MPSI B 29 juin 2019

(1)

MPSI B 29 juin 2019

Énoncé

L'objet de ce problème est de calculer la limite de certaines suites formées à partir de sommes d'inverses d'entiers aectés de signes

¹

.

Soit i ∈ J 0, 3 K et n ∈ N

^∗

, on note : I

i

=

Z

1

0

t

ⁱ

1 + t

²

dt S

i,n

=

n−1

X

k=0

1 4k + i + 1 − 1 4k + i + 3

1. Calcul d'intégrales.

a. Calculer I

0

, I

1

, I

2

, I

3

. b. Calculer

K = Z

1

0

dt

1 − t + t

²

, L = Z

1

0

1 + t + t

²

1 + t

³

dt Pour le calcul de L , il est utile de factoriser le dénominateur.

2. Soit i ∈ J 0, 3 K, t ∈ [0, 1] et n ∈ N

^∗

. En multipliant par t

²

+ 1 , trouver une autre expression pour

n−1

X

k=0

t

^4k+i

− t

^4k+i+2

3. Soit i ∈ J 0, 3 K et n ∈ N

^∗

. Montrer que S

_i,n

=

Z

1

0

t

ⁱ

− t

⁴ⁿ⁺ⁱ

1 + t

²

dt

4. Montrer que la suite R

1 0

t^m 1+t²

dt

m∈N

converge vers 0 . Que peut-on en déduire pour les suites (S

i,n

)

_n∈

N^∗

pour i ∈ J 0, 3 K ? 5. Pour n ∈ N

^∗

, on note

u

n

=

2n

X

p=1

(−1)

^p+1

p , v

n

=

n−1

X

k=0

1 (k +

¹₄

)(k +

³₄

)

a. Exprimer u

n

à l'aide d'un S

i,n

pour un certain i . En déduire la limite de (u

n

)

_n∈N∗

. b. Exprimer v

n

à l'aide d'un S

i,n

pour un certain i . En déduire la limite de (v

n

)

_n∈

N^∗

.

1D'après BECEAS 2016 [m16i21e]

6. Pour n ∈ N

^∗

, on considère

∀t ∈ R , F

n

(t) =

6n−1

X

k=0

(−1)

^b^k³^c

t

^k

, T

n

=

6n−1

X

k=0

(−1)

^b^k³^c

k + 1

a. Quel est l'ensemble des b

^k₃

c pour k ∈ J 0, 6n J ? Quels sont les entiers p pour lesquels il existe des k ∈ J 0, 6n J vériant b

^k₃

c = 2p ? Pour un tel p , préciser ces entiers k . b. Montrer que

∀t ∈ R , F

_n

(t) = 1 + t + t

²

1 + t

³

(1 − t

⁶ⁿ

) c. Montrer la convergence et préciser la limite de (T

_n

)

_n∈

N^∗

.

Cette création est mise à disposition selon le Contrat

Paternité-Partage des Conditions Initiales à l'Identique 2.0 France disponible en ligne http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/fr/

1

Rémy Nicolai Aharmint

(2)

MPSI B 29 juin 2019

Corrigé

1. Les calculs se font en transformant la fraction à intégrer pour se ramener à des fonctions dont on connait des primitives.

a. Calcul de I

0

.

I

0

= Z

1

0

1 1 + t

²

dt = [arctan]

¹₀

= π 4 Calcul de I

1

.

I

₁

= Z

1

0

t 1 + t

²

dt =

1 2 ln(1 + t

²

)

= ln(2) 2 Calcul de I

2

.

I

₂

= Z

1

0

t

²

+ 1 − 1

1 + t

²

dt = 1 − I

₀

= 1 − π 4 Calcul de I

₃

.

I

₃

= Z

1

0

t

³

+ t − t 1 + t

²

dt =

Z

1

0

t dt − I

₁

= 1

2 − ln(2) 2 b. Calcul de K .

1 − t + t

²

= (t − 1 2 )

²

+ 3

4 ⇒ 1

1 − t + t

²

= 4 3

1 1 +

2t−1√ 3

2

⇒

K = 4 3

√ 3 2

arctan

2t − 1

√ 3

1

0

= 4

√ 3 arctan( 1

√ 3 ) = 4

√ 3 π 6 = 2π

3 √ 3

Calcul de L . On utilise l'identité remarquable 1 + t

³

= (1 + t)(1 − t + t

²

) .

