Étant donné un entier n strictement positif, on dénit les nombres réels I n et S n par les formules suivantes

MPSI B DS 9 29 juin 2019

Exercice

Étant donné un entier n strictement positif, on dénit les nombres réels I _n et S _n par les formules suivantes

:

S n =

n−1

X

i=0





n−1

X

j=0

1 i + j + 1



 , I n = Z n

0

Z n 0

dy x + y + 1

dx

1. Donner une primitive de la fonction x → ln x puis de x → ln(x + K) où K est un réel xé.

2. Calculer I _n

3. Déterminer les constantes A , B , C , D gurant dans le développement de la suite (I _n ) _n∈

I n = An + B ln n + C + D n + o( 1

n ) 4. a. Montrer que :

∀(i, j) ∈ {0, · · · , n − 1} ² : Z i+1

i

Z j+1 j

dy x + y + 1

dx ≤ 1 i + j + 1

b. Montrer que :

∀(i, j) ∈ {1, · · · , n} ² : 1 i + j + 1 ≤

Z i i−1

Z j j−1

dy x + y + 1

dx

c. En déduire

I n ≤ S n ≤ I n−1 + 2

n

X

k=1

1 k

5. Montrer que la suite (S n ) _n∈N est équivalente à l'inni à 2n ln 2 . 6. Soit J n l'intégrale suivante :

J n = Z 1

0 n−1

X

k=0

x ^k

! ² dx

Établir une relation liant J _n et S _n . En déduire un équivalent de J _n à l'inni.

1

d'après Mines-Ponts 2003 MP1

Problème 1

Dans tout le problème

n est un entier supérieur ou égal à 3. Dans l'espace vectoriel C ⁿ [X ] des polynômes à coecients complexes de degré inférieur ou égal à n , on notera B n

la base canonique (1, X, · · · , X ⁿ ) et 0 n la matrice nulle. On considère l'application f n qui à tout polynôme P de C n [X ] associe le polynôme

f n (P ) = X ² − 1

2 P

− XP

+ P 1. Montrer que f n est un endomorphisme de C n [X ] . 2. Dans cette question on étudie le cas particulier n = 3

a. Écrire la matrice M 3 de f 3 dans B 3

b. Déterminer une base du noyau et une base de l'image de f ₃ . Ces deux sous-espaces sont-ils supplémentaires ?

c. Montrer que f 3 est un projecteur.

3. Dans cette question on étudie le cas particulier n = 4 a. Écrire la matrice M 4 de f 4 dans B 4 .

b. Montrer qu'il existe deux matrices A et B vériant M 4 = A + B

A ² = A B ² = 3B AB = BA = O 4

Déterminer le rang de A et celui de B .

c. Montrer que pour tout entier naturel n > 0 , la matrice M ₄ ⁿ est combinaison linéaire de A et B . Préciser les scalaires α n et β n tels que

M ₄ ⁿ = α n A + β n B

4. Étude pour n ≥ 5

a. Montrer que si P est un élément du noyau de f _n alors son degré est inférieur ou égal à 2. En déduire le noyau de f _n .

b. Montrer que (f n (1), f n (X ³ ), f n (X ⁴ ), · · · , f n (X ⁿ ), ) constitue une base de l'image de f n .

2

d'après E.N.S.A.I.T 2003 PC2

Cette création est mise à disposition selon le Contrat

Paternité-Partage des Conditions Initiales à l'Identique 2.0 France disponible en ligne http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/fr/

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c. Soit φ 1 et φ 2 deux applications linéaires de C n [X] dans C non nulles et non proportionnelles. Montrer que dim(ker φ 1 ) = dim(ker φ 2 ) = n . Montrer que dim(ker φ ₁ ∩ ker φ ₂ ) = n − 1 .

d. Soit P et Q deux polynôme de C n [X] . Montrer que si Q = f _n (P ) alors Q

= X ² − 1

2 P ⁽³⁾ Montrer que

Q ∈ Im f n ⇔ (Q

(1) = Q

(−1) = 0)

On demande deux démonstrations distinctes dont l'une doit utiliser la question c.

e. Soit Q = f n (P ) un polynôme dans l'image de f n . Déterminer pour tout entier n ≥ 0 les réels α n et β n tels que

Q ⁽ⁿ⁾ = X ² − 1

2 P ⁽ⁿ⁺²⁾ + α n XP ⁽ⁿ⁺¹⁾ + β n P ⁽ⁿ⁾

5. Dans cette question, λ est une valeur propre de f _n et S un polynôme propre de degré p c'est à dire que :

f n (S) = λS a. Soit µ un réel quelconque, calculer

P _n (µ) = det(f _n − µId _n ) pour n = 3 , n = 4 , n ≥ 5 .

b. Exprimer λ en fonction de p .

c. Dans cette question p ≤ 3 . Montrer que λ est égal à 0 ou à 1 . déterminer alors tous les polynômes vériant f n (S) = λS .

d. On suppose désormais p ≥ 4 . Montrer que 1 et −1 sont racines doubles de S . En déduire le seul S possible pour p = 4 . Ce polynôme est-il réellement propre ? e. On suppose maintenant p ≥ 5 et on considère le polynôme T = ˆ S(−X) .

Exprimer f _n (T ) en fonction de T .

En déduire que si p est un entier pair alors S est un polynôme pair.

Montrer que si p est un entier impair alors 0 est racine de S . Calculer S pour p = 5 .

f. Montrer que toutes les racines de S autres que −1 ou 1 sont simples.

Cette création est mise à disposition selon le Contrat

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