Université Pierre & Marie Curie (Paris 6) Licence de Mathématiques L3
UE LM365 – Intégration 2 Année 2012–13
Examen final du 11 juin 2013 (2ème session)
Durée : 2 heures.Tous documents interdits. On désignera par λ la mesure de Lebesgue.
Exercice 1.
a) Énoncer le théorème de Fubini–Tonelli.
b) Énoncer le théorème de Fubini–Lebesgue.
c) Expliquer comment s’applique le théorème de Fubini–Lebesgue en pratique.
Exercice 2. Soient pet q deux réels conjugués. Montrer que si(fn) converge vers f dans Lp et que (gn) converge vers g dans Lq, alors(fngn) converge vers f g dans L1.
Exercice 3. Soient (E1,A1)et(E2,A2)deux espaces mesurables, et pour i= 1,2, soitCi une famille de parties de Ei contenant Ei, telle que σ(Ci) = Ai. On note B la tribu sur E1 ×E2 engendrée par C1×C2, et l’on cherche à montrer que B =A1⊗A2.
a) Montrer que B ⊆A1⊗A2.
b) Pour i= 1,2, on définit la fonction fi :E1×E2 −→Ei qui à(x1, x2) associe xi. i) Pour toute partieBi deEi, que vaut fi−1(Bi)selon que i= 1 ou i= 2? ii) En utilisant le lemme de transport, montrer que
σ({C1×E2 :C1 ∈C1}) = {A1×E2 :A1 ∈A1}.
iii) En déduire que pour tout A1 ∈A1, A1×E2 ∈B.
iv) Montrer que pour tout A1 ∈A1 et tout A2 ∈A2, A1×A2 ∈B. v) Conclure.
c) Prouver qu’il est indispensable de supposer que Ei ∈ Ci pour i = 1,2, en exhibant un contre-exemple [on pourra prendre E1 =E2 ={0,1}].
Exercice 4. Soit D le sous ensemble de N2 défini par D :={(r, q) ∈ N2 : 1 ≤ q ≤ r}. Pour tout couple (r, q)∈D, on désigne par Ir,q l’intervalle Ir,q :=
q−1
r ,q r
. Soit g(r,q) l’indicatrice de l’intervalle Ir,q.
a) Soit a : D → N? l’application définie par a(r, q) = 1 +· · ·+ (r−1) +q. Il est facile de voir que a est une bijection et l’on définit fn :=ga−1(n).
i) Donner une représentation graphique de D et y indiquer la valeur de a(r, q) à côté de quelques éléments (r, q) deD, puis calculer a−1(n) pourn = 1, . . . ,6.
ii) Représenterfn pour n= 1, . . . ,6.
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b) Dans cette question, nous désignons park · kpla norme associée à l’espaceLp([0,1],B([0,1]), λ).
i) Expliquer pourquoi, pour tout x∈[0,1], la suite (fn(x))n’est pas convergente.
ii) Soitp∈[1,+∞[. Calculer kg(r,q)kp et montrer que la suite(fn) converge dans Lp. iii) Calculerkg(r,q)k∞ et montrer que la suite(fn) ne converge pas dansL∞.
iv) Montrer que la suite (fn)admet au moins une suite extraite qui converge p.p.
c) Soity∈]0,1[. Dans cette question, nous désignons par k · kp la norme associée à l’espace Lp([0,1],P([0,1]), δy), où δy est la mesure de Dirac en y.
La suite (fn)converge-t-elle dansLp? Converge-t-elle p.p. ? Admet-elle une suite extraite qui converge p.p. ?