MPSI B 29 juin 2019

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Énoncé

1. a. Pour t réel, exprimer

e

− 1 e

+ 1

à l'aide des fonctions trigonométriques hyperboliques.

b. Pour tout ϕ réel non congru à

modulo π , simplier tan

ϕ − 1

tan

ϕ + 1

c. Montrer que, pour tout t réel,

arccos(th(t)) + 2 arctan(e

) = π

d. On considère, pour x ∈

0,

, l'équation ch t = 1

cos x

d'inconnue t . Montrer qu'elle admet une seule solution positive que l'on exprimera à l'aide de

,

, tan , ln .

e. Former et démontrer, suivant les valeurs de t , une formule reliant arcsin( 1

ch t ) et arccos(th t) 2. Simplier l'écriture des deux nombres réels

(7 + 5 √

2)

− (−7 + 5 √

2)

13 + 5 √ 17 2

!

− −13 + 5 √ 17 2

!

3. Linéariser

cos x cos 2x cos 3x sin 2x 4. Montrer que

arctan(1 + x) − arctan x = arctan( 1 1 + x + x

)

Corrigé

1. a. Par dénition de la tangente hyperbolique : e

− 1

e

− 1 = e

− e

e

+ e

= th t b. Avec les relations usuelles de trigonométrie circulaire :

tan

ϕ − 1

tan

ϕ + 1 = cos

ϕ ( sin

ϕ

cos

ϕ − 1) = sin

ϕ − cos

ϕ = − cos 2ϕ c. On cherche à montrer que

π − 2 arctan(e

) = arccos(th t) Posons θ = π − 2 arctan(e

) .

A-t-il le bon cosinus ?

Utilisons la question précédente avec ϕ = arctan(e

) donc tan ϕ = e

: cos θ = − cos(2 arctan(e

)) = e

− 1

e

+ 1 = th t Comme e

est strictement positive, arctan(e

) ∈

0,

. On en tire que 2 arctan(e

) ∈ [0, π] ⇒ θ ∈ [0, π]

Il est donc dans le bon intervalle et on peut conclure

π − 2 arctan(e

) = arccos(th t) ⇒ arccos(th t) + 2 arctan(e

) = π

d. D'après l'expression de la fonction ch , le réel strictement positif t est solution de l'équation proposée si et seulement si e

est une solution plus grande que 1 de l'équation d'inconnue z

z

− 2z

cos x + 1 = 0

Cette équation s'étudie sans problème, son discriminant est 4

cos

x − 4 = 4 tan

x ses racines sont

1 + sin x

cos x , 1 − sin x cos x

Cette création est mise à disposition selon le Contrat

Paternité-Partage des Conditions Initiales à l'Identique 2.0 France disponible en ligne http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/fr/

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Elles sont positives et leur produit est 1. Une seule est plus grande que 1, c'est : 1 + sin x

cos x On en déduit

t = ln( 1 + sin x cos x )

On peut transformer cette expression, en posant y =

− x et en passant à

:

1 + sin x

cos x = 1 + cos y

sin y = 2 cos

2 sin

cos

= cos

sin

= tan( π 2 − y

2 ) = tan( π 4 + x

2 )

L'unique solution est donc

ln tan( π

4 + x 2 )

e. Calculons cos(arcsin(

)) en remarquant que le cos d'un arcsin est toujours po- sitif ;

cos(arcsin( 1 ch t )) =

r 1 − 1

ch

t = s

ch

t − 1

ch

t = |th t|

Comme arcsin(

) et π − arcsin(

) sont dans [0,

] ⊂ [0, π] , on peut conclure.

Pour t ≥ 0 ,

cos(arcsin( 1

ch t )) = th t ⇒ arcsin( 1

ch t ) = arccos(th t) Pour t ≤ 0 ,

cos(arcsin( 1

ch t )) = − th t ⇒ π − arcsin( 1

ch t ) = arccos(th t)

2. Posons a = (7 + 5 √

2)

, b = (−7 + 5 √

2)

et utilisons l'identité

a

− b

= (a − b)(a

+ ab + b

) = (a − b)((a − b)

+ 3ab)

Comme a

− b

= 14 et ab = 1 , on en déduit que le nombre x que l'on nous demande de simplier est racine de

x

+ 3x − 14 = (x − 2)(x

+ 2x + 7)

donc x = 2 car x

+ 2x + 17 est sans racine réelle.

De même, si a =

13+5√ 17 2

et b =

−13+5√ 17 2

, a

− b

= 13 et ab = 4 , on en déduit que le nombre x que l'on nous demande de simplier est racine de

x

+ 12x − 13 = (x − 1)(x

+ x + 13)

donc x = 1 car x

+ x + 13 est sans racine réelle.

3. En utilisant les formules de transformation de produits en sommes, on obtient 1

8 (sin 2x + sin 6x + sin 8x) 4. D'après la formule donnant la tangente d'une somme,

tan(arctan(1 + x) − arctan x) = 1 + x − x

1 + (1 + x)x = 1 1 + x + x

On en tire qu'il existe un entier k tel que

arctan(1 + x) − arctan x = arctan 1

1 + x + x

+ kπ Il s'agit maintenant de montrer que k est nul.

Remarquons d'abord que 1 + x + x

> 0 pour tous les réels x donc.

arctan 1

1 + x + x

∈ i 0, π

2 h

D'autre part, par croissance et dénition de la fonction arctan , arctan(1 + x) − arctan x ∈ [0, π[

On en déduit

kπ = arctan(1 + x) − arctan x − arctan 1 1 + x + x

i − π 2 , π h On en tire k = 0 donc

arctan(1 + x) − arctan x = arctan 1 1 + x + x

Cette création est mise à disposition selon le Contrat

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