MPSI B 29 juin 2019
Énoncé
On note
1E le R espace vectoriel R [X] des polynômes à coecients réels et E
nle sous- espace formé par les polynômes dont le degré est inférieur ou égal à n . On identiera dans ce texte un polynôme avec la fonction polynomiale qui lui est associée. Le R espace vectoriel E est muni d'un produit scalaire vériant la propriété suivante :
∀(P, Q) ∈ E
2, (XP/Q) = (P/XQ)
Il est important de bien comprendre que (P/Q) désigne le nombre réel produit scalaire des éléments P et Q de E .
Notons 1
Ele polynôme constant 1 et c
i= (X
i/1
E) pour tout entier naturel i . On dira que (P
n)
n∈Nest une suite de polynômes orthogonaux lorsque
∀n ∈ N , deg(P
n) = n
∀(i, j) ∈ N
2, i < j ⇒ (X
i/P
j) = 0
On dénit une suite de fonctions polynomiales (D
n)
n∈Net une suite de nombres réels (∆
n)
n∈Npar ∆
0= 1 , D
0= 1
Eet les formules suivantes (déterminants) qui sont valables pour tout entier non nul n
∆
n=
c
0c
1· · · c
n−1c
nc
1c
2· · · c
nc
n+1... ... ... ... ...
c
n−1c
n· · · c
2n−2c
2n−1c
nc
n+1· · · c
2n−1c
2n∀x ∈ R : D
n(x) =
c
0c
1· · · c
n−1c
nc
1c
2· · · c
nc
n+1... ... ... ... ...
c
n−1c
n· · · c
2n−2c
2n−11 x · · · x
n−1x
nPartie I
1. a. Cas particulier. Montrer que l'on dénit un produit scalaire vériant les conditions de l'énoncé en posant
(P/Q) = Z
1−1
P (x)Q(x)dx
1d'après Fractions et Polynômes éd Ellipses
pour tout couple (P, Q) de polynômes.
b. Calculer c
npour tout entier n ainsi que ∆
1, ∆
2, D
1, D
2, D
3.
2. Montrer que (D
n)
n∈Nest une suite de polynômes orthogonaux. Quels sont les coe- cients dominants ?
3. a. Soit (P
n)
n∈Nune suite de polynômes orthogonaux et Q un polynôme de degré strictement inférieur à n , montrer que
(P
n/Q) = 0
b. Soit (P
n)
n∈Nune suite de polynômes orthogonaux et (λ
n)
n∈Nune suite de nombres réels non nuls. Montrer que (λ
nP
n)
n∈Nest une suite de polynômes or- thogonaux.
c. Soit (P
n)
n∈Net (Q
n)
n∈Ndeux suites de polynômes orthogonaux, montrer qu'il existe une suite (λ
n)
n∈Nde nombres réels non nuls tels que Q
n= λ
nP
npour tous les entiers n .
Dans toute la suite, on notera (Q
n)
n∈Nl'unique suite de polynômes orthogonaux telle que le coecient dominant de chaque Q
nsoit égal à 1.
4. a. Exprimer D
nen fonction de ∆
n−1et de Q
n. b. Montrer que, pour tout entier n :
(Q
n/X
n) = kQ
nk
2Exprimer cette quantité en fonction de ∆
n−1et ∆
n5. Relation de récurrence.
a. Soit (P
n)
n∈Nune suite de polynômes orthogonaux. Montrer qu'il exsite des suites (α
n)
n∈N, (β
n)
n∈N, (γ
n)
n∈Ntelles que, pour tous les entiers n ≥ 1 :
XP
n= α
nP
n−1+ β
nP
n+ γ
nP
n+1b. Montrer qu'il existe des suites (a
n)
n∈Net (b
n)
n∈Ntelles que
∀n ≥ 2 : Q
n= (a
n+ X )Q
n−1+ b
nQ
n−2Partie II
Dans cette partie, on se propose de calculer explicitement les coecients de la relation de récurrence vériée par les polynômes orthogonaux qui prennent en 1 la valeur 1 (polynômes de Legendre) pour le cas particulier de la question I.1.
On garde les notations de la partie I et on désigne par (L
n)
n∈Nl'unique suite de polynômes orthogonaux vériant L
n(1) = 1 pour tout entier n .
