MPSI B Énoncé du DS 01 29 juin 2019

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Exercice 1

Pour n entier naturel supérieur ou égal 1 et θ réel, on pose ¹ D n (θ) =

n−1

X

k=−n+1

e ^ikθ F n (θ) = 1 n

n

X

j=1

D j (θ) 1. Sans chercher à calculer D _n , montrer que

F n (θ) =

n−1

X

k=−n+1

(1 − |k|

n )e ^ikθ

2. Pour θ 6∈ 2π Z, en calculant D n (θ) à l'aide d'une somme de termes en progresssion géométrique, exprimer nF n (θ) comme le carré d'un quotient de sinus. (ne pas chercher à utiliser la première question)

Exercice 2

Soit f la fonction ² dénie de C − {2i} dans C par : f (z) = z ²

z − 2i

1. Déterminer les racines carrées de 8 − 6i , en déduire les antécédents de 1 + i par f . 2. Soit h ∈ C. Discuter suivant les valeurs de h , son nombre d'antécédents par f .

La fonction f est-elle surjective, injective ?

3. On dénit une application g de C − {2i} dans C par : g(z) = |z − 2i| ² z ²

z − 2i + z ³

On note respectivement x et y les parties réelle et imaginaire de z . Exprimer en fonction de x et y les parties réeelles et imaginaires de g(z) .

4. Soit P un plan rapporté à un repère orthonormé direct R = (O, − → e ₁ , − → e ₂ ) et Γ l'ensemble des points dont les axes z sont telles que g(z) soit imaginaire pur.

a. Montrer que Γ est la réunion d'une droite ∆ (privée d'un point) et d'un ensemble C dont on donnera une équation.

1

D'aprés CCMP 2001 2 eme épreuve

2

D'après Concours commun 2006 des écoles des mines d'Albi, ...

b. Soit A le point de P de coordonnées (0, −1) dans R . On dénit deux vecteurs

−

→ u ₁ = 1

√ 2 ( − → e ₁ + − → e ₂ ) , − → u ₂ = 1

√ 2 (−− → e ₁ + − → e ₂ )

Montrer que R ⁰ = (A, − → u 1 , − → u 2 ) est un repère orthonormé direct. Soit M un point de coordonnées (x, y) dans R . Calculer les coordonnées (X, Y ) de M dans R ⁰ . c. En considérant (y + 1) ² , exprimer l'équation de C avec X et Y . Présenter C et ∆

sur une gure.

Exercice 3

Dans tout l'exercice, n désigne un entier naturel non nul, P n désigne l'ensemble des entiers pairs entre 0 et n et I n désigne l'ensemble des entiers impairs entre 0 et n .

On associe à chaque paramètre complexe a 6= 0 deux équations d'inconnue z notées E ₀ (n, a) et E ₁ (n, a)

E 0 (n, a) : X

k∈P

n k

z ^k a ^n−k = 0

E 1 (n, a) : X

k∈I

n k

z ^k a ^n−k = 0

1. Cas particuliers. Former les six équations obtenues pour n = 2 , n = 3 , n = 4 . Dans chaque cas, donner l'ensemble des solutions.

2. Soit λ un nombre complexe non nul, montrer que w est solution de E 0 (n, a) si et seulement si λw est solution de E ₀ (n, λa)

3. a. Discuter selon le paramètre complexe w et donner l'ensemble des solutions de l'équation d'inconnue z

a + z a − z = w b. Pour α réel et w = e ^iα , simplier

w − 1 w + 1

c. Déterminer l'ensemble des solutions de l'équation d'inconnue z a + z

a − z n

= 1 On exprimera chaque solution sous une forme simple.

Cette création est mise à disposition selon le Contrat

Paternité-Partage des Conditions Initiales à l'Identique 2.0 France disponible en ligne http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/fr/

1

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d. En considérant (z + a) ⁿ et (−z + a) ⁿ résoudre l'équation E 1 (n, a) . 4. Une autre idée.

a. Soit x et y deux nombres réels, exprimer avec des sommations les parties réelle et imaginaire de (x + iy) ⁿ .

b. Montrer que lorsque θ est un réel tel que cos θ 6= 0 : cos(nθ)

cos ⁿ θ = X

k∈P

n k

(i tan θ) ^k , i sin(nθ) cos ⁿ θ = X

k∈I

n k

(i tan θ) ^k

c. En déduire les solutions de E ₁ (n, 1) puis retrouver celles de E ₁ (n, a) déjà obtenues en 3.d.

d. Déterminer les solutions de E ₀ (n, i) puis de E ₀ (n, a) .

Exercice 4

Cet exercice porte sur la construction d'un pentagone régulier ³ .

Soit ω un nombre complexe tel que ω 6= 1 et ω ⁵ = 1 . On considère les deux nombres complexes α et β dénis par :

α = ω + 1

ω β = −1 − α

1. a. Montrer que

ω = 1 ω = ω ⁴

Former une relation analogue pour ω ² au lieu de ω . Que peut-on en déduire pour ω + ω ⁴ et ω ² + ω ³ ?

b. Montrer que

1 + ω + ω ² + ω ³ + ω ⁴ = 0

2. a. Montrer que α et β sont réels en exprimant α à l'aide d'une partie réelle.

b. Simplier α + β et αβ . En déduire une équation simple du second degré dont les solutions sont α et β .

3. Préciser le centre et les intersections avec les axes du cercle d'équation x ² + y ² + x − 1 = 0

3

D'après E.N.S.A.I.S 2005

4. (En utilisant les résultats de terminale.) On suppose ω = e

= cos 2iπ

5 + i sin 2iπ 5

Montrer que les 3 points situés sur le cercle de centre 0 et de rayon 2 et dont les abscisses sont respectivement α , β et 2 sont des sommets d'un pentagone régulier. En déduire une construction à la règle et au compas d'un pentagone régulier.

Cette création est mise à disposition selon le Contrat

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