n est un entier supérieur ou égal à 3. Dans l'espace vectoriel C

MPSI B 29 juin 2019

Énoncé

Dans tout le problème

n est un entier supérieur ou égal à 3. Dans l'espace vectoriel C

[X ] des polynômes à coecients complexes de degré inférieur ou égal à n , on notera B

la base canonique (1, X, · · · , X

) et 0

la matrice nulle. On considère l'application f

qui à tout polynôme P de C

[X] associe le polynôme

f

(P ) = X

− 1

2 P

− XP

+ P 1. Montrer que f

est un endomorphisme de C

[X ] . 2. Dans cette question on étudie le cas particulier n = 3

a. Écrire la matrice M

de f

dans B

b. Déterminer une base du noyau et une base de l'image de f

. Ces deux sous-espaces sont-ils supplémentaires ?

c. Montrer que f

est un projecteur.

3. Dans cette question on étudie le cas particulier n = 4 a. Écrire la matrice M

de f

dans B

.

b. Montrer qu'il existe deux matrices A et B vériant M

= A + B

A

= A B

= 3B AB = BA = O

Déterminer le rang de A et celui de B .

c. Montrer que pour tout entier naturel n > 0 , la matrice M

est combinaison linéaire de A et B . Préciser les scalaires α

et β

tels que

M

= α

A + β

B

4. Étude pour n ≥ 5

a. Montrer que si P est un élément du noyau de f

alors son degré est inférieur ou égal à 2. En déduire le noyau de f

.

b. Montrer que (f

(1), f

(X

), f

(X

), · · · , f

(X

), ) constitue une base de l'image de f

.

1d'après E.N.S.A.I.T 2003 PC2

c. Soit φ

et φ

deux applications linéaires de C

[X] dans C non nulles et non proportionnelles. Montrer que dim(ker φ

) = dim(ker φ

) = n . Montrer que dim(ker φ

∩ ker φ

) = n − 1 .

d. Soit P et Q deux polynôme de C

[X ] . Montrer que si Q = f

(P ) alors Q

= X

− 1

2 P

Montrer que

Q ∈ Im f

⇔ (Q

(1) = Q

(−1) = 0)

On demande deux démonstrations distinctes dont l'une doit utiliser la question c.

e. Soit Q = f

(P ) un polynôme dans l'image de f

. Déterminer pour tout entier n ≥ 0 les réels α

et β

tels que

Q

= X

− 1

2 P

+ α

XP

+ β

P

5. Dans cette question, λ est une valeur propre de f

et S un polynôme propre de degré p c'est à dire que :

f

(S) = λS a. Soit µ un réel quelconque, calculer

P

(µ) = det(f

− µId

) pour n = 3 , n = 4 , n ≥ 5 .

b. Exprimer λ en fonction de p .

c. Dans cette question p ≤ 3 . Montrer que λ est égal à 0 ou à 1 . déterminer alors tous les polynômes vériant f

(S) = λS .

d. On suppose désormais p ≥ 4 . Montrer que 1 et −1 sont racines doubles de S . En déduire le seul S possible pour p = 4 . Ce polynôme est-il réellement propre ? e. On suppose maintenant p ≥ 5 et on considère le polynôme T = ˆ S(−X) .

Exprimer f

(T ) en fonction de T .

En déduire que si p est un entier pair alors S est un polynôme pair.

Montrer que si p est un entier impair alors 0 est racine de S . Calculer S pour p = 5 .

f. Montrer que toutes les racines de S autres que −1 ou 1 sont simples.

Cette création est mise à disposition selon le Contrat

Paternité-Partage des Conditions Initiales à l'Identique 2.0 France disponible en ligne http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/fr/

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