1) Montrer que f(x) tend vers 12 g 0 (2) quandx tend vers 2

Université de Cergy-Pontoise M1

UFR de Sciences et Techniques jeudi 14 janvier 2010

MATHEMATIQUES ( Durée: 2 heures 30 minutes)

Exercice 1: Ecrire ^z=p3?i sous forme exponentielle. Calculer ^z6.

Exercice 2: Limite éventuelle des quantité suivantes

f(x)=

sin^(2x)

x

quand ^x0 et ^{g(x)= 3x3+x2ex}

x 3

+2x 2

e

x quand ^x+1:

Exercice 3:

1) Enoncer le théorème des valeurs intermédiaires.

2) Soit ^f une fonction continue sur ^{[1; 2]} telle que ^f(1) et ^f(2) appartiennent à ^{[1; 2]}. Montrer qu'il existe un point ^c2[1;2] tel que ^f(c)=c. On pourra appliquer le théorème des valeurs inter- médiaires à la fonction ^g dénie par ^{g(t)=f(t)? t}.

Exercice 4: Soit ^A2R. Soit ^g une fonction dérivable sur ^R vériant

g(0)=g(2)=A:

Soit ^f la fonction dénie par

f(x)=

g(x)?A

x(x? 2) :

1) Montrer que ^f(x) tend vers ¹2 g

0

(2) quand^x tend vers 2.

2) Montrer que ^f(x) tend vers -¹2 g

0

(0) quand^x tend vers 0.

3) En déduire que la fonction ^f se prolonge par continuité en 0 et en 2.

4) On suppose que ^{g0(0)=? g0(2)}. Montrer qu'il existe un point^c2]0;2[ tel que ^f0(c)=0.

Exercice 5: Pour ^n2N, soit^un=3sin⁽ⁿ⁾⁺⁴cos⁽ⁿ⁾. 1) Montrer que la suite ^un est majorée.

2) Montrer que ⁴⁶sup^funjn2Ng65.

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