2)Montrer que la suite (|un|)n∈N est d´ecroissante et tend vers 0 lorsquen

Universit´e Pierre et Marie Curie-Paris 06 LM 260 Partiel, 2012-2013

(Dur´ee 2 heures; sans document ni calculatrice) Exercice 1

Soit f : [0,+∞[→ [0,+∞[ une fonction continue, d´ecroissante, de limite nulle lorsque t → +∞. On pose: u_n=

Z (n+1)π

nπ

f(t) sin(t)dt.

1)Montrer que pour toutn∈N,un est positif si nest pair et n´egatif sinest impair.

2)Montrer que la suite (|un|)n∈N est d´ecroissante et tend vers 0 lorsquen→+∞.

3)D´eduire des questions pr´ec´edentes que la s´erie num´erique de terme g´en´eralun converge.

4)Montrer `a l’aide de la question 3) que l’int´egrale g´en´eralis´ee Z +∞

0

f(t) sin(t)dtest convergente.

5) On suppose quef(t)≥ 1

t pour t >0. Prouver que l’int´egrale Z +∞

0

f(t) sin(t)dt n’est pas absolument convergente.

Exercice 2 1) a)Soitα >1 etk≥2. D´emontrer que :

Z k+1

k

dt t^α ≤ 1

k^α ≤ Z k

k−1

dt t^α. b)En d´eduire en sommant membre `a membre, que :

+∞

X

k=n

1

k^α ∼_n→+∞ 1 (α−1)n^α−1.

2)Soitf une fonction de classeC¹d´efinie sur [0, π] `a valeurs r´eelles. D´emontrer en utilisant une int´egration par parties, que :

Z π

0

f(t) sin ((2n+ 1)t/2)dt→n→∞0.

3)On pose, pourn≥1,A_n(t) =1 2+

n

X

k=1

cos(kt). V´erifier, en utilisant le fait que cos(kt) =<(e^ikt) que, pour t∈]0, π], on a : An(t) =−1

2+cos(nt/2) sin((n+ 1)t/2)

sin(t/2) , puis par une formule trigonom´etrique classique que:

A_n(t) =−1

2+sin((2n+ 1)t/2) + sin(t/2)

2 sin(t/2) =sin((2n+ 1)t/2) 2 sin(t/2) . 4) a)Montrer, par deux int´egrations par parties, que sia= 1

2π,b=−1 etn≥1, alors:

Z π

0

(at²+bt) cos(nt)dt= 1 n². b)V´erifier ensuite que

Z π

0

(at²+bt)A_n(t)dt=S_n−π²

6 , o`uS_n=

n

X

n=1

1 k². 5)D´eduire des questions pr´ec´edentes queSn→ π²

6 lorsquen→+∞.

(On utilisera la question 2) en admettant que la fonctionf(t) = (t²

2π−t) 1

sin(t/2) est de classeC¹sur [0, π].) Exercice 3

Soitgla fonction d´efinie pourx∈[0,+∞[ par: g(x) =e^−xsin(2x).

1)Montrer que sup{|g(x)|/ x≥0}>0

On pose pour toutn∈N,fn(x) =g(nx) =e^−nxsin(2nx).

2)Montrer que la suite de fonction (fn)_n∈N converge simplement vers la fonction nulle sur [0,+∞[.

3) Soita >0. Montrer que la suite de fonction (fn)_n∈N converge uniform´ement vers la fonction nulle sur [a,+∞[.

1

4) A l’aide de la question 1), montrer que la suite de fonction (fn)n∈N ne converge pas uniform´ement vers la fonction nulle sur [0,+∞[.

2