1 + t + t

²

(1 + t)(1 − t + t

²

) = (1 + t) + t

²

(1 + t)(1 − t + t

²

) = 1

1 − t + t

²

+ t

²

1 + t

³

⇒ L = K + 1 3

ln(1 + t

³

)

¹

0

= 2π 3 √

3 + ln(2) 3

2. Multiplier par t

²

+ 1 comme l'énoncé nous y invite fait apparaître une somme télesco-

pique.

(t

²

+ 1)

n−1

X

k=0

t

^4k+i

− t

^4k+i+2

=

n−1

X

k=0

t

^4k+i+2

− t

^4k+i+4

+ t

^4k+i

− t

^4k+i+2

=

n−1

X

k=0

t

^4k+i

− t

^4(k+1)+i

= t

ⁱ

− t

⁴ⁿ⁺ⁱ

3. On intègre la relation trouvée à la question précédente après division par 1 + t

²

. Par linéarité, on se ramène aux intégrales des fonctions puissances. On en déduit :

Z

1

0

t

ⁱ

− t

⁴ⁿ⁺ⁱ

1 + t

²

dt =

n−1

X

k=0

Z

1

0

t

^4k+i

− t

^4k+i+2

dt

=

n−1

X

k=0

1 4k + i + 1 − 1 4k + i + 3

= S

i,n

4. La convergence vers 0 résulte de l'encadrement 0 ≤

Z

1

0

t

^m

1 + t

²

dt ≤

Z

1

0

t

^m

dt = 1 m + 1 On en déduit

∀i ∈ {0, 1, 2, 3} , (S

i,n

)

_n∈N3

−→ I

i

5. a. Considérons S

1,n

: S

_1,n

=

n−1

X

k=0

1 4k + 2 − 1 4k + 4

= 1 2

n−1

X

k=0

1 2k + 1 − 1 2k + 2

Il s'agit de la somme des inverses des nombres entre 1 et 2n . Les impairs sont aectés de +1 et les pairs de −1 comme dans u

n

. On en déduit

S

_1,n

= 1

2 u

_n

⇒ (u

_n

)

_n∈

N^∗

−→ 2I

₁

= ln(2)

2

(3)

MPSI B 29 juin 2019 b. Considérons S

0,n

.

S

0,n

=

n−1

X

k=0

1 4k + 1 − 1 4k + 3

=

n−1

X

k=0

2 (4k + 1)(4k + 3)

= 1 8

n−1

X

k=0

1 (k +

¹₄

)(k +

³₄

) = v

n

8 ⇒ (v

n

)

_n∈

N^∗

−→ 8I

0

= 2π

6. a. Lorsque k décrit J 0, 6n J, la partie entiere b

^k₃

c décrit J 0, 2n J.

On en déduit qu'il existe un k tel que b

^k₃

c = 2p si et seulement si p ∈ J 0, n J. On peut préciser

∀p ∈ J 0, n J , b k

3 c = 2p ⇔ k ∈ {6p, 6p + 1, 6p + 2}

b. À l'aide de la question précédente, on peut regrouper par 6 les termes de F

_n

(t) de manière à prèciser la parité de b

^k₃

c .

F

_n

(t) =

n−1

X

p=0

t

^6p

+ t

^6p+1

+ t

^6p+2

− t

^6p+3

− t

^6p+4

− t

^6p+5

=

n−1

X

p=0

1 + t + t

²

− t

³

− t

⁴

− t

⁵

t

^6p

= 1 + t + t

²

− t

³

− t

⁴

− t

⁵

1 − t

⁶ⁿ

1 − t

⁶

= (1 − t

³

) + (t − t

⁴

) + (t

²

− t

⁵

) 1 − t

⁶ⁿ

1 − t

⁶

= (1 − t

³

)(1 + t + t

²

) 1 − t

⁶ⁿ

1 − t

⁶

= (1 + t + t

²

) 1 − t

⁶ⁿ

1 + t

³

c. On en déduit que (T

n

)

_n∈N∗

converge vers L en utilisant un encadrement analogue

à celui de la question 4 0 ≤

Z

1

0

t

^m

1 + t

³

dt ≤

Z

1

0

t

^m

dt = 1 m + 1

3