Théorème : Soient (E, < ., . >) un espace vectoriel euclidien et f un endomorphisme symétrique de E. Alors, il existe une base orthonormée de E dans laquelle la matrice de f est diagonale.

Réduction des matrices symétriques réelles

Monier, Algèbre MP, page 139

Théorème : Soient (E, < ., . >) un espace vectoriel euclidien et f un endomorphisme symétrique de E. Alors, il existe une base orthonormée de E dans laquelle la matrice de f est diagonale.

Autrement dit, ∀S ∈ S

n

(R), ∃(Ω, D) ∈ O

n

(R) × D

n

(R) / S = ΩDΩ

⁻¹

Lemme 1 : Soient (E, < ., . >) un espace vectoriel euclidien et f un endomorphisme symétrique de E . Alors les sous-espaces propres pour f sont orthogonaux entre eux. C'est-à-dire, pour toutes valeurs propres λ,µ de f telles que λ 6= µ et tous vecteurs propres x associé à λ et y associé à µ, on a < x, y >= 0.

En eet, si λ, µ ∈ Sp

R

(f ) tels que λ 6= µ, x ∈ SEP (f, λ), y ∈ SEP (f, µ). On a donc x 6= 0, y 6= 0, f (x) = λx, f(y) = µy

D'où : hλx, yi = hf(x), yi = hx, f (y)i = hx, µyi. Donc (λ − µ) hx, yi = 0 et nalement, hx, yi = 0.

Lemme 2 : Soit f un endomorphisme symétrique de E espace vectoriel euclidien. Alors, pour tout sous-espace vectoriel F de E stable par f , F

^⊥

est stable par f .

En eet, soient F un sev de E stable par f et x ∈ F

^⊥

. On a : ∀y ∈ F, hf (x), yi = hx, f (y)i = 0 car x ∈ F

^⊥

et f (y) ∈ F . Donc on a f (x) ∈ F

^⊥

.

Preuve du théorème : Par récurrence sur n = dim(E) . La propriété est immédiate pour n = 1 .

Supposons-la vraie pour un entier n ≥ 1 , et soient E un espace vectoriel euclidien de dimension n + 1 , f un endomorphisme symétrique de E , B

1

une base orthonormée de E , A = Mat

B1

(f ) . Décomposons A en blocs:

A =

µ α

^t

C

C B

¶

, où α ∈ R, C ∈ M

n,1

(R), B ∈ S

n

(R)

D'après l'hypothèse de récurrence, il existe Ω ∈ O

n

(R), D ∈ D

n

(R) telles que B = ΩDΩ

⁻¹

. En notant U =

µ 1 0 0 Ω

¶

, il est clair que U est orthogonale et U

⁻¹

=

µ 1 0 0 Ω

⁻¹

¶

, d'où après produit par blocs :

U

⁻¹

AU =

µ α

^t

CΩ Ω

⁻¹

C D

¶

Notons G = Ω

⁻¹

C et A

⁰

= U

⁻¹

AU =

µ α

^t

G

G D

¶ .

• Montrons que A

⁰

admet au moins une valeur propre et un vecteur propre.

En notant G =



  g

1

...

g

n



 , D = diag (d

₁

, . . . , d

_n

) , on a A

⁰

=



 

 

α g

₁

· · · g

_n

g

1

d

1

0

... ...

g

n

0 d

n



 

  .

S'il existe k ∈ {1, . . . , n} tel que g

k

= 0 , alors d

k

est valeur propre de A

⁰

et un vecteur propre associé est E

k+1

. Nous pouvons donc supposer que ∀k ∈ {1, . . . , n}, g

k

6= 0 .

