2. Montrer que (x n ) n∈N est décroissante et converge vers 0 . 3. Montrer que x n ∼ n 1 .

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Exercice.

1. Montrer que pour tout n ∈ N, l'équation

e ^x + n ln(1 + x) − 2 = 0 possède une unique solution x _n ∈ ]0, 1[ .

2. Montrer que (x n ) _n∈N est décroissante et converge vers 0 . 3. Montrer que x n ∼ _n ¹ .

4. a. Montrer qu'il existe des intervalles ouverts I et J contenant 0 et tels que





 I → J

x 7→ ln(1 + x) 2 − e ^x

soit bijective. On note f cette fonction et g sa bijection réciproque.

b. Montrer que f et g admettent des développements limités à tous les ordres.

c. Former un développement limité à l'ordre 3 en 0 de f (x) . d. Former un développement limité à l'ordre 3 en 0 de g(y) . 5. a. Montrer que

x n = 1 n − 1

2n ² + 5

6n ³ + o( 1 n ³ ) b. Déterminer un développement asymptotique de (x _n ) _n∈

N à la précision o( _n ¹

) .

Problème 1.

Notons Z [X] l'ensemble des polynômes à coecients dans Z. Dans ce problème, on iden- tie un polynôme à la fonction polynomiale qui lui est associée. On notera donc, pour tout P ∈ R [X] et x ∈ R, le résultat de la substitution dans P de X par x comme P(x) au lieu de P e (x) .

Un réel x est dit algébrique s'il existe un polynôme non nul P ∈ Z [X ] tel que P(x) = 0 . Un réel non algébrique est dit transcendant.

1. Exemples de nombres algébriques.

a. Montrer que tout nombre rationnel est algébrique.

b. Donner un exemple de nombre réel algébrique irrationnel.

2. Théorème de Liouville

Soit d ∈ N ^∗ , soit (a 0 , ..., a d ) ∈ Z ^d+1 avec a d 6= 0 et P ∈ Z [X ] déni par :

P =

d

X

k=0

a k X ^k .

Soit x ∈ R une racine de P .

a. Montrer qu'il existe un réel M > 0 tel que :

∀y ∈ [x − 1, x + 1], |P (y)| ≤ M |x − y| .

b. Montrer que pour tout couple (p, q) ∈ Z × N ^∗ tel que P p

q

6= 0 :

d

X

k=0

a k p ^k q ^d−k

≥ 1.

c. Montrer qu'il existe un réel K > 0 tel que :

∀(p, q) ∈ Z × N ^∗ , P p

q

6= 0 = ⇒

x − p q

≥ K q ^d . 3. Nombres de Liouville

Soit (u n ) _n∈N ∈ J 0, 9 K ^N une suite de nombres naturels inférieurs ou égaux à 9 .

∀n ∈ N , posons x _n =

n

X

k=0

u _k 10 ^k! . a. Montrer que pour tout k ∈ N :

u k

10 ^k! ≤ 9 10 ^k .

b. En déduire que la suite (x n ) n∈ N converge. Notons x sa limite.

c. Montrer que pour tout n ∈ N :

|x − x n | ≤ 1 10 ^{n n!} . d. Montrer que x est transcendant.

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Problème 2.

Ce problème porte sur un critère d'irréductibilité pour les polynômes à coecients ra- tionnels.

Partie 1 : Contenu d'un polynôme à coecients entiers

On note Z [X ] l'ensemble des polynômes de Q [X] à coecients entiers. Étant donné un polynôme P = a ₀ + ... + a _n X ⁿ ∈ Z [X ] non nul, on pose :

c(P ) = pgcd(a 0 , ..., a n ).

On dit que c(P ) est le contenu de P .

1. a. Montrer que pour tout P ∈ Z [X] non nul et tout k ∈ N ^∗ , c(kP ) = kc(P ) . b. Montrer que pour tout P ∈ Z [X] non nul :

1

c(P ) P ∈ Z [X]

Dans la suite de cette partie, A et B désignent deux polynômes de Z [X] de degrés respectifs n et m :

A =

n

X

k=0

a k X ^k B =

m

X

k=0

b k X ^k notons AB =

n+m

X

k=0

c k X ^k

2. Pour tout k ∈ J 0, n + m K, rappeler l'expression de c k en fonction des a i , b j .

3. On suppose dans cette question que c(A) = c(B) = 1 et que c(AB) admet un diviseur premier p .

a. Justier que l'on puisse dénir des entiers k 0 dans J 0, n K et l 0 dans J 0, m K par les égalités :

k 0 = min {k ∈ J 0, n K tq p 6 | a k } l 0 = min {l ∈ J 0, m K tq p 6 | b l } b. En exprimant c k

+l

, montrer que p divise a k

b l

.

c. Montrer que c(AB) = 1 . 4. Montrer que c(AB) = c(A)c(B) .

5. Soit P ∈ Z [X ] qui n'est pas irréductible dans Q [X] , c'est à dire qu'il existe deux polynômes Q, R ∈ Q [X] de degrés supérieurs ou égaux à 1 tels que P = QR .

a. Montrer qu'il existe deux entiers naturels q, r tels que qQ ∈ Z [X] et rR ∈ Z [X] . b. Montrer que qr divise c(qrQR) .

c. En déduire qu'il existe deux polynômes S et T dans Z [X ] de degré supérieur ou égal à 1 et tels que P = ST .

Partie 2 : Critère d'Eisenstein

Soit n ∈ N ^∗ et p un entier premier. On considère un polynôme A de degré n :

A =

n

X

k=0

a k X ^k ∈ Z [X ] et on suppose que les conditions suivantes sont vériées :

p divise a 0 , ..., a _n−1 . p ne divise pas a n . p ² ne divise pas a 0 . 1. Supposons qu'il existe deux polynômes B, C ∈ Z [X ] tels que :

deg(B) = r ≥ 1, B =

r

X

k=0

b k X ^k , deg(B ) = s ≥ 1, C =

s

X

k=0

c k X ^k et A = BC.

a. Montrer que p divise un et un seul des deux entiers b 0 et c 0 . On supposera par la suite que p divise b 0 et ne divise pas c 0 . b. Montrer que pour tout k ∈ J 0, r K, p divise b k .

c. En déduire que p divise a n . Qu'en conclure ? 2. Montrer que A est irréductible dans Q [X] .

Partie 3 : Exemples

1. Montrer que pour tout n ≥ 2 , X ⁿ − 2 est irréductible dans Q [X ] . 2. Soit p un entier premier. Posons Φ p = 1 + X + ... + X ^p−1 .

a. Montrer que (X − 1)Φ _p = X ^p − 1 . b. Posons Ψ _p = Φ c _p (X + 1) . Montrer que :

Ψ p =

p−1

X

k=0

p k + 1

X ^k . c. En déduire que Ψ _p est irréductible dans Q [X ] . d. Montrer que Φ _p est irréductible dans Q [X ] .

Cette création est mise à disposition selon le Contrat

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