme 1 + 1 2 + 1

4 + . . . + 1 2 ⁿ =

n

X

k=0

1

2 ^k . Quelle est la limite de cette somme ?

Exemple 45. Une population microbienne augmente de 10% toutes les heures. On l’observe initialement avec 200 individus. Combien d’heures s’écouleront pour atteindre 10000 individus ?

3.4 Quelques résultats théoriques

3.4.1 Limites classiques On a les limites classiques :

• Quotient de deux polynômes :

n→+∞ lim

a _k n ^k + a k−1 n ^k−1 + . . . + a ₀ b _l n ^l + b l−1 n ^l−1 + . . . + b ₀ =



 

 



 

 



0 si k < l

a

b

si k = l

+∞ si k > l et a _k du même signe que b _l

−∞ si k > l et a _k du signe contraire de b _l autrement dit la limite du quotient de deux polynômes est celle de la limite du quotient des deux termes de plus haut degré :

n→+∞ lim

a k n ^k + a k−1 n ^k−1 + . . . + a ₀

b _l n ^l + b l−1 n ^l−1 + . . . + b ₀ = lim

n→+∞

a k n ^k

b _l n ^l = lim

n→+∞

a k

b _l n ^k−l .

• limites associées aux fonctions ln et exp :

n→+∞ lim ln

1 n

= −∞; lim

n→+∞ ln(n) = +∞; lim

n→+∞ e ⁻ⁿ = 0; lim

n→+∞ e ⁿ = +∞

n→+∞ lim n ln

1 + 1 n

= 1; lim

n→+∞

1 + α n

n

= e ^α

• limites associées aux fonctions cos et sin :

n→+∞ lim n sin

1 n

= 1; lim

n→+∞ n

cos

1 n

− 1

= 0

3.4.2 Limites et monotonie

Définition 35. Une suite (x _n ) n∈ N est dite croisssante à partir du rang n ₀ si

∀n ≥ n ₀ , x _n+1 ≥ x _n .

Une suite (x _n ) n∈ N est dite décroisssante à partir du rang n ₀ si

∀n ≥ n 0 , x n+1 ≤ x n .

Une suite est monotone si elle est croissante ou décroissante à partir d’un certain rang.

Exemple 46. Cas des suites arithmétiques et géométriques.

Définition 36. Soit M un nombre réel. Une suite (x _n ) n∈ N est dite majorée par M si tous ses termes sont inférieurs ou égaux à M :

∀n ∈ N , x _n ≤ M.

La suite (x _n ) n∈ N est dite minorée par M si tous ses termes sont supérieurs ou égaux à M :

∀n ∈ N , x _n ≥ M.

La suite (x _n ) n∈ N est dite bornée si elle est à la fois minorée et majorée, c’est-à-dire qu’il existe un réel A tel que

∀n ∈ N , |x _n | ≤ A.

Exemple 47. Exemple de la suite (1 + (−1) ⁿ ) n∈ N .

3.7. Théorème – Limites des suites monotones.

Soit (x _n ) n∈ N une suite croissante à partir d’un certain rang. On a alors l’alternative :

• Soit la suite (x _n ) _{n∈ N} est majorée par un réel M , auquel cas la suite (x _n ) n∈ N admet une limite finie et

n→+∞ lim x _n ≤ M

• Soit la suite (x _n ) n∈ N n’est pas majorée, auquel cas la suite (x _n ) n∈ N

tend vers +∞.

Dans le cas où la suite (x n ) n∈ N est décroissante à partir d’un certain rang on obtient

• Soit la suite (x _n ) n∈ N est minorée par un réel M , auquel cas la suite (x n ) n∈ N admet une limite finie et

n→+∞ lim x _n ≥ M

• Soit la suite (x n ) n∈ N n’est pas minorée, auquel cas la suite (x n ) n∈ N

tend vers −∞.

Exemple 48. Rappel : si n ≥ 1, on note n! le produit les entiers de 1 à n : n! = 1 × 2 × · · · × n

Par convention, on pose 0! = 1. On démontre que la suite (x _n ) _{n∈ N} de terme général x _n =

n

X

k=1

1 k!

est convergente.

3.4.3 Théorème des gendarmes

On a le résultat d’encadrement suivant : 3.8. Théorème – dit “des gendarmes”.

Soit (x _n ) n∈ N , (y _n ) n∈ N et (z _n ) n∈ N trois suites numériques pour lesquelles on a x _n ≤ y _n ≤ z _n à partir d’un certain rang, c’est-à-dire :

∃n ₀ ∈ N , ∀n ≥ n ₀ , x _n ≤ y _n ≤ z _n

On suppose que les deux suites (x n ) n∈ N et (z n ) n∈ N convergent vers une limite finie l ∈ R :

n→+∞ lim x _n = lim

n→+∞ z _n = l Alors la suite (y _n ) n∈ N converge vers l : lim

n→+∞ y _n = l.

Exemple 49. On considère la suite (−1) ⁿ n

!

n∈ N

.

3.4.4 Suites adjacentes

3.9. Théorème – Suites adjacentes.

Soit (x _n ) _{n∈ N} et (y _n ) _{n∈ N} deux suites numériques. On suppose :

• la suite (x _n ) n∈ N est croissante,

• la suite (y _n ) n∈ N est décroissante,

• la suite (x _n − y _n ) _{n∈ N} tend vers 0 : lim

n→+∞ (x _n − y _n ) = 0.

Alors les deux suites (x _n ) n∈ N et (y _n ) n∈ N sont dites adjacentes, elles sont toutes deux convergentes et ont la même limite finie :

n→+∞ lim x _n = lim

n→+∞ y _n et de plus on a x _n ≤ y _n pour tout entier n.

Exemple 50. On considère les suites (x _n ) n≥1 et (y _n ) n≥1 de terme général x _n =

n

X

k=1

1

k ² et y _n = x _n + 1 n

On démontre que ces deux suites sont adjacentes, donc la suite (x _n ) n∈ N est convergente.

3.4.5 Suites récurrentes

Définition 37. Une suite (x _n ) n∈ N est dite récurrente si il existe une fonction numérique f : R → R telle que (x _n ) n∈ N est définie par le processus itératif (ou relation de récurrence)

suivant : ₍

x ₀ fixé

pour tout n ≥ 0, x n+1 = f (x _n ).

Exemple 51. La suite arithmétique de premier terme b et de raison a est caractérisée par la relation de récurrence

( x ₀ = b

pour tout n ≥ 0, x _n+1 = x _n + a et c’est donc une suite récurrente associée à la fonction f : x 7→ x + a.

3.10. Théorème – Limite d’une suite récurrente.

Soit (x _n ) n∈ N une suite récurrente définie par le processus x _n+1 = f (x _n ).

On suppose que la suite (x _n ) n∈ N tend vers une limite finie l et que f est

continue au point l. Alors on a forcément que l est un point fixe de f,

c’est-à-dire f (l) = l.

Remarque 31. On verra plus loin dans le cours une condition sur la dérivée de f qui assure que la suite (x _n ) n∈ N tend vers une limite finie.

Exemple 52. La méthode de Héron pour calculer la racine carrée d’un nombre a > 0 consiste à calculer les termes de la suite récurrente associée à la fonction f (x) = 1

2

x + a x

.