MPSI B 29 juin 2019

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MPSI B 29 juin 2019

Énoncé

On se place dans un plan P rapporté à un repère orthonormé d'origine O . Dans tout le problème, α ∈]0, π[−{

^π₂

} .

On dénit des applications a , h , f de C dans C par les formules suivantes valables pour tout z ∈ C :

a(z) = z cos

²

α

2 + z sin

²

α 2 h(z) = 2

sin α z f (z) = h ◦ a(z)

On note A , H , F les transformations du plan qui à un point d'axe z associent respecti- vement les points d'axes a(z) , h(z) , f (z) .

On note I , J , K les points respectivement d'axes 1 , j , j

²

et U , V , W les points respectivement d'axes u = f (1) , v = f (j) , w = f (j

²

) .

On note enn C le cercle de centre O et de rayon

¹₂

Partie I

1. Soit M un point du plan de coordonnées (x, y) , calculer les coordonnées des points A(M ) , H (M ) , F(M ) . Préciser la nature des transformations A et H .

2. Montrer que l'image de C par F est une conique (notée E ). Préciser le genre et les foyers de E .

Partie II

1. Former les équations des droites (IJ ) , (IK ) , (J K ) . Exprimer la distance d'un point M de coordonnées (x, y) à ces droites.

2. Montrer que C est le cercle inscrit dans le triangle (IJ K ) .

3. Montrer que chacun des segments [U V ] , [U W ] , [V W ] est tangent en son milieu à la conique E .

Partie III

1. Montrer que pour tout z complexe : f (z) = z

tan

^α₂

+ z tan α 2

2. Calculer u + v + w et uv + uw + vw .

3. En déduire les racines de P

⁰

(x) (dérivée formelle) du polynôme P (x) = (x − u)(x − v)(x − w)

Ceci démontre dans un cas particulier le théorème de van der Berg

¹

:

Lorsque les sommets d'un triangle forment les trois racines d'un polynôme, l'ellipse tangente au milieu de chaque côté admet pour foyers les racines du polynôme dérivé.

Partie IV

1. Soit (z

₀

, z

₁

, z

₂

) trois nombres complexes. On dit que (z

₀

, z

₁

, z

₂

) vérie (∗) lorsque : z

0

+ z

1

+ z

2

= 0

z

0

z

1

+ z

0

z

2

+ z

1

z

2

= −3

Montrer que (z

0

, z

1

, z

2

) vérie (∗) si et seulement si z

1

et z

2

sont les racines d'une certaine équation du second degré à préciser.

2. Former un triplet (z

0

, z

1

, z

2

) vériant (∗) avec z

0

= 4 . Trouver un α tel que z

0

= f (1) z

1

= f (j) z

2

= f (j

²

)

1d'après Polynomials, Prasolov, Springer

Cette création est mise à disposition selon le Contrat

Paternité-Partage des Conditions Initiales à l'Identique 2.0 France disponible en ligne http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/fr/

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Rémy Nicolai Avdb

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Corrigé

Partie I.

1. Le calcul des coordonnées demandées ne pose pas de problème particulier, on trouve

A(M ) : (x, cos αy)

H (M ) :

2 sin α x, 2

sin α y

F (M ) :

2 sin α x, 2 cos α sin α y

La transformation A est une anité orthogonale d'axe (Ox) et de rapport cos α . La transformation H est une homothétie de centre O et de rapport 2

sin α .

2. Notons E l'image de C par la transformation F . Un point M de coordonnées (x, y) ap- partient à E si et seulement si son antécédent par F appartient à C . Or les coordonnées de cet antécédent sont :

sin α

2 x, sin α 2 cos α y

On en déduit : M ∈ E ⇔

sin α 2 x

²

+

sin α 2 cos α y

²

= 1

4 ⇔ x

²

1 sin

²

α

+ y

²

cos

²

α sin

²

α

= 1

Il s'agit de l'équation réduite d'une ellipse d'axe focal (Ox) (car | cos α < 1| ). La distance centre-sommet est a =

_sin¹_α

. Le demi petit-axe est b =

^cos_sin_α^α

. La distance centre-foyer est c = 1 car

c

²

= a

²

− b

²

= 1 − cos

²

α sin

²

α = 1 Les foyers sont les points de coordonnées (−1, 0) et (1, 0) .

