MPSI B 29 juin 2019

(1)

MPSI B 29 juin 2019

Énoncé

Soient a

1

, · · · , a

n

, b

1

, · · · , b

n

des réels tels que

∀(i, j) ∈ J 1, n K

2

, i 6= j ⇒ a

i

6= a

j

et b

i

6= b

j

Soit C(a

1

, b

1

, a

2

, b

2

, · · · , a

n

, b

n

) la matrice n×n (dite de Cauchy) dont le coecient d'indice i, j est

_a_i_+b¹ _j

et c(a

1

, b

1

, a

2

, b

2

, · · · , a

n

, b

n

) son déterminant.

L'objet de cet exercice est d'obtenir, par deux méthodes diérentes une expression factorisée de ce déterminant.

1. Calculer 60

³

c(1, 1, 2, 2, 3, 3) . 2. Opérations élémentaires.

a. Préciser l'opération élémentaire et les factorisations montrant que c(a

₁

, b

₁

, a

₂

, b

₂

) = a

₁

− a

₂

(a

1

+ b

1

)(a

1

+ b

2

)

1 1

1 a2+b1

1 a2+b2

En déduire l'expression factorisée de c(a

1

, b

1

, a

2

, b

2

) .

b. On note L

i

la ligne i de C(a

1

, b

1

, a

2

, b

2

, · · · , a

n

, b

n

) . Pour i ∈ J 2, n K et j ∈ J 1, n K, préciser le coecient dans la colonne j de L

i

− L

1

.

c. Montrer que

c(a

₁

, b

₁

, · · · , a

_n

, b

_n

) = Q

n

i=2

(a

1

− a

i

) Q

n

j=1

(a

1

+ b

j

)

1 1 · · · 1

1 a₂+b₁

1

a₂+b₂

· · ·

_a ¹

2+b_n

... ... ...

1 a_n+b₁

1

a_n+b₂

· · ·

_a ¹

n+b_n

d. Montrer que

c(a

1

, b

1

, · · · , a

n

, b

n

) = Q

n

i=2

(a

₁

− a

_i

) Q

n

j=2

(b

₁

− b

_j

) Q

n

j=1

(a

1

+ b

j

) Q

n

i=2

(a

i

+ b

1

) c(a

2

, b

2

, · · · , a

n

, b

n

) 3. Méthode algébrique.

On considére l'application F dénie dans une partie de R par : x 7→ F(x) = c(x, b

1

, · · · , a

n

, b

n

)

a. Montrer que F est une fraction rationnelle. Préciser son degré et ses pôles.

b. Montrer qu'il existe un réel λ et des polynômes unitaires A et B tels que F = λ

_B^A

. Préciser la forme factorisée de A et B . Montrer que

λ =

1 1 · · · 1

1 a2+b1

1

a2+b2

· · ·

_a ¹

2+bn

... ... ...

1 an+b1

1

an+b2

· · ·

_a ¹

n+bn

c. Comment retrouver la formule de la question 2.d. sans opérations élémentaires ?

Cette création est mise à disposition selon le Contrat

Paternité-Partage des Conditions Initiales à l'Identique 2.0 France disponible en ligne http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/fr/

1

Rémy Nicolai Adet3

(2)

MPSI B 29 juin 2019

Corrigé

1. Avec la dénition,

c(1, 1, 2, 2, 3, 3) =

1 2

1 3

1 4 1 3

1 4

1 5 1 4

1 5

1 6

Le facteur 60

³

permet de faire disparaitre les dénominateurs en multipliant chaque colonne par 60 .

60

³

c(1, 1, 2, 2, 3, 3) =

30 20 15 20 15 12 15 12 10

=

10 5 3

5 3 2

15 12 10

(L

1

← L

1

− L

2

, L

2

← L

2

− L

3

)

=

0 −1 −1

5 3 2

0 3 4

(L

1

← L

1

− 2L

2

, L

3

← L

3

− 3L

2

) = −5(−4 + 3) = 5

2. a. Le résultat de l'opération élémentaire L

2

← L

2

− L

1

est la ligne

1

a₂+b₁

−

_a ¹

1+b₁ 1

a₂+b₂

−

_a ¹

1+b₂

=

a₁−a2

(a2+b1)(a1+b1)

a₁−a2

(a2+b2)(a1+b2)

