MPSI B 29 juin 2019

(1)

MPSI B 29 juin 2019

Énoncé

Soit (u

n

)

_n∈N^∗

une suite de réels non nuls, on lui associe la suite (p

n

)

_n∈N^∗

dénie par : p

n

= u

1

u

2

· · · u

n

On dira que le produit inni Q

n≥1

u

n

converge si et seulement la suite (p

n

)

_n∈N^∗

converge vers un nombre non nul. Cette limite sera notée Q

n≥1

u

n

. Si la suite (p

n

) ne converge pas, on dira que le produit diverge.

I. Exemples.

1. Soit u

_k

= 1 +

¹_k

.

Simpliez p

_n

. Le produit Q

n≥1

(1 +

_n¹

) est-il divergent ou convergent ? 2. Soit u

k

= cos

₂^ak

avec a 6≡ 0 mod π .

Pour tout n ∈ N

^∗

, calculer p

n

sin

₂^an

. En déduire que le produit inni converge et préciser

Y

n≥1

cos a 2

ⁿ

.

3. Soit u

k

= 1 −

_k¹2

pour k ≥ 2 . Montrer que le produit inni converge et calculer Y

n≥2

(1 − 1 n

²

).

4. Soit a ∈]0, 1[ et u

k

= 1 + a

⁽²^k⁾

. Calculer (1 − a

²

)p

n

. En déduire la convergence et la valeur du produit inni.

II. Conditions.

1. Montrer que si le produit inni Q

n≥1

u

_n

converge alors la suite (u

_n

)

_n∈_N^∗

converge vers 1.

2. On suppose u

n

> 0 à partir d'un certain rang n

0

. Montrer que la convergence du produit inni Q

n≥1

u

n

est équivalent à la convergence de la série ( P

ln(u

n

))

n≥n₀

. Dans ce cas, comment sont reliés la valeur du produit inni et la somme de la série ?

3. Montrer que, sous l'une des hypothèses suivantes

à partir d'un certain rang n

0

, u

n

= 1 − v

n

avec 0 < v

n

< 1 , à partir d'un certain rang n

0

, u

n

= 1 + v

n

avec 0 < v

n

, le produit inni Q

n≥1

u

n

converge si et seulement si la série ( P v

n

)

_n≥n

0

converge.

III. Un expression de sin comme produit inni.

Dans cette partie, x ∈] − 1, 1[ .

1. a. Montrer la convergence de la série ( P

2x x²−n²

)

_n≥1

. b. Montrer la convergence du produit inni Q

n≥1

(1 −

_n^x²2

) . 2. Études locales.

a. Former un développement asymptotique en 0 avec un reste en o(t) de t 7→ π cotan(πt).

b. Montrer que l'on peut prolonger par continuité la fonction dénie par :

∀t ∈] − 1, +1[\ {0} , t 7→ ln

sin πt πt

. On note f la fonction ainsi prolongée.

c. Montrer que f est C

¹

dans ] − 1, +1[ et préciser f

⁰

. 3. On admet la relation suivante

∀x ∈] − 1, 1[, f

⁰

(x) = X

n≥1

2x x

²

− n

²

. a. Montrer que

∀t ∈]0, 1[, ∀n ∈ N \ {0, 1} , t

n

²

− t

²

≤ 1 n

²

− 1 b. Montrer que

∀N ∈ N

^∗

, ∀x ∈] − 1, +1[

ln

sin(πx) πx

−

N

X

n=1

Z

x 0

2t t

²

− n

²

dt

≤ |x|

+∞

X

n=N+1

2 n

²

− 1 . c. En déduire

∀x ∈] − 1, +1[, sin(πx) = πx Y

n≥1

1 − x

²

n

²

.

Cette création est mise à disposition selon le Contrat

Paternité-Partage des Conditions Initiales à l'Identique 2.0 France disponible en ligne http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/fr/

1

Rémy Nicolai Apinf

(2)

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Corrigé I. Exemples

1. Comme

p

n

= 2 1 · 3

2 · · · n + 1

n = n + 1 le produit inni diverge vers +∞ .

