MPSI B DS 2 (commun) 29 juin 2019
Exercice
Résoudre sur R, en discutant suivant les valeurs de α , l'équation diérentielle y
00− (1 + α)y
0+ αy = e (1+α)t
Problème
L'objet de ce problème est de présenter quelques résultats relatifs aux trisectrices d'un angle. Les trisectrices sont les droites qui découpent un angle en trois angles égaux. On démontrera le théorème de Morley (g 1) et une propriété des cardioïdes (g 4).
Fig. 1: Théorème de Morley
Dans tout le problème, le plan est muni d'un repère orthonormé direct qui permet de dénir l'axe complexe d'un point et le représentant d'un nombre complexe.
On utilisera très souvent la relation 1 + j + j 2 = 0 avec j = e
2iπ3Les nombres complexes a , b , c sont les axes de trois points A , B , C . Les nombres réels α , β , γ sont dans ]0, π 3 [ et vérient
3α est une mesure de l'angle orienté ( − − → AB, −→
AC) 3β est une mesure de l'angle orienté ( − − →
BC, − − → BA) 3γ est une mesure de l'angle orienté ( −→
CA, − − → CB)
Les nombres complexes u , v , w sont dénis par
u = e 2iα , v = e 2iβ , w = e 2iγ
On dénit aussi les transformations complexes R a , R b , R c par R a (z) = u(z − a) + a R b (z) = v(z − b) + b R c (z) = w(z − c) + c
Partie I : calculs préliminaires
1. Soit Z 1 , Z 2 , Z 3 trois points distincts d'axes z 1 , z 2 , z 3 tels que z 1 + jz 2 + j 2 z 3 = 0
Mettre sous forme trigonométrique les trois nombres complexes z 1 − z 2
z 3 − z 2
, z 2 − z 3
z 1 − z 3
, z 3 − z 1
z 2 − z 1
en déduire que le triangle (Z 1 , Z 2 , Z 3 ) est équilatéral.
2. Montrer que uv , vw , wu sont diérents de 1 et que uvw = j . 3. Mettre sous forme trigonométrique les deux nombres complexes
u(1 − v) 1 − uv , 1 − u
1 − uv
4. On considère trois nombres complexes p , q , r vériant les relations suivantes (1 − v)b + v(1 − w)c = p(1 − vw)
(1 − w)c + w(1 − u)a = q(1 − wu) (1 − u)a + u(1 − v)b = r(1 − uv) On pose
E = (1 − uv)(1 − vw)(1 − wu)(p + jq + j 2 r) Montrer que
E = w
u j 2 (u 3 − 1)a + u
v (v 3 − 1)b + v
w j(w 3 − 1)c
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Paternité-Partage des Conditions Initiales à l'Identique 2.0 France disponible en ligne http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/fr/
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Rémy Nicolai S0302EMPSI B DS 2 (commun) 29 juin 2019
B
A
Fig. 2: Point xe de R a ◦ R b
Partie II : point xe de R a ◦ R b
On appelle point xe d'une transformation complexe f tout nombre complexe z tel que f (z) = z .
1. Caractériser les transformations géométriques associées aux transformations complexes R a , R b , R c .
2. Montrer que R a ◦ R b a un unique point xe r vériant (1 − u)a + u(1 − v)b = r(1 − uv) Le représentant du complexe r est le point R .
3. En soustrayant (1 − uv)a de chaque côté de la relation précédente, préciser l'angle ( − − →
AB, −→
AR) .
4. Préciser de même l'angle ( − − → BA, − − →
BR) . 5. On dénit de même p , P , q , Q à partir de
R b ◦ R c (p) = p, R c ◦ R a (q) = q
Reproduire approximativement sur votre copie la gure 1 et placer les points P , Q , R .
A
B
C
A
0Fig. 3: Image de A par R 3 c
Partie III : conguration principale de Morley
1. a. Ici R 3 c désigne R c ◦ R c ◦ R c . Montrer que le représentant de R 3 c (a) est le symétrique de A par rapport à la droite (BC) .
b. Montrer que R 3 a ◦ R 3 b ◦ R 3 c est l'identité de C.
2. En déduire que
(1 − u 3 )a + u 3 (1 − v 3 )b + u 3 v 3 (1 − w 3 )c = 0
3. Démontrer que le triangle (P, Q, R) est équilatéral (théorème de Morley).
Partie IV : cardioïdes
Soit C le cercle de centre O et de rayon 1. Pour tout θ ∈] − π, π[ , on dénit C θ : le point d'axe c θ = 2e iθ .
E θ : le cercle de centre C θ et de rayon 1.
F(θ) est le point de E θ tel que l'angle orienté ( −−→
C θ O, − −−−− → C θ F (θ)) = θ . f (θ) est l'axe de F(θ) .
S est le point d'axe s = 1 . M est le point d'axe m = 3 2 .
On peut considérer que F (θ) est un point d'un cercle de rayon 1 qui roule sans glisser (g 3) sur le cercle C .
1. Donner (sans justication) une construction géométrique de F (θ) à partir de C θ en faisant intervenir la médiatrice de [O, C θ ] .
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Rémy Nicolai S0302EMPSI B DS 2 (commun) 29 juin 2019
Fig. 4: Cardioïde tritangente
2. Montrer que
f (θ) = 2e iθ − e 2iθ 3. Étude de la courbe paramétrée
a. Comment est obtenu F (−θ) à partir de F (θ) ? b. Préciser f (0) , f ( π 2 ) , f (π) , f ( π 3 ) , f ( 2π 3 )
c. Mettre f (θ) − s et f
0(θ) sous forme trigonométrique.
d. Montrer qu'il existe un seul point stationnaire à préciser. Quelle est la limite de la direction de la tangente en ce point ?
e. Étudier les variations des coordonnées de F (θ) .
f. Tracer le support de la courbe paramétrée. Cette courbe est appelée cardioïde de centre O .
4. On note T le point d'intersection de la tangente en F (θ) avec la droite d'équation x = 3 2 .
a. Montrer que
cos 3x = cos x(1 − 4 sin 2 x) sin 3x = sin x(3 − 4 sin 2 x)
θ
C θ
F (θ) E θ
C
O
Fig. 5: Roulement sans glissement
b. Calculer l'ordonnées de T . On trouvera une expression très simple en fonction de
θ 2 .
c. Montrer l'égalité suivante entre les angles orientés : 3( −−→
T M , −→
T O) = ( −−→
T M , −−−−→
T F (θ))
Formuler une propriété relative au centre d'une cardioïde inscrite dans un angle et bitangente à un côté.
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