Cette création est mise à disposition selon le Contrat
Paternité-Partage des Conditions Initiales à l'Identique 2.0 France disponible en ligne http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/fr/
1
Rémy Nicolai Apolorth1MPSI B 29 juin 2019
1. Comment s'expriment les L
nen fonction des Q
n? 2. Montrer que pour tout entier n :
L
n(−x) = (−1)
nL
n(x)
3. Montrer que β
n= 0 pour tout entier n . (on pourra prendre la valeur en 1 et en −1 ) 4. Soit λ
nle coecient dominant de L
n, exprimer α
nen fonction de λ
n−1, λ
n, kL
n−1k
2,
kL
nk
2. Exprimer γ
nen fonction de λ
n+1, λ
n. 5. En considérant (L
0n/L
n−1) , montrer que
n λ
nλ
n−1kL
n−1k
2= 2
6. Montrer que
kL
nk
2= 1 2n + 1
Préciser la relation de récurrence vériée par la suite (Q
n)
n∈N.
Corrigé Partie 1
1. a. Voir cours.
b. Dans le cas particulier du produit scalaire déni par l'intégrale, on peut calculer directement les c
n.
c
n= Z
1−1
t
ndt =
0 si n impair
2
n+1
si n pair Le calcul direct des déterminants donne
∆
1= 4
3 , ∆
2= 32 135 Le calcul des polynômes D
1, D
2, D
3donne :
D
1= 2X , D
2= 4
3 (X
2− 1
3 ) , D
3= − 32
225 X + 32 135 X
3Le calcul de D
3se fait par exemple en développant suivant la dernière colonne
D
3= 2 5
2 0
232
3
0
251 x x
2+ ∆
2x
3= 2 5 (−x)( 4
5 − 4
9 ) + ∆
2x
32. Il est clair en développant selon la dernière ligne que chaque polynôme D
nest de degré inférieur ou égal à n et que le coecient de X
nest ∆
n−1.
Pourquoi ∆
n−16= 0 est-il non nul ?
La matrice des c
i(notons la C ) est la matrice de la restriction du produit scalaire à l'espace des polynômes de degré inférieur ou égal à n − 1 dans la base canonique. Il existe une base orthonormée pour cet espace, soit P la matrice de passage entre la base canonique et la base orthonormée. On a alors C =
tP P donc ∆
n−1= (det P )
2> 0 . Pour montrer l'orthogonalité, considérons (X
i/D
n) avec i < n . Notons
D
n= a
0+ a
1X + · · · + a
nX
noù les coecients sont obtenus par le développement selon la dernière ligne (en parti- culier a
n= ∆
n). Par linéarité du produit scalaire :
(X
i/D
n) = a
0c
i+ a
1c
i+1+ · · · + a
nc
i+nCette création est mise à disposition selon le Contrat
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2
Rémy Nicolai Apolorth1MPSI B 29 juin 2019
On peut interpréter cette expression comme le développement d'un déterminant selon la dernière ligne
(X
i/D
n) =
c
0c
1· · · c
n−1c
nc
1c
2· · · c
nc
n+1... ... ... ... ...
c
n−1c
n· · · c
2n−2c
2n−1c
ic
i+1· · · c
i+n−1c
i+nCe dernier déterminant est nul car la même ligne (en i ) se retrouve deux fois. Ceci assure, par linéarité, l'orthogonalité demandée.
3. a. Par dénition, P
nest orthogonal à 1, X, · · · , X
n−1. Il est donc orthogonal par linéarité à tout polynôme de degré inférieur ou égal à n − 1 .
b. Comme chaque λ
nest non nul, chaque λ
nP
nest bien de degré n . Il est clairement orthogonal aux X
ipar linéarité.
c. Soit (P
n)
n∈N
et (Q
n)
n∈N
deux suites de polynômes orthogonaux. Ils sont tous les deux dans R
n[X] ∩ R
n−1[X ]
⊥. Cet espace est l'orthogonal dans R
n[X ] de R
n−1[X ]
⊥qui en est un hyperplan. Il est donc de dimension 1 . Les polynômes P
net Q
nen sont chacun une base, ils sont donc colinéaires avec des coecients non nuls.
4. a. Comme le coecient de x
ndans D
nest δ
n−1, on a D
n= ∆
n−1Q
n.
b. On peut écrire Q
n= X
n+ (Q
n− X
n) où Q
n− X
nest de degré strictement inférieur à n donc orthogonal à Q
n. On a donc :
kQ
nk
2= (Q
n/X
n+ (Q
n− X
n)) = (Q
n/X
n)
Par un calcul de déterminant analogue à celui de la question 2, on obtient (D
n/X
n) = ∆
n⇒ ∆
n−1(Q
n/X
n) = ∆
n⇒ kQ
nk
2= ∆
n∆
n−15. Relation de récurrence
a. Le polynôme XP
nest de degré n + 1 , il s'exprime donc dans la base orthogonale P
0, · · · , P
n+1:
XP
n=
n
X
k=0
(XP
n/P
k) kP
kk
2P
kEn fait seules les trois dernières coordonnées ne sont pas nulles car, pour k < n−1 , (XP
n/X
k) = (P
n/XP
k) = 0
d'après l'hypothèse sur le produit scalaire et par orthogonalité car deg(XP
k) = k + 1 < n .
b. D'après la question précédente, XQ
n−1est une combinaison linéaire de Q
n−2, Q
n−1et Q
n. La considération du terme de degré n montre que le coecient de Q
nest égal à 1 . Si on note −a
net −b
nles deux autres coecients, on obtient bien
Q
n= (X + a
n)Q
n−1+ b
nQ
n−2Partie II.