2. La clé est la relation sin(2x) = 2 sin(x) cos(x) . cos a

2

^p

sin a 2

^p

= 1

2 sin a

2

^p−1

⇒ p

n

=

n

Y

p=1

1 2

sin

₂p−1^a

sin

₂^a_p

= 1 2

ⁿ

sin a sin

₂^a_n

De plus, 2

ⁿ

sin

₂^an

→ a quand n → +∞ . Donc (p

n

)

_n∈N

→

^sina_a

.

3. Ici encore une simplication télescopique multiplicative se produit.

u

_k

= (k − 1)(k + 1) k

²

⇒ p

n

= (1)(3) 2

²

(2)(4)

3

²

· · · (k − 1)(k + 1)

k

²

· · · (n − 1)(n + 1) n

²

= (n + 1) 2n → 1

2 . 4. Calculons (1 − a

²

)p

n

.

(1 − a

²

)p

_n

= (1 − a

²

)(1 + a

²

)(1 + a

⁴

)(1 + a

⁸

) · · · (1 + a

²ⁿ

)

= (1 − a

⁴

)(1 + a

⁴

)(1 + a

⁸

) · · · (1 + a

²ⁿ

)

= (1 − a

⁸

)(1 + a

⁸

) · · · (1 + a

²ⁿ

) = · · ·

= (1 − a

²ⁿ

)(1 + a

²ⁿ

) = (1 − a

²ⁿ⁺¹

) On en déduit que le produit inni converge vers

_1−a¹2

.

II. Conditions.

1. Si (p

n

)

n∈N

converge vers l 6= 0 , (p

n+1

)

n∈N

converge aussi vers l et ( p

n+1

p

n

)

_n∈N

= (u

n+1

)

_n∈N

converge vers 1.

2. Comme tous les u

k

sont strictement positifs à partir de n

0

, on peut utiliser librement le logarithme et la fonction exponentielle qui sont toutes les deux continues.

(p

n

)

n≥n0

converge ⇔ ( p

_n

p

n₀−1

)

n≥n0

converge ⇔ (ln( p

_n

p

n₀−1

))

n≥n0

converge.

Or ln(

_p^pⁿ

n0−1

= P

n

k=n0

ln(u

k

) . On en déduit (p

n

)

n≥n₀

converge ⇔ X

ln(u

k

)

k≥n0

converge.

Dans le cas de convergence, on a

Y

n≥1

u

n

=





n₀−1

Y

n≥1

u

n



 e (

^Pn≥n0un

)

3. Les hypothèses traduisent le fait que la série des ln u

_n

est de signe constant à partir d'un certain rang. On peut donc appliquer les critères des séries à termes positifs. Si u

n

ne tend pas vers 1 , la série et le produit divergent grossièrement. Si la suite tend vers 1 alors v

n

tend vers 0 et ln(1 ± v

n

) ∼ ±v

m

. La série des ln(u

n

) converge si et seulement si la série des v

n

converge.

On peut remarquer que dans le cas où les u

k

sont plus petits que 1 à partir d'un certain rang, la suite des produits est décroissante et positive donc elle converge. Mais par dénition, la convergence d'un produit inni exige une limite non nulle. En fait la série des v

k

diverge vers l'inni si et seulement si le produit des u

k

tend vers 0 . 4. a. On veut appliquer le théorème des accroissements nis à la fonction

f : x → (ln x)

²

entre p et p + 1 . Étudions les variations de la dérivée

x → 2 ln x x Comme

ln x x

0

= 1 − ln x

x

²

< 0 pour x > e, cette dérivée est décroissante dans ]3, +∞[ . On en déduit

∀x ∈ [p, p + 1] , ln x x ≤ ln p

p

2

Rémy Nicolai Apinf

(3)

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La formule demandée traduit alors

0 ≤ f (p + 1) − f (p) ≤ (p + 1 − p)f

⁰

(p)

b. En sommant les inégalités du a., pour tout p entre 3 et n ≥ 3 , on obtient (ln(n + 1))

²

− (ln(3))

²

≤ 2

S

_n

− ln 2 2

⇒ S

n

≥ 1

2 (ln(n + 1))

²

+ ln 2 − (ln(3))

²

2 Ce qui entraîne que (S

_n

)

_n∈_N

et (p

_n

)

_n∈_N

divergent vers +∞ .

