MPSI B DM 5 29 juin 2019
EXERCICE I
Soit n un entier naturel supérieur ou égal à 3. On désigne par C n−1 [X ] l'ensemble des polynômes à coecients complexes et de degré inférieur ou égal à n − 1 (y compris le polynôme nul).
On s'intéresse aux familles de n+1 nombres complexes deux à deux distincts (z 0 , z 1 , · · · , z n ) vériant la condition ( C ) :
∀P ∈ C n−1 [X] , P(z e 0 ) = 1 n
P e (z 1 ) + P(z e 2 ) + · · · + P e (z n )
( C )
Partie I
Soit w = e
2iπn. Montrer que (0, w 1 , · · · , w n ) vérie la condition ( C ).
Partie II
Soit (z 0 , z 1 , · · · , z n ) une famille de nombres complexes deux à deux distincts vériant la condition ( C ). On pose
Φ = Y
k∈ J 1,n K
(X − z k ); ∀i ∈ J 1, n K , P i = Y
k∈ J 1,n K \{i}
(X − z k ).
1. a. Montrer que ∀i ∈ J 1, n K, P e i (z 0 ) = n 1 P e i (z i ) . b. Exprimer Φ 0 en fonction des P i . Montrer que
∀i ∈ J 1, n K , n Φ(z e 0 ) = (z 0 − z i )f Φ 0 (z i ).
c. Montrer que
Φ = 1
n (X − z 0 )Φ 0 + Φ(z e 0 ) 2. On pose Ψ = Φ − Φ(z e 0 ) .
a. Montrer que z 0 est une racine de Ψ . Quel est le coecient dominant de Ψ ? (question de cours) Rappeler la dénition de la multiplicité de z 0 comme racine de Ψ , donner sans démonstration une autre caractérisation de cette multiplicité.
b. En utilisant la formule de Leibniz, former une relation entre Ψ (i) et Ψ (i+1) pour i ∈ J 0, n − 1 K.
c. Calculer Ψ g (i) (z 0 ) pour i ∈ J 1, n − 1 K. Que peut-on en déduire pour Φ ?
3. Soit a ∈ C une racine n -ième de −e Φ(z 0 ) . Exprimer l'ensemble {z 1 , · · · , z n } à l'aide de z 0 , a et U n .
EXERCICE II
On désigne par cotan la fonction cotangente cos sin . Soit x un nombre réel non entier.
1. a. Préciser les racines 5-èmes de e 2iπx .
b. Soit θ réel ( θ 6≡ 0 mod 2π ), simplier i Z+1 Z−1 pour Z = e iθ . 2. Déterminer les racines du polynôme complexe
(X − i) 5 (i + cotan(πx)) + (X + i) 5 (i − cotan(πx))
3. En déduire des expressions simples pour la somme et le produit
4
X
k=0
cotan((x + k) π 5 ),
4
Y
k=0
cotan((x + k) π 5 )
Cette création est mise à disposition selon le Contrat
Paternité-Partage des Conditions Initiales à l'Identique 2.0 France disponible en ligne http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/fr/
