MPSI B 29 juin 2019

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Énoncé

Étant donné un entier n strictement positif, on dénit les nombres réels I n et S n par les formules suivantes

¹

:

S n =

n−1

X

i=0





n−1

X

j=0

1 i + j + 1



 , I n = Z n

0

Z n 0

dy x + y + 1

dx

1. Donner une primitive de la fonction x → ln x puis de x → ln(x + K) où K est un réel xé.

2. Calculer I n

3. Déterminer les constantes A , B , C , D gurant dans le développement de la suite (I n ) n∈

N

I _n = An + B ln n + C + D n + o( 1

n ) 4. a. Montrer que :

∀(i, j) ∈ {0, · · · , n − 1} ² : Z i+1

i

Z j+1 j

dy x + y + 1

dx ≤ 1 i + j + 1 b. Montrer que :

∀(i, j) ∈ {1, · · · , n} ² : 1 i + j + 1 ≤

Z i i−1

Z j j−1

dy x + y + 1

dx

c. En déduire

I n ≤ S n ≤ I _n−1 + 2

n

X

k=1

1 k 5. Montrer que la suite (S _n ) _n∈

_N

est équivalente à l'inni à 2n ln 2 . 6. Soit J n l'intégrale suivante :

J n = Z 1

0 n−1

X

k=0

x ^k

! ² dx

Établir une relation liant J _n et S _n . En déduire un équivalent de J _n à l'inni.

1

d'après Mines-Ponts 2003 MP1

Corrigé

1. Une primitive de ln x est x ln x − x . Une primitive de ln(x + K) est (x + k) ln(x + K) − x

2. Le calcul de I n se fait en utilisant les primitives de la question précédente : I n =

Z n 0

(ln(x + n + 1) − ln(x + 1)) dx

= [(x + n + 1) ln(x + n + 1) − x − (x + 1) ln(x + 1) + x] ^x=n _x=0

= (2n + 1) ln(2n + 1) − 2(n + 1) ln(n + 1) 3. Calcul du développement de I n . On se ramène à des développements en 0 en factorisant

par n dans les ln .

ln(2n + 1) = ln n + ln 2 + ln

1 + 1 2n

= ln n + ln 2 + 1 2n − 1

8n ² + o( 1 n ² ) ln(n + 1) = ln n + ln

1 + 1

n

= ln n + ln 2 + 1 n − 1

2n ² + o( 1 n ² )

On multiplie ensuite respectivement par (2n + 1) et (n + 1) , le reste devient un o( _n ¹ ) et on obtient après calculs :

I _n = (2 ln 2)n − ln n + (ln 2 − 1) − 3 4 1 n + o( 1

n ) 4. a. On utilise les propriétés élémentaires de la fonction inverse :

∀x ≥ i, ∀y ≥ j : 1

x + y + 1 ≤ 1 i + j + 1 puis on intégre sur des segments de longueur 1

Z j+1 j

1

x + y + 1 dy ≤ 1 i + j + 1

Z i+1 i

Z j+1 j

1 x + y + 1 dy

dx ≤ 1 i + j + 1

b. Le raisonnement est analogue de l'autre coté sur [i − 1, i] × [j − 1, j] .

Cette création est mise à disposition selon le Contrat

Paternité-Partage des Conditions Initiales à l'Identique 2.0 France disponible en ligne http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/fr/

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Rémy Nicolai Ainteg3

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c. En découpant en intervalles de longueur 1 , l'intégrale I n devient par relation de Chasles une somme double.

I n =

n−1

X

i=0





n−1

X

j=0

Z i+1 i

Z j+1 j

1 x + y + 1 dy

dx





Pour majorer, on utilise a., S _n apparait naturellement comme majorant I _n ≤

n−1

X

i=0





n−1

X

j=0

1 i + j + 1





Pour minorer on utilise b., le terme de droite de l'inégalité est formé par une partie des termes de S n+1 .

I n ≥

n

X

i=1





n

X

j=1

1 i + j + 1



 = S n+1 −

n

X

i=1

1 i + 0 + 1 −

n

X

j=0

1 0 + j + 1

≥ S n+1 − 2

n

X

k=0

1 k + 1 + 1 On en déduit

I _n−1 ≥ S n − 2

n

X

k=1

1

k + 1, S n ≤ I _n−1 + 2

n

X

k=1

1 k − 1

5. D'après la question 3., les suites ( ^I _n

ⁿ

) et ( ^I

ⁿ⁻¹

_n ) convergent vers 2 ln 2 . On obtiendra donc l'équivalence demandée par un simple théorème d'encadrement à condition de démontrer d'abord que la somme des _k ¹ est négligeable devant n . Cela se fait classi- quement par comparaison avec une intégrale.

1 + 1

2 + · · · + 1 n ≤ 1 +

Z n 1

dx

x = 1 + ln n 6. On peut écrire

n−1

X

k=0

x ^k

! ²

=

n−1

X

i=0

x ⁱ

! 



n−1

X

j=0

x ^j





et tout développer pour obtenir une somme double puis intégrer en utilisant la linéarité.

Les intégrales élémentaires se calculent et on obtient : J _n = S _n On en déduit

J _n ∼ 2n ln 2 ou encore

Z 1 0

1 − x ⁿ

1 − x dx ∼ 2n ln 2

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