III. Une expression de sin comme produit inni.

1. a. Pour x xé dans ] − 1, +1[ et n ∈ N

^∗

, les

_x2^2x−n²

sont strictement négatifs. L'op- posé du terme général est équivalent à

^x_n²2

qui est le terme général d'une série convergente. On pouvait aussi dire que la série est absolument convergente.

b. On se trouve dans le premier cas de la question II.3. Le produit inni est convergent car la série de terme général

^x_n²2

est convergente.

2. a. Après calculs, on trouve

π cotan(πt) = 1 t − π

²

3 t + o(t).

b. En 0 , comme sin x ∼ x , ln(

^sinπt_πt

) converge vers 0 . En revanche la fonction diverge vers −∞ en 1 et −1 . On prolonge donc par continuité en une fonction f continue

∀t ∈] − 1, +1[, f (t) =



 

  ln

sin πt πt

si t 6= 0 0 si t = 0 .

c. Comme elle est composée de fonctions C

^∞

, la fonction est clairement C

¹

dans l'intervalle privé de 0 et continue dans ] − 1, 1[ . Pour montrer qu'elle est C

¹

dans ] − 1, 1[ , d'après le théorème de la limite de la dérivée, il sut de prouver que la dérivée dans l'ouvert privé de 0 admet une limite ni en 0 . Or

∀t 6= 0, f

⁰

(t) =

cos(πt)

t − sin(πt) πt

²

πt

sin(πt) = π cotan(πt) − 1

t ∼ − π

²

3 t → 0.

La fonction f est donc C

¹

avec

f

⁰

(t) =







0 si t = 0

π cotan(πt) − 1

t si t 6= 0 3. a. On calcule la diérence

1 n

²

− 1 − t

n

²

− t

²

= (n

²

+ t)(1 − t) (n

²

− 1)(n

²

− t

²

) > 0.

b. Fixons un entier N et notons r

_N

le reste :

f

⁰

(x) =

N

X

k=1

2x

x

²

− k

²

+ r

N

(x).

La fonction r

N

qui s'exprime comme une diérence est continue. On intégre entre 0 et x (pour |x| < 1 ) en utilisant la linéarité de l'intégrale

ln

sin πx πx

= f (x) =

N

X

k=1

Z

x 0

2t t

²

− k

²

dt +

Z

x 0

r

N

(t) dt

| {z }

=RN(x)

Majorons |R

N

(x)| . Commençons par

|R

N

(x)| ≤ Z

|x|

0

|r

N

(t)| dt.

r

_N

(t) est le reste d'une série. On le majore (pour tous les t ) avec l'inégalité de la question a. par un nombre indépendant de t

|r

N

(t)| = lim

p→+∞

p

X

k=N+1

2t t

²

− k

²

≤ lim

p→+∞

p

X

k=N+1

2t t

²

− k

²

≤ lim

p→+∞

p

X

k=N+1

2 k

²

− 1 ≤

+∞

X

k=N+1

2 k

²

− 1 Il reste à integrer cette fonction constante sur un intervalle de longueur |x| pour obtenir l'inégalité demandée.

3

Rémy Nicolai Apinf

(4)

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c. Calculons les intégrales dans la somme

N

X

k=1

Z

x 0

2t t

²

− k

²

dt =

N

X

k=1

ln k

²

− t

²

k

²

= ln

N

Y

k=1

(1 − x

²

k

²

)

! .

On a vu que le produit inni est convergent. Le ajorant à droite est le reste d'une série convergente. On en déduit en passant à la limite