Partie II.

Les points I , J , K sont placés sur la gure 1.

I J

K C

O

Fig. 1: Points I , J , K .

1. On connait l'expression algébrique des parties réelles et imaginaires de j . On en déduit les équations des droites puis l'expression des distances à ces droites.

(IJ) : x − 1 + √ 3y = 0 (IK ) : x − 1 − √

3y = 0 (J K ) : x + 1

2 = 0

d(M, (IJ)) = |x + √ 3y − 1|

2 d(M, (IK )) = |x − √ 3y − 1|

2 d(M, (J K)) = |x − 1 2 | 2. Par dénition, C est le cercle de centre O et de rayon

¹₂

. D'après les formules précé-

dentes :

d(O, (IJ)) = d(O, (IK )) = d(O(J K)) = 1 2

Les trois droites sont donc tangentes à C . Comme les points I , J , K sont sur le cercle de centre O et de rayon 1 , chaque médiatrice est en fait la normale au cercle. Les points de contacts sont donc les milieux des segments.

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3. Quand on transforme la gure par l'anité F , le cercle C devient l'ellipse E , les points I , J , K deviennent respectivement U , V , W . La tangence est conservée, la propriété des milieux est conservée donc chaque segment [U, V ] , [V, W ] , [W, U] est tangent en son milieu à l'ellipse E . Voir gure 2.

I U J

K V

W E

Fig. 2: Points I , J , K .

Partie III.

1. En utilisant sin α = 2 sin

^α₂

cos

^α₂

et la dénition de f , on obtient directement la formule demandée

f (z) = 2 cos

²^α₂

sin α z + 2 sin

²^α₂

sin α z = cos

^α₂

sin

^α₂

z + sin

^α₂

cos

^α₂

z = z

tan

^α₂

+ z tan α 2 2. En utilisant les relations précédentes :

u + v + w = f (1) + f (j) + j(j

²

) = 1

tan

^α₂

(1 + j + j

²

) + tan α

2 (1 + j + j

²

) = 0 On remplace f (1) , f (j) , f (j

²

) par les expressions de la question 1. puis on développe

(avec j

³

= 1 ) :

uv + uw + vw = j

tan

²^α₂

+ j + j

²

| {z }

=−1

+ j

²

tan

²

α 2 + j

²

tan

²^α₂

+ j + j

²

| {z }

=−1

+ j tan

²

α 2

+ 1

tan

²^α₂

+ j + j

²

| {z }

=−1

+ tan

²

α 2 = −3 en utilisant 1 + j + j

²

= 0 en facteur devant les tan et les inverses des tan ..

3. On peut exprimer les coecients du polynoe en fonction des racines :

P(x) = (x−u)(x−v)(x−w) = x

³

−(u+v+w)x

²

+(uv+uw+vw)x−uvw = x

³

−3x−uvw On en déduit que les racines de P

⁰

sont 1 et −1 car

P

⁰

(x) = 3x

²

− 3 = 3(x − 1)(x + 1)

Partie IV.

1. Par dénition, (z

0

, z

1

, z

2

) vérie (∗) si et seulement si ( z

1

+ z

2

= −z

0

z

₁

z

₂

= −3 − z

₀

(z

₁

+ z

₂

) ⇔

( z

1

+ z

2

= −z

0

z

₁

z

₂

= −3 + z

²₀

si et seulement si z

1

et z

2

sont les racines de l'équation d'inconnue z

z

²

+ z

₀

z + (−3 + z

₀²

) = 0

2. Si z

0

= 4 , l'équation de la n de la question précédente devient z

²

+ 4z + 13 = 0 . Ses racines sont −2 + 3i et −2 − 3i . Comme

cos

^α₂

sin

^α₂

+ sin

^α₂

cos

^α₂

= 2

sin α

La relation u = f (1) conduit à sin α =

¹₂

. On choisit α =

^π₆

. On en déduit : f (z) = 4 Re z + i2 √

3 Im z u = f (j) = −2 + 3i

v = f (j

²

) = −2 − 3i

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