MPSI B 29 juin 2019

MPSI B 29 juin 2019

Énoncé

Soit n naturel non nul et a

1

, · · · , a

n

, b

1

, · · · , b

n

des réels strictement positifs.

On dénit m , M , a , g par m = min( a

1

b

₁

, · · · , a

n

b

_n

), M = max( a

1

b

₁

, · · · , a

n

b

_n

), a = 1

2 (m + M ), g = √ mM . 1. Soit u et v réels strictement positifs. Montrer que √

uv ≤

¹₂

(u + v) . Que peut-on en déduire pour

^a_g

?

2. Pour x réel, factoriser f(x) = −x

²

+ (m + M )x − mM . En déduire

∀k ∈ J 1, n K , f( a

k

b

_k

) ≥ 0.

3. a. Montrer que

n

X

k=1

a

²_k

+ m M

n

X

k=1

b

²_k

≤ (m + M )

n

X

k=1

a

k

b

k

.

b. En déduire v

u u t

n

X

k=1

a

²_k

v u u t

n

X

k=1

b

²_k

≤ a g

n

X

k=1

a

k

b

k

.

Corrigé

1. Pour tout (u, v) ∈ ( R

^∗+

)

²

, 0 ≤ ( √ u − √

v)

²

= u + v − 2 √

uv donc √

uv ≤

¹₂

(u + v) . On en déduit que

^a_g

≥ 1 .

2. Pour tout x ∈ R, f (x) = −(x−m)(x−M ) . Un tableau de signe montre immédiatement que ∀x ∈ [m, M ], f(x) ≥ 0 . Or, pour tout k ∈ J 1, n K, m ≤

^a_b^k

k

≤ M donc f

_a

k

b_k

≥ 0 . 3. a. Soit k ∈ J 1, n K. D'après la question précédente :

− a

²_k

b

²_k

+ (m + M ) a

_k

b

k

− mM

donc en multipliant par b

²_k

−a

²_k

+ (m + M )a

k

b

k

− mM b

²_k

≥ 0 donc a

²_k

+ mM b

²_k

≤ (m + M )a

k

b

k

. Le résultat s'obtient en sommant ces inégalités pour k variant de 0 à n . b. En divisant l'inégalité précédente par g , on obtient :

1 g

n

X

k=1

a

²_k

+ g

n

X

k=1

b

²_k

≤ 2 a g

n

X

k=1

a

k

b

k

.

Posons alors u =

¹_g

P

n

k=1

a

²_k

, v = g P

n

k=1

b

²_k

. D'après la première question : v

u u t

n

X

k=1

a

²_k

v u u t

n

X

k=1

b

²_k

= √ uv ≤ 1

2 (u + v) = 1 2

1 g

n

X

k=1

a

²_k

+ g

n

X

k=1

b

²_k

!

≤ a g

n

X

k=1

a

_k

b

_k

.

Cette création est mise à disposition selon le Contrat

Paternité-Partage des Conditions Initiales à l'Identique 2.0 France disponible en ligne http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/fr/

1

Rémy Nicolai Acsmaj