MPSI B Énoncé du DS 1 29 juin 2019

(1)

MPSI B Énoncé du DS 1 29 juin 2019

Exercices

1. Calculer

_n

X

k=0

(k + 1) n

k

2. Discuter suivant le paramètre réel m et résoudre l'inéquation d'inconnue réelle x (m + 2)x + 1 < 1 + x + x

²

1 − x

3. Soit n un entier supérieur ou égal à 1, et k ∈ {0, 1, . . . n − 1} . Montrer que

n k

2n k

−

n k+1

2n k+1

= 1 2

n k

2n−1 k

En déduire une expression simple de

n

X

k=0 n k

2n−1 k

Nombre de recouvrements

Soit E un ensemble ni, on appelle n -recouvrement de E un n -uplet (E

₁

, · · · , E

_n

)

de parties de E dont la réunion est E .

Soient A et B deux ensembles quelconques, on considère une application Φ

AB

dénie de la manière suivante

F(A, P(B)) → F(B, P(A)) f → Φ

AB

(f ) = ϕ avec

∀b ∈ B, ϕ(b) = {a ∈ A, b ∈ f(a)}

1. Préciser pour un exemple de A , B , f de votre choix la fonction ϕ .

2. Explicitez Φ

AB

◦ Φ

BA

et Φ

BA

◦ Φ

AB

. Montrer que Φ

AB

est une bijection. Vérier, en les calculant autrement, que F(A, P (B )) et F(B, P (A)) ont le même nombre d'éléments lorsque A et B sont nis.

3. Dans toute la suite, on suppose que A = {1, · · · , n} et B = E . Si f est une application de A dans P(E) , on pose

E

₁

= f (1), E

₂

= f (2), · · · , E

_n

= f (n), ϕ = Φ

_AB

(f )

a. Désignons par Ω

_i

l'ensemble des parties de A contenant i . Montrer que E

_i

= ϕ

⁻¹

(Ω

_i

)

b. Montrer que E

₁

∪ · · · ∪ E

_n

= E si et seulement si l'ensemble vide n'est pas un élément de ϕ(E) . En déduire le nombre de n -recouvrements de E . Montrer que

∀i ∈ {1, · · · , n}, E

_i

6= ∅ ⇔ [

x∈E

ϕ(x) = {1, · · · , n}

Dans ce problème, toutes les fonctions considérées sont dénies dans [0, 1] et à valeurs réelles. On considère en particulier les fonctions B

ⁿ_k

(dites polynomiales de Bernstein) avec n ∈ N et k ∈ J 0, n K :

∀x ∈ [0, 1], B

ⁿ_k

(x) = n

k

x

^k

(1 − x)

^n−k

Soit f une fonction de [0, 1] dans R. Pour tout entier n strictement positif, on dénit la fonction f

n

par :

∀x ∈ [0, 1], f

_n

(x) =

n

X

k=0

f ( k n )B

_kⁿ

(x)

I. Outils.

1. Pour n ∈ N

^∗

et k entier entre 1 et n , exprimer

^k_n ⁿ_k

comme un coecient du binôme.

2. On considère trois propositions.

P

1

∀ε > 0, ∃N ∈ N tel que ∀n ∈ N , ∀x ∈ [0, 1], n ≥ N ⇒ |f

n

(x) − f (x)| ≤ ε P

₂

∀x ∈ [0, 1], (f

_n

( x))

_n∈_N

→ f (x)

P

3

∀ε > 0, ∀x ∈ [0, 1], ∃N ∈ N tel que ∀n ∈ N , n ≥ N ⇒ |f

n

(x) − f (x)| ≤ ε On ne demande pas ici d'étudier si ces propositions sont vraies ou non mais de préciser les implications logiques entre elles.

