MPSI B 29 juin 2019

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Énoncé

1. Démontrer que n 1

1 1 −

n 2

1

2 + · · · + (−1)

ⁿ⁻¹

n

n 1

n = 1 + 1 2 + 1

3 + · · · + 1 n 2. Soit n un entier naturel non nul, calculer P

(i,j)∈T

ij avec T = n

(i, j) ∈ {1, . . . , n}

²

tq i ≤ j o

3. Soit n un entier naturel non nul, calculer R

²_n

+ I

_n²

avec R

_n

=

bⁿ₂c

X

k=0

(−1)

^k

n

2k

I

_n

=

bⁿ⁻¹₂ c

X

k=0

(−1)

^k

n

2k + 1

4. Soit n un entier naturel non nul, a

1

, a

2

, · · · , a

n

des réels strictement positifs, montrer (a

1

+ a

2

+ · · · + a

n

)( 1

a

₁

+ 1

a

₂

+ · · · + 1 a

_n

) ≥ n

²

5. Soit n un entier naturel non nul, calculer n

0

− 3 n

2

+ 3

²

n

4

− 3

³

n

6

+ · · ·

6. a. Développer (z − a)(z − b)(z − c) . b. Avec w = e

^2iπ/7

, on considère

a = w + w

⁶

, b = w

²

+ w

⁵

, c = w

³

+ w

⁴

.

Exprimer les coecients du développement de la question a en fonction de puis- sances de w seulement en les simpliant à l'aide de relations vériées par w . En déduire une équation de degré 3 à coecients entiers dont cos

^2π₇

, cos

^4π₇

, cos

^6π₇

sont les racines.

Corrigé

1. Posons

S

_n

=

n

X

k=1

(−1)

^k−1

k

n k

et utilisons

ⁿ_k

=

ⁿ⁺¹_k

−

_k−1ⁿ

pour transformer S

_n

. Il vient S

n

=

n

X

k=1

(−1)

^k−1

k

n + 1 k

+

n

X

k=1

(−1)

^k

k

n k − 1

= S

n+1

− (−1)

ⁿ

n + 1 +

n

X

k=1

(−1)

^k

k

n k − 1

Or

¹_{k k−1}ⁿ

=

_n+1^{1 n+1}_k

donc le deuxieme terme de l'expression précédente de S

_n

est

1 n + 1

n

X

k=1

(−1)

^k

n + 1

k

= 1 n + 1

(1 − 1)

ⁿ⁻¹

− 1 − (−1)

ⁿ⁺¹

Ce qui entraine S

_n

= S

_n+1

−

_n+1¹

. On en déduit, par récurrence, la formule demandée.

2. Considérons C = {1, . . . , n}

²

. Cet ensemble de couples est un carré . Introduisons les deux triangles formés avec la première diagonale .

T

+

= {(i, j) ∈ C tq i < j}, T

−

= {(i, j) ∈ C tq j < i}, D = {(i, i), i ∈ {1, . . . , n}.

On a alors T = T

₊

∪ D , C = T

₋

∪ T

₊

∪ D et par symétrie X

(i,j)∈T+

ij = X

(i,j)∈T−

ij (on peut poser i

⁰

= j , j

⁰

= i dans la première somme) .

Notons S la somme étendue à T qui nous intéresse, on peut écrire X

(i,j)∈C

ij = X

(i,j)∈T+

ij + X

(i,j)∈D

ij + X

(i,j)∈T−

ij = 2S − X

(i,j)∈D

ij

X

(i,j)∈C

ij =



 X

i∈{1,...,n}

i







 X

j∈{1,...,n}

j



 =

n(n + 1) 2

²

X

(i,j)∈D

ij = 1 + 2

²

+ · · · n

²

= n(n + 1)(2n + 1) 6

Cette création est mise à disposition selon le Contrat

Paternité-Partage des Conditions Initiales à l'Identique 2.0 France disponible en ligne http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/fr/

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On en déduit

S = 1 2

n(n + 1) 2

²

+ n(n + 1)(2n + 1) 6

!

= n(n + 1)

24 (3n(n + 1) + 2(2n + 1))

= n(n + 1)

24 3n

²

+ 7n + 2

= n(n + 1)

24 (n + 2)(3n + 1).

3. Considérons (1 + i)

ⁿ

, la séparation en parties réelle et imaginaire correspond à la séparation des exposants pairs et impairs dans la formule du binôme d'où

(1 + i)

ⁿ

= R

n

+ iI

n

R

²_n

+ I

_n²

= |(1 + i)

ⁿ

|

²

= 2

ⁿ

4. Notons P le produit que l'on veut minorer et développons le

P =

n

X

i=1

a

_i

1 a

i

+ X

(i,j)∈N² i<j

a

_i

a

j

+ a

_j

a

i

Or

a

_i

a

j

+ a

_j

a

i

= r a

_i

a

j

− r a

_j

a

i

²

+ 2 ≥ 2.

On en déduit

P ≥ n + 2 n(n − 1) 2 = n

²

.

Si on connait la formule de Cauchy-Schwarz (ce qui ne devrait pas être le cas en début de sup), on peut l'utiliser avec x

i

= √

a

i

et y

i

= 1/ √

a

i

on a alors x

1

y

1

+ x

2

y

2

+ · · · + x

n

y

n

≤

q

(x

²₁

+ x

²₂

+ · · · + x

²_n

) q

(y

₁²

+ y

²₂

+ · · · + y

_n²

)

n ≤ p

(a

1

+ a

2

+ · · · + a

n

) s 1

a

₁

+ 1

a

₂

+ · · · + 1 a

_n

On obtient la formule demandée en élevant au carré.

5. Notons S l'expression à calculer. Elle fait penser à la formule du binôme suivante (1 + i √

3)

ⁿ

=

n

X

k=0

n k

(i √ 3)

^k

L'expression S est la partie de la somme venant des k pairs. C'est donc aussi la partie réelle de cette somme. Comme 1 + i √

3 = 2e

^iπ/3

, on obtient S = 2

ⁿ

cos nπ

3 . 6. a. On obtient

(z − a)(z − b)(z − c) = z

³

− (a + b + c)z

²

+ (ab + bc + ca)z − abc

b. Posons

a = w + w

⁶

= w + w = 2 cos(2π/7) b = w

²

+ w

⁵

= w

²

+ w

²

= 2 cos(4π/7) c = w

³

+ w

⁴

= w

³

+ w

³

= 2 cos(6π/7)

et calculons a +b +c , ab +bc +ca , abc en fonction de puissances de w . On simplie en utilisant

w

⁷

= 1 1 + w + w

²

+ w

³

+ w

⁴

+ w

⁵

+ w

⁶

= 0 par exemple :

ab = w

³

+ w

⁶

+ w + w

⁴

bc = w

⁵

+ w

⁶

+ w + w

²

ca = w

⁴

+ w

⁵

+ w

²

+ w

³



 

 

⇒ ab + bc + ca = −2

Après des simplications analogues, on obtient a + b + c = −1 ab + bc + ca = −2 abc = 1

On en déduit que 2 cos(2π/7) , 2 cos(4π/7) , 2 cos(6π/7) sont les trois racines de z

³

+ z

²

− 2z − 1 = 0

L'équation dont les racines sont les trois cosinus de l'énoncé est donc 8z

³

+ 4z

²

− 4z − 1 = 0

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