MPSI B 29 juin 2019
Énoncé
Pour une fonction
1f à valeurs réelles et continue sur I = [0, 1] , on recherche les fonctions y vériant
y 00 − y =f y(0) =y 0 (0) y(1) = − y 0 (1)
(1)
1. On note sp une solution particulière de l'équation dierentielle y 00 − y = f sur I . Déterminer en fonction de sp la solution générale de cette équation.
2. Exprimer la solution du système (1) dont on démontrera l'unicité à l'aide de sp et sp 0 . 3. Résoudre (1) dans le cas f (x) = x puis f (x) = x
2.
Corigé
1. La solution générale de y 00 − y = f s'écrit sous la forme t → λe
t+ µe −t + sp(t)
où λ et µ sont des constantes réelles. On peut aussi écrire les solutions de l'équation sous la forme
t → λ ch t + µ sh(−t) + sp(t)
2. Les conditions imposées à la fonction se traduisent par deux relations que doivent vérier λ et µ (on utilise la première expression).
λ + µ + sp(0) = λ − µ + sp 0 (0) λe + µe −1 + sp(1) = −(λe − µe −1 + sp 0 (1)) On en déduit
λ = − 1
2e (sp 0 (1) + sp(1)) , µ = 1
2 (−sp(0) + sp 0 (0)) Ces formules prouvent l'unicité. La solution cherchée est
t → − sp 0 (1) + sp(1)
2e e
t+ −sp(0) + sp 0 (0)
2 e −t + sp(t)
1
d'après E3A 2001 M1
3. Cas f (x) = x Le second membre est le polynôme x . Comme 0 n'est pas racine du polynôme caractéristique, on cherche une solution sous la forme d'un polynôme de même degré : sp(x) = ax + b . On trouve sp(x) = −x , la solution cherchée est
t → 1 e e
t− 1
2 e −t − t
Cas f (x) = x
2Le second membre est le polynôme x
2. Comm 0 n'est pas racine du polynôme caractéristique, on cherche une solution sous la forme d'un polynôme de même degré : sp(x) = ax
2+ bx + c . On forme le système
−a = 1
−b = 0 2a − c = = 0 On en déduit sp(x) = −x
2− 2 , la solution cherchée est
t → 5
2e e
t+ e −t − t
2− 2
Cette création est mise à disposition selon le Contrat
Paternité-Partage des Conditions Initiales à l'Identique 2.0 France disponible en ligne http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/fr/