Cette création est mise à disposition selon le Contrat

Paternité-Partage des Conditions Initiales à l'Identique 2.0 France disponible en ligne http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/fr/

1

Rémy Nicolai S0201E

(2)

MPSI B Énoncé du DS 1 29 juin 2019

3. Dans cette question, on suppose que f est de classe C

²

. Montrer que, pour tous x et y dans [0, 1] , il existe z ∈ [0, 1] tel que

f (y) = f (x) + (y − x)f

⁰

(x) + (y − x)

²

f

⁰⁰

(z) 2 On pourra utiliser une fonction

t 7→ f (t) + (y − t)f

⁰

(t) + (y − t)

²

M avec un M réel bien choisi.

4. Former le tableau de variations de la fonction x 7→ x(1 − x) dans [0, 1] .

II. Propriétés.

1. Pour n ∈ N

^∗

, k ∈ J 1, n − 1 K et x ∈ [0, 1] exprimer

(1 − x)B

ⁿ⁻¹_k

(x) + xB

_k−1ⁿ⁻¹

(x) avec une fonction polynomiale de Bernstein.

2. Déterminer la fonction f

n

dans les cas suivants

∀x ∈ [0, 1] : f (x) = 1, ∀x ∈ [0, 1] : f (x) = x, ∀x ∈ [0, 1] : f (x) = e

^x

Dans le dernier cas, le résultat sera exprimé par une puissance.

3. Montrer que, pour tout entier n , tout entier k entre 0 et n et tout x ∈ [0, 1] : x(1 − x)B

ⁿ_k⁰

(x) = (k − nx)B

_kⁿ

(x)

4. a. Soit g dénie sur [0, 1] par g(x) = xf (x) . Les fonctions f

n

et g

n

sont respective- ment associées à f et g par la relation donnée au début.

Vérier que, pour tous les x ∈ (0, 1] , x(1 − x)

n f

_n⁰

(x) = g

_n

(x) − xf

_n

(x) b. Exprimer simplement f

n

pour f (x) = x

²

.

5. Montrer que, pour tous les x ∈ (0, 1] ,

n

X

k=0

( k

n − x)

²

B

_kⁿ

(x) = x(1 − x) n

III. Monotonie

Pour toute fonction f dénie sur [0, 1] et tout n ∈ N, on dénit la fonction ∆

n

f par :

∀t ∈ [0, 1], ∆

_n

f (t) =



 

 

f (t + 1

n ) − f (t) si t ≤ 1 − 1 n f (1) − f (t) si t > 1 − 1 n

1. Exprimer la dérivée de B

_kⁿ

en fonction d'autres polynômes de Bernstein. On distinguera les cas k = 0 , k entre 1 et n − 1 , k = n .

2. Montrer que pour tout n naturel non nul, f

_n⁰

= n

n−1

X

k=0

(∆

n

f )( k n )B

_kⁿ⁻¹

3. Montrer que si f est croissante alors f

n

est croissante.

IV. Approximations.

1. Dans cette question, on suppose que f est de classe C

²

.

a. Justier l'existence d'un réel M

2

tel que, pour tout x ∈ [0, 1] , |f

⁰⁰

(x)| ≤ M

2

. b. Montrer que, pour tout x ∈ [0, 1] ,

|f

n

(x) − f (x)| ≤ M

₂

2 x(1 − x) n c. Montrer que la proposition P

1

est vraie.

2. Dans cette question, la fonction f est supposée seulement continue.

Pour tout α > 0 et x ∈ [0, 1] , on dénit les ensembles K

α

(x) et K

_α⁰

(x) par : K

α

(x) =

k ∈ J 0, n K tq k n − x

≥ α

K

_α⁰

(x) = J 0, n K \ K

α

(x)

a. Montrer que, pour tout x ∈ [0, 1] ,

X

k∈Kα(x)

B

_kⁿ

(x) ≤ 1 4nα

²

2

(3)

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b. On note M

0

= max

[0,1]

|f | . Montrer que pour tout x ∈ [0, 1] ,

|f

n

(x) − f (x)| ≤ M

0

2nα

²

+ X

k∈K_α⁰(x)

f( k

n ) − f (x)

B

_kⁿ

(x)

En déduire que la proposition P

3