MPSI B 29 juin 2019
Énoncé
Un repère (O, − → i , − →
j , − →
k ) d'un espace étant xé, on dénit les points suivants par leurs coordonnées
A : (0, 0, 0), B : (0, 1, 0), C : (0, 0, 1) A
0: (a, 0, 0), B
0: (b, 1, 0), C
0: (c, 0, 1) avec abc 6= 0 . On pose de plus
s = 1 a + 1
b + 1 c
et on suppose s 6= 0 . Il n'est pas nécessaire de faire une gure.
1. Montrer que les trois plans (A
0BC) , (AB
0C) , (ABC
0) ont un point commun S dont on déterminera les coordonnées.
2. Montrer que les trois plans (AB
0C
0) , (A
0BC
0) , (A
0B
0C) ont un point commun S
0dont on déterminera les coordonnées. Montrer que les droites (SS
0) et (AA
0) sont parallèles.
3. Soit T le point d'intersection de la droite (SS
0) avec le plan (ABC) et T
0le point d'intersection de la droite (SS
0) avec le plan (A
0B
0C
0) . Vérier que
−→ T S = −−→
SS
0= −−→
S
0T
0Corrigé
Dans tout le problème, pour former l'équation d'un plan, on utilisera qu'un point M est dans le plan passant par trois points A , B , C si et seulement si
det( −−→
AM , − − → AB, −→
AC) = 0
ce déterminant étant exprimé à l'aide d'un système de coordonnées.
1. Avec les coordonnées données par l'énoncé, on peut écrire
équation de (A
0BC) :
x − a −a −a
y 1 0
z 0 1
=0 ⇔ x + ay + az = a
équation de (AB
0C) :
x b 0 y 1 0 z 0 1
=0 ⇔ x − by = 0
équation de (ABC
0) :
x 0 c y 1 0 z 0 1
=0 ⇔ x − cz = 0
Pour montrer que les trois plans ont un point d'intersection, on forme le système de trois équations aux inconnues x , y , z :
x+ay+ az =a
x−by =0
x− cz =0
Des deux dernières équations, on tire y et z en fonction de x et on remplace dans la première pour trouver x . On en déduit :
coordonnées de S : 1 s , 1
bs , 1 cs
Cette création est mise à disposition selon le Contrat
Paternité-Partage des Conditions Initiales à l'Identique 2.0 France disponible en ligne http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/fr/
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Rémy Nicolai Ageom4MPSI B 29 juin 2019
2. Les calculs sont analogues pour les trois plans de cette question : équation de (AB
0C
0) :
x b c y 1 0 z 0 1
=0 ⇔ x − by − cz = 0
équation de (A
0BC
0) :
x − a −a c − a
y 1 0
z 0 1
=0 ⇔ x + ay + (a − c)z = a
équation de (A
0B
0C) :
x − a b − a −a
y 1 0
z 0 1
=0 ⇔ x + (a − b)y + az = a
Pour montrer que les trois plans ont un point d'intersection, on forme le système de trois équations que l'on résoud en mélangeant la méthode du pivot et les formules de Cramer :
x − by − cz =0 x + ay + (a − c)z =a x + (a − b)y + az =a
⇔
x − by − cz =0 (a + b)y + az =a ay + (a + c)z =a
⇔
x − by − cz = 0
y =
a a
a a + c
a + b a a a + c
z =
a + b a
a a
a + b a a a + c
⇔
x = 2abc ab + ac + bc y = ac
ab + ac + bc z = ab
ab + ac + bc
Comme d'autre part
s = 1 a + 1
b + 1
c = ab + ac + bc abc On obtient nalement :
coordonnées de S
0: 2 s , 1
bs , 1 cs
Les droites (AA
0) et (SS
0) sont parallèles car les vecteurs −−→
AA
0= a − → i et −−→
SS
0=
1s− → i sont colinéaires
3. L'équation du plan (A, B, C) est x = 0 . D'autre part −−→
SS
0est porté par le premier vecteur de base. On en tire les coordonnées du point d'intersection :
coordonnées de T :
0, 1 bs , 1
cs
On a donc eectivement :
−−→ T S
0= −−→
SS
0= 1 s
−
→ i
Pour évaluer −−→
S
0T
0, calculons d'abord les coordonnées du point d'intersection T
0de (SS
0) avec le plan (A
0B
0C
0) . L'équation de ce plan est :
x − a b − a c − a
y 1 0
z 0 1
= 0 ⇔ x + (a − b)y + (a − c)z = a
Les coordonnées des points de (SS
0) sont de la forme
λ, 1 bs , 1
cs
Le λ pour lequel le point est dans (A
0B
0C
0) vérie λ + a − b
bs + a − c
cs = a ⇔ λ = 2
s + a − a bs − a
cs = 2 s + a
s
s − 1 b − 1
c
= 3 s On en tire
coordonnées de T
0: 3 s , 1
bs , 1 cs
puis nalement
−−→ S
0T
0= 1 s
−
→ i
Cette création est mise à disposition selon le Contrat
Paternité-Partage des Conditions Initiales à l'Identique 2.0 France disponible en ligne http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/fr/