1. On sait qu'il existe λ
n6= 0 tel que L
n= λ
nQ
n. Pour assurer L
n(1) = 1 , on doit avoir L
n= 1
Q
n(1) Q
n2. Posons Λ
n(x) = L
n(−x) . Il est clair que son degré est n . Par le changement de variable t = −x , on montre que (Λ
n)
n∈N
est une famille de polynômes orthogonaux. Il existe donc des k
ntels que Λ
n= k
nL
n. Que vaut k
n? Pour le savoir, considérons le terme de degré n de L
navec son coecient dominant λ
n. Par dénition de Λ
n, ce terme est λ
n(−x)
n= k
nλ
nx
ndonc k
n= (−1)
nce qui prouve la relation demandée.
3. D'après la question 5.a.
β
n= (XL
n/L
n) = Z
1−1
tL
2n(t)dt = 0
car la fonction t → tL
2n(t) est impaire et le domaine d'intégration est symétrique.
4. Comme L
n−1et L
nsont orthogonaux, à partir de l'expression de XL
n, on tire (XL
n/L
n−1) = α
nkL
n−1k
2. D'autre part, (XL
n/L
n−1) = (L
n/XL
n−1) . Comme XL
n−1est un polynôme de degré n et de coecient dominant λ
n−1, on peut écrire
XL
n−1= λ
n−1λ
nL
n+ polynôme de degré < n orthogonal à L
n⇒ (L
n/XL
n−1) = (L
n/ λ
n−1λ
nL
n) ⇒ α
n= λ
n−1λ
nkL
nk
2kL
n−1k
2Cette création est mise à disposition selon le Contrat
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3
Rémy Nicolai Apolorth1MPSI B 29 juin 2019
L'expression de γ
nen fonction de λ
net λ
n−1s'obtient simplement en considérant le coecient dominant
XL
n= α
nL
n−1+ γ
nL
n+1⇒ λ
n= γ
nλ
n+15. Considérons (L
0n/L
n−1) et transformons cette expression par intégration par parties pour utiliser l'orthogonalité de L
navec L
0n−1due au degré
(L
0n/L
n−1) = Z
1−1
L
0n(t)L
n−1(t) dt = [L
n(t)L
n−1(t)]
1−1− Z
1−1
L
n(t)L
0n−1(t) dt
= 1 − (−1)
n(−1)
n−1− 0 = 2 D'autre part, L
0nest de degré n−1 et de coecient dominant nλ
n. On peut donc écrire
L
0n= nλ
nX
n−1+ polynôme de degré < n − 1 orthogonal à L
n−1= n λ
nλ
n−1L
n−1+ polynôme de degré < n − 1 orthogonal à L
n−1ce qui entraine
(L
0n/L
n−1) = n λ
nλ
n−1(L
n−1/L
n−1) Des deux expressions obtenues, on tire
2λ
n−1= nλ
nkL
n−1k
26. On va d'abord exprimer les coecients α
n, β
n, γ
nen fonction de n et de la norme de L
npuis exploiter la relation α
n+β
n+ γ
n= 1 qui vient de ce que tous les L
kprennent en 1 la valeur 1 .
D'après 4. et 5. :
α
n= λ
n−1λ
nkL
nk
2kL
n−1k
22λ
n−1= nλ
nkL
n−1k
2
⇒ α
n= n 2 kL
nk
2On a montré en 3. que β
n= 0 . L'expression de γ
nvient aussi de 4. et 5. (en décalant la relation tirée de 5.)
γ
n= λ
nλ
n+12λ
n= (n + 1)λ
n+1kL
nk
2
⇒ γ
n= n + 1 2 kL
nk
2On peut alors exprimer kL
nk : α
n+ β
n+ γ
n= 1 ⇒
n
2 + n + 1 2
kL
nk
2= 1 ⇒ kL
nk
2= 2 2n + 1 On en déduit les valeurs de α
n, β
net γ
n:
α
n= n
2n + 1 β
n= 0 γ
n= n + 1
2n + 1 puis la relation de récurrence
XL
n= n
2n + 1 L
n−1+ n + 1 2n + 1 L
n+1qui s'écrit aussi
L
n+1= 2n + 1
n + 1 XL
n− n n + 1 L
n−1Cette création est mise à disposition selon le Contrat
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