MPSI B Corrigé du DS 6 29 juin 2019

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MPSI B Corrigé du DS 6 29 juin 2019

Problème 2

1. a. Soit x

₁

un point de X et a

₁

∈ V tels que a

₁

(x

₁

) 6= 0 . Il existe bien de tels objets car sinon V ne serait formé que de l'application nulle. En divisant au besoin la fonction a

1

par le scalaire a

1

(x

1

) , on peut supposer que a

1

(x

1

) = 1 . La famille (a

1

) est une famille libre de V , on peut la compléter pour obtenir une base

(a

₁

, w

₂

, · · · , w

_p

)

Pour i entre 2 et p , on pose alors a

_i

= w

_i

− w

_i

(x

₁

)a

₁

. Il est clair que tous les w

_i

s'expriment en fonction des a

_j

qui engendrent donc V et forment une base. De plus, par construction, a

_i

(x

₁

) = 0 .

b. Considérons u

k+1

. C'est une fonction non nulle. Il existe donc x

k+1

∈ X tel que u

k+1

(x

k+1

) 6= 0 . Comme u

k+1

(x

i

) = 0 pour tous les i de 1 à k , on a x

k+1

6∈

{x

1

, · · · , x

k

} . On pose alors

v

k+1

= 1

u

_k+1

(x

_k+1

) u

k+1

∀i 6= k + 1, v

i

= u

i

− u

i

(x

k+1

)v

k+1

Ici encore, comme les u

i

s'expriment en fonction des v

j

, ces derniers engendrent V et forment une base. Pour laquelle

∀i ∈ {1, · · · , p}, ∀j ∈ {1, · · · , k + 1} : v

i

(x

j

) = δ

ij

c. Les deux questions précédentes permettent de prouver la proposition demandée par récurrence sur le nombre de points.

2. a. On choisit une base de V comme dans la question 1.. Pour tout réel a , la fonction f

a

s'exprime dans cette base

f

_a

=

q

X

i=1

λ

_i

v

_i

Si on prend la valeur en x

_i

on obtient alors

λ

_i

= f

_a

(x

_i

) = f (a + x

_i

) Ce qui prouve la formule demandée.

b. On considère

f (h + b) =

p

X

i=1

f (h + x

_i

)v

_i

(b)

f (b) = f (0 + b) =

p

X

i=1

f (x

i

)v

i

(b)

donc

f(b + h) − f (b)

h =

p

X

i=1

f (x

i

+ h) − f (x

i

h v

i

(b)

et comme f est dérivable on obtient en passant à la limite en 0 pour h : f

⁰

(b) =

p

X

i=1

f

⁰

(x

_i

)v

_i

(b)

f

⁰

=

p

X

i=1

f

⁰

(x

i

)v

i

Ce qui prouve f

⁰

∈ V . En fait, la formule du 2.a. est valable non seulement pour f mais pour toute v ∈ V ce qui prouve que la dérivation est un endomorphisme de V . La famille (f, f

⁰

, · · · , f

^(p)

) est à p + 1 éléments dans l'espace V de dimension p . Elle est donc liée. Ceci entraine l'existence d'une équation diérentielle linéaire à coecients constants dont f est solution.

Cette création est mise à disposition selon le Contrat

Paternité-Partage des Conditions Initiales à l'Identique 2.0 France disponible en ligne http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/fr/

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Rémy Nicolai S0306C