Cette opération ne change pas le déterminant et permet de factoriser par (a

1

−a

2

) dans L

2

, par

_a₁_+b¹ ₁

dans C

1

et par

_a₁_+b¹ ₂

dans C

2

conduisant à la forme indiquée puis à

c(a

₁

, b

₁

, a

₂

, b

₂

) = (a

₁

− a

₂

)(b

₂

− b

₁

)

(a

1

+ b

1

)(a

1

+ b

2

)(a

2

+ b

1

)(a

2

+ b

2

) b. Le coecient j de L

i

− L

1

est

1 a

_i

+ b

_j

− 1

a

₁

+ b

_j

= a

1

− a

i

(a

_i

+ b

_j

)(a

₁

+ b

_j

)

c. On soustrait la ligne L

1

à toutes les autres. La question précédente montre que cela permet de factoriser par a

1

− a

i

dans la ligne i pour i de 2 à n . On peut ensuite factoriser par

_a₁_+b¹ _j

dans la colonne C

_j

pour j de 1 à n ce qui conduit à la forme demandée.

d. On procède de manière analogue avec le déterminant de la question précédente.

On enlève la colonne C

1

à toutes les autres. Cela permet de factoriser les (b

1

− b

2

) · · · (b

1

− b

n

) dans colonnes de 2 à n . On développe alors suivant la première ligne et dans le déterminant d'ordre n − 1 restant on peut factoriser par

_a_i_+b¹ ₁

avec i entre 2 et n ce qui montre la formule de récurrence.

3. a. Par dénition,

F (x) =

1 x+b₁

1

x+b₂

· · ·

_x+b¹

n

1 a₂+b₁

1

a₂+b₂

· · ·

_a ¹

2+b_n

... ... ...

1 a_n+b₁

1

a_n+b₂

· · ·

_a ¹

n+b_n

Comme un déterminant est une somme de produits, la fonction F est rationnelle en x et ses pôles sont −b

1

, · · · , −b

n

. Le développement suivant la première ligne exprime F comme une somme de fractions de degré −1 . On en déduit que le degré de F est inférieur ou égal à −1 . On peut remarquer que ce développement est en fait la décomposition en éléments simples de F mais ce n'est pas utile dans cet exercice.

b. En réduisant au même dénominateur, on obtient

F (x) = λ A(x)

B(x) avec λ ∈ R , B = (x + b

1

) · · · (x + b

n

) et A un polynôme unitaire tel que

deg(F ) = deg(A) − deg(B) ⇒ deg(A) − n ≤ −1 ⇒ deg(A) ≤ n − 1

Or l'expression de F (x) comme déterminant montre que F (a

2

) = · · · = F (a

n

) car la même ligne se retrouve alors deux fois. On en déduit que

A(x) = (x − a

₂

) · · · (x − a

_n

)

2

Rémy Nicolai Adet3

(3)

MPSI B 29 juin 2019 Quant au λ , à cause des degrés, c'est la limite en +∞ de xF (x) . Or

xF (x) =

x x+b₁

x

x+b₂

· · ·

_x+b^x

n

1 a2+b1

1

a2+b2

· · ·

_a ¹

2+bn

... ... ...

1 a_n+b₁

1

a_n+b₂

· · ·

_a ¹

n+b_n

est une combinaison linéaires des termes de la première ligne qui tendent tous vers 1 . La limite est donc le déterminant obtenu en remplaçant la première ligne par une ligne de 1 .

c. Considérons la fraction rationnelle obtenue à partir de λ en remplaçant le b

1

par une variable x . Ses pôles sont −a

2

, · · · , −a

n

mais le développement suivant la première colonne montre cette fois qu'elle est de degré 0 . Par répétition de colonnes, elle est nulle en b

2

, · · · , b

n

donc il existe µ ∈ R tel que

G(x) = µ (x − b

₂

) · · · (x − b

_n

) (a

2

+ x) · · · (a

n

+ x)

On en déduit que µ est la limite de G(x) en +∞ ce qui conduit à rempla- cer le bas de la première colonne par des 0 conduisant ainsi au déterminant c(a

2

, b

2

, · · · , a

n

b

n

) d'ordre n − 2 .

3

Rémy Nicolai Adet3