Soient λ ∈ R, V ∈ M

n+1,1

(R) . En décomposant V en blocs V =

µ x X

¶

, où x ∈ R et X ∈ M

n,1

(R), on a :

A

⁰

V = λV ⇐⇒

µ α

^t

G

G D

¶ µ x X

¶

= λ µ x

X

¶

⇐⇒

½ αx +

^t

GX = λx xG + DX = λX On peut supposer d

1

≥ . . . d

n

. Supposons λ > d

1

. Alors D − λI

n

est inversible, et donc :

A

⁰

V = λV ⇐⇒

½ X = −x(D − λI

n

)

⁻¹

G αx − x

^t

G(D − λI

n

)

⁻¹

G = λx

1

On a

t

G(D − λI

n

)

⁻¹

G + λ = α ⇐⇒

X

n i=1

g

_i²

d

i

− λ + λ = α L'application ϕ :

]d

1

, +∞[ → R

λ 7→

X

n i=1

g

²_i

d

i

− λ + λ est continue sur ]d

1

, +∞[, de limite −∞ en d

⁺₁

et de limite +∞ en +∞ , donc (théorème des valeurs intermédiaires), il existe λ ∈]d

1

, +∞[ tel que ϕ(λ) = α .

On a ainsi montré que f admet au moins une valeur propre et un vecteur propre réels.

• En notant x

0

un vecteur propre pour f , Rx

0

est stable par f , donc d'après le Lemme, (Rx

0

)

^⊥

est aussi stable par f . Dans une base orthonormée de E commençant par 1

kx

0

k x

0

, la matrice de f est donc de la forme

µ λ

0

0 0 S

¶

, où λ

0

∈ R , S ∈ S

n

(R) . D'après l'hypothèse de récurrence, il existe Ω

1

∈ O

n

(R), D

1

∈ D

n

(R) telles que S = Ω

1

D

1

Ω

⁻¹₁

. En notant Ω

2

=

µ 1 0 0 Ω

1

¶ et D

2

=

µ λ

0

0 0 D

1

¶

, il est clair que

Ω

2

∈ O

n+1

(R), D

2

∈ D

n+1

(R),

µ λ

0

0 0 S

¶

= Ω

2

D

2

Ω

⁻¹₂

Ceci montre qu'il existe une base orthonormale de E dans laquelle la matrice de f est diagonale.

Remarque : Une matrice symétrique complexe (d'ordre ≥ 2 ) peut ne pas être diagonalisable :

µ 2 i i 0

¶ . Autre démonstration :

Posons S = {x ∈ E / kxk = 1} , et ϕ : S → R

x 7→ hx, f(x)i .

• ϕ est continue sur un compact de E , donc bornée et atteint ses bornes. Il existe donc x

0

∈ S tel que ϕ(x

0

) = sup

x∈S

ϕ(x) .

• Soit x

1

∈ E tel que (x

0

, x

1

) soit une famille orthonormale. Montrons que hx

1

, f (x

0

)i = 0.

Considérons cos(θ)x

0

+ sin(θ)x

1

pour θ ∈ R. On a k cos(θ)x

0

+ sin(θ)x

1

k

²

= cos

²

(θ) + sin

²

(θ) = 1 donc ϕ(cos(θ)x

0

+ sin(θ)x

1

) ≤ ϕ(x

0

). D'où en développant,

2 sin(θ) cos(θ) hx

1

, f(x

0

)i ≤ sin

²

(θ) (hx

0

, f (x

0

)i − hx

1

, f (x

1

)i) On a donc,

½ ∀θ ∈]0, π[, 2 cos(θ) hx

1

, f (x

0

)i ≤ sin(θ) (hx

0

, f(x

0

)i − hx

1

, f (x

1

)i)

∀θ ∈] − π, 0[, 2 cos(θ) hx

1

, f (x

0

)i ≥ sin(θ) (hx

0

, f(x

0

)i − hx

1

, f (x

1

)i)

En faisant tendre θ vers 0

⁺

et 0

⁻

respectivement, on déduit hx

1

, f (x

0

)i = 0.

• Alors montrons que x

0

est un vecteur propre de f . Soit x ∈ x

^⊥₀

\{0}. On a

¿ 1

kxk x, f (x

0

) À

= 0, donc hx, f (x

0

)i = 0.

Ceci montre x

^⊥₀

⊂ (f (x

0

))

^⊥

d'où, en passant aux orthogonaux : Rx

0

= x

^⊥₀

⊃ (f(x

0

))

^⊥⊥

= Rf (x

0

) AInsi f (x

0

) ∈ Rx

0

, donc x

0

est vecteur propre de f .

2