MPSI B 29 juin 2019

MPSI B 29 juin 2019

Énoncé

1. Résoudre

z + i z − i

+

z + i z − i

+

z + i z − i

+ 1 = 0

2. Si a

, a

, · · · , a

sont des nombres complexes et

P(z) = a

+ a

z + · · · + a

z

comment s'exprime P (z) − P (−z) ?

Résoudre

z

+ 7

2

z

+ 7

4

z

+ 7

6

z = 0

3. Déterminer l'ensemble des réels x tels que

sin x + sin 2x < sin 3x

4. Montrer que

arctan 1 + arctan 2 + arctan 3 = π

5. Présenter dans un tableau les valeurs de arccos(|cos x|) et arcsin(|sin x|) dans les inter- valles

0,

,

2

, π ,

π,

,

2

, 2π

Corrigé

1. Un nombre complexe z est solution si et seulement si il est diérent de i et si

est solution de 1 + w + w

+ w

= 0 dont les racines sont

U

− {1} = {−1, i, −i}

D'autre part la fonction homographique z →

est une bijection de C − {i} vers C − {1} dont la bijection réciproque est w → i

. On en déduit que l'ensemble des solutions est

{0, 1, −1}

2. Il est évident que P (z) − P (−z) se réduit aux termes d'indice impair comptés deux fois soit

2(a

z + a

z

+ a

z

+ · · · )

Pour P(z) = (1 + z)

et grâce à la formule du binôme, l'équation proposée revient à (1 + z)

= (1 − z)

, soit comme 1 n'est pas solution à

1 + z 1 − z

= 1

ou encore à

∈ U

. L'homographie z →

est une bijection de C − {1} vers C − {−1} dont la bijection réciproque est w →

. De plus, si w = e

e

− 1

e

+ 1 = i tan t 2

Comme −1 n'est pas racine 7

toutes les racines de l'unité correspondent à des solutions de l'équation proposée dont l'ensemble est

i tan kπ

7 , k ∈ {0, · · · , 6}

3. Remarquons que − sin x + sin 3x = 2 sin x cos x .

En utilisant sin 2x = 2 sin x cos x , les inéquations suivantes sont équivalentes

0 < sin x(2 cos

x − 1 − cos x) 0 < sin x(cos x − 1)(2 cos x + 1)

sin x(2 cos x + 1) < 0

Cette création est mise à disposition selon le Contrat

Paternité-Partage des Conditions Initiales à l'Identique 2.0 France disponible en ligne http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/fr/

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On en déduit que l'ensemble des solutions est [

k∈Z

− 2π

3 + 2kπ, +2kπ

∪ 2π

3 + 2kπ, π + 2kπ

4. Comme arctan 1 =

, il sut de prouver que arctan 2 + arctan 3 =

. D'une part arctan 2 + arctan 3 ∈

4

+

,

+

=

2

, π D'autre part, .

tan(arctan 2 + arctan 3) = 2 + 3

1 − 2 × 3 = −1

c'est à dire arctan 2 + arctan 3 ∈ −

+ π Z. La seule possibilité dans l'intervalle

, π est

.

5. On peut former le tableau suivant.

0,

2

, π

π,

2

, 2π

sin + + − −

cos + − − +

|sin| sin x sin x − sin x − sin x

|cos| cos x − cos x − cos x cos x arcsin(|sin|) x π − x x − π 2π − x arccos(|cos|) x π − x x − π 2π − x

Cette création est mise à disposition selon le Contrat

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