Partie II

MPSI B DS 4 29 juin 2019

Exercice

On dénit, pour tout entiern≥1, une fonctionf_n deRdansRen posant

∀x∈R, fn(x) =xⁿ+xⁿ⁻¹+· · ·+x²+x−1

1. Montrer qu'il existe un unique réelan strictement positif tel quefn(an) = 0. 2. Montrer que(an)n∈N^∗ est monotone, en déduire sa convergence.

3. Montrer quea₂∈]0,1[. En déduire la convergence et la limite de (aⁿ⁺¹_n )_n∈N^∗

puis la limitel de(an)_n∈N^∗.

On pourra montrer quean= ¹₂(1 +aⁿ⁺¹_n ).

4. Préciser, suivantx∈]0,1[et x6= ¹₂, la limite de (fn(x))n∈N^∗. En déduire directement, sans utiliser 2 la convergence et la limitel de(a_n)_n∈N^∗.

Pour toutε >0, on pourra considérer les suites f_n(¹₂ −ε)

n∈N^∗ et f_n(¹₂+ε)

n∈N^∗. 5. Trouver un équivalent simple à la suite(an−l)n∈N^∗.

On pourra étudier d'abord la limite de((2an)ⁿ⁺¹)n∈N^∗.

Problème I.

SoitK >0 etE(K)l'ensemble des suites(M_k)_k∈N vériant

∀k∈N, Mk >0 et M_k² M_k−1Mk+1

≤K

Partie I

Dans cette partieK= 1. Plus précisément, Eest l'ensemble de toutes les suites de E(1) dont les deux premiers termes sont égaux à1.

(An)n∈N∈E⇔ A0=A1= 1, ∀n∈N^∗: An >0 etA²_n≤An−1An+1

1. Vérier que la suite de terme généraln! est élément deE. On convient que0! = 1. 2. Soit(A_n)_n∈N∈E. Montrer que

∀n≥3, An≥A

n−1 n−2

n−1

En déduire queAn≥1pour tous les entiersn.

1D'après Agrégation interne 2000 épreuve 2

3. Soit(An)n∈N∈E. On dénit les suites(λn)n∈Net (µn)n∈Npar λ0=µ0= 1, ∀n≥1 : λn= A_n−1

A_n , µn=A⁻nⁿ¹

a. Montrer que(λ_n)_n∈Nest décroissante, en déduireλⁿ_n≤λ₁λ₂· · ·λ_n. b. Montrer que(µ_n)_n∈Nest décroissante.

c. Montrer que :

∀n∈N, ∀j∈J0, nK, An+1

A_n+1−j ≥ An

A_n−j En déduireA_jA_n−j≤A_n.

d. Établirλn ≤µn pour tout entiern.

Partie II

Dans cette partieK= 2et(Mn)_n∈

N∈ E(2).

1. Soit(uk)_k∈Nest une suite croissante de réels positifs. Montrer que

∀n≥2,∀k∈J2, n−1K, (u1u2· · ·uk)ⁿ≤(u1u2· · ·un)^k 2. Montrer que la suite(u_k)_k∈N^∗ est croissante avec :

∀k≥1, uk = 2^k−1 Mk

M_k−1 3. Montrer que

∀n∈N^∗, ∀k∈J1, nK, M_k ≤2^k(n−k)2 M₀^1−knMn^kn

Partie III

1. a. Déterminer en fonction de λ0, les suites (λn)_n∈N de nombres réels strictement positifs vériant

∀n∈N^∗, λ²_n λn−1λn+1

= 1

b. Par quelle suite peut-on multiplier une suite(M_n)_n∈NdeE(K)pour obtenir une suite deE(K)dont les deux premiers termes sont égaux à 1 ?

2D'après CCC 2000 PC épreuve 2

Cette création est mise à disposition selon le Contrat

Paternité-Partage des Conditions Initiales à l'Identique 2.0 France disponible en ligne http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/fr/

1 Rémy Nicolai S0504E

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2. a. Déterminer en fonction deλ0etλ1, les suites(λn)n∈Nde nombres réels strictement positifs vériant

λ²_n λ_n−1λn+1

=K

b. Par quelle suite peut-on multiplier une suite(Mn)_n∈N∈ E(K)pour obtenir une suite deE?

Problème II.

Soit n un entier strictement positif et i, j des entiers tels que 1 ≤ i < j ≤n. On dit que la permutation f de l'ensemble{1,2,· · ·, n} transpose la pairei, j si et seulement si f(i) =j etf(j) =i.

On note sn le nombre de permutations de {1,2,· · ·, n} ne transposant aucune paire. En particuliers1= 1et par conventions0= 1. On note aussi

u_n =sn

n!

1. Calculeru₀, u₁, u₂, u₃

2. a. Pour n ≥ 2, exprimer en fonction de sn−2 le nombre de permutations de {1,2,· · · , n}transposant une seule paire.

b. Montrer qu'il existe des permutations de{1,2,· · ·, n}transposant exactement k paires si et seulement si0≤k≤E(ⁿ₂)

c. Montrer que le nombre de ces permutations est alors C_n^2k(2k−1)(2k−3)· · ·3.1s_n−2k

3. a. Exprimersn en fonction des sj pourj entre 0 etn. b. En déduire que, pour tout entier natureln,

u_n= 1−

E(ⁿ₂)

X

k=1

u_n−2k

2^kk! (1)

4. a. Démontrer par récurrence à l'aide de la relation (1) que, pour tout entier naturel p,u_2p+1=u_2p

b. Pour tout entier naturel p, on pose vp = 2^pu2p. Calculer vp en fonction desvj

pourj∈ {0,1,· · ·, p−1}.

c. Calculer v0, v1,· · ·, v4 puisu0, u1,· · · , u9 et enns0, s1,· · · , s9. 5. a. Démontrer que pour toutp≥1,

u_2p−u_2p−2=(−1)^p 2^pp!

b. En déduire que la suite(un)_n∈N converge vers un nombre de]0,1[.

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