DÉVELOPPEMENTS POUR L’AGRÉGATION EXTERNE
Réduction des endomorphismes normaux 1
Leçons : 150, 151, 153, 154, 155, 160, 101, 158
[Gou Al], section 5.3.2 Théorème
Soit E un R-espace vectoriel de dimension n < ∞, et f ∈ L( E ) un endomorphisme normal.
Alors, il existe une base orthonormale B de E, dans laquelle la matrice de f est une matrice de M
n( R ) de type (∗) :
λ
1. ..
λ
r0 a
1− b
1b
1a
1. ..
0 a
s− b
sb
sa
s
Démonstration :
On va d’abord énoncer et montrer deux lemmes.
Lemme 1
1. SoitFun sous-espace vectoriel stable paru
∈ L(
E)
. AlorsF⊥est stable paru∗. 2. SoitEλun sous-espace propre deu∈ L(
E)
, endomorphisme normal.AlorsEλetE⊥λ sont stables paruetu∗. Démonstration du lemme 1 :
1. On a :
∀
x∈
F,∀
y∈
F⊥,h
x,u∗(
y)i = h
u(
x)
,yi =
0, caru(
x) ∈
F. Donc∀
y∈
F⊥,u∗(
y) ∈
F⊥. 2. D’abordEλest stable paru, donc on vient de montrer queE⊥λ est stable paru∗.On a :
∀
x∈
Eλ,u(
u∗(
x)) =
u∗(
u(
x)) =
u∗(
λx) =
λu∗(
x)
, doncu∗(
x) ∈
Eλ.DoncEλest stable paru∗, donc par la première partie du lemme :Eλ⊥est stable paru∗∗
=
u.Lemme 2
SoitEunR-espace vectoriel de dimension 2,u
∈ L(
E)
un endomorphisme normal, avec SpR(
u) =
∅. Alors dans toute base orthonormaleB
deE,M
atB(
u)
est de la formea
−
bb a
, avecb
6=
0.Démonstration du lemme 2 : ÉcrivonsM
= M
atB(
u) =
a c b d
; comme SpR
(
u) =
∅, on a nécessairementb6=
0.Par normalité, on a :MM∗
=
M∗M, on a :a2
+
c2 ab+
cd ab+
cd a2+
c2
=
a2
+
b2 ac+
bd ac+
bd c2+
d2. Doncb
= ±
c.,
→
Sib=
c, alorsMest symétrique réelle ; mais SpR(
u) =
∅. Contradiction.2 ,→
Doncb= −
c, et alors :ab+
cd=
ac+
bddonne 2(
a−
d)
b=
0 donca=
d.1. On ne prendra pas le temps d’écrire l’énoncé au tableau. Dans le plan de la leçon 150, on énoncera le résultat ainsi : “Soit M∈ Mn(R)une matrice normale ; alors, sous l’action par conjugaison induite par On(R), l’orbite deMcontient une matrice de type(∗)”. On ne démontrera pas le lemme 2.
2. SoitS ∈ Sn(R), alorsSadmet une valeur propre réelle. En effet,Sest une matrice complexe, donc admet une valeur propreλ∈C, associée à un vecteur proprex∈Cn\{0}. De l’égalitéSx=λx, on déduit :
λ
∑
n k=1|xk|2=λtxx= txS
x=tx(Sx) =λtxx=λ
∑
n k=1|xk|2. Et commex6=0, on en déduit queλ=λ, autrement ditλ∈R.
Florian L
EMONNIER1
Diffusion à titre gratuit uniquement.
ENS Rennes – Université Rennes 1
DÉVELOPPEMENTS POUR L’AGRÉGATION EXTERNE
On procède par récurrence forte surn
=
dimE.– Pourn
=
1, le résultat est trivial.– Soitn>2. On a deux cas.
Cas 1 : SpR
(
f) 6=
∅. Soit alorsλ∈
SpR(
f)
.Par le lemme 1,Eλ⊥est stable par f et f∗, donc f E⊥ λ
est normal3.
Comme dimE⊥λ 6 n
−
1, par récurrence, il existeB
2une base orthonormale deEλ⊥ telle queM
atB2f E⊥ λ
soit de la forme
(∗)
.Soit alors
B
1une base orthonormale deEλ4.La concaténation
B = (B
1,B
2)
est une base orthonormale de Etelle queM
atB(
f)
soit de la forme(∗)
.Cas 2 : SpR
(
f) =
∅.SoitQ
=
X2+
αX+
βun facteur irréductible deχf dansR[
X]
. NotonsN=
KerQ(
f)
. Montrons que :N6= {
0}
; effectivement, écrivonsQ= (
X−
λ)(
X−
λ)
dansC[
X]
. Ainsi,λ∈
SpC(
f)
et det(
f−
λId) =
0, doncdetQ
(
f) =
det(
f−
λId)
det(
f−
λId) =
0, doncN6= {
0}
.CommeQ
(
f)
commute avecf et f∗, alorsNest stable parf et f∗. Posonsg=
f Nalorsg∗=
f∗ Netg∗g= (
f∗f)
Nest symétrique réel.Soient alorsµ
∈
SpR(
g∗g)
etx∈
N\{
0}
, tels queg∗g(
x) =
µx.SoitF
=
Vect{
x,f(
x)}
; on a dimF=
2 car SpR(
f) =
∅.Commef2
(
x) = −
αf(
x) −
βx, alorsFest stable parf; même :F=
Vectf
(
x)
,f2(
x)
carβ6=
0.On af∗
(
f(
x)) =
µx∈
Fet f∗ f2(
x)
=
f(
f∗f(
x)) =
f(
µx) =
µf(
x) ∈
F.DoncFest stable par f∗; ainsi, f Fest un endomorphisme normal.
Par le lemme 2, il existe
B
2une base orthonormale deFavecM
atB2(
f F) =
a
−
bb a
, oùb
6=
0.CommeFest stable parf et f∗, par le début du lemme 1,F⊥est stable par f∗et f∗∗
=
f. Doncf F⊥ est un endomorphisme normal.CommeF⊥est de dimensionn
−
2, par récurrence, il existe une base orthonormaleB
1de F⊥, telle queM
atB1(
f F⊥)
soit de type(∗)
.Et la concaténation
B = (B
1,B
2)
est une base orthonormale de E, telle queM
atB(
f)
soit de type(∗)
.Références
[Gou Al] X. G
OURDON– Les maths en tête : Algèbre, 2
eéd., Ellipses, 2009.
3. En effet,f∗ E⊥ λ
existe ; par unicité de l’adjoint, on montre que :f∗ E⊥ λ
=f E⊥ λ
∗
, puis on a quef E⊥ λ
et f E⊥
λ
∗
commutent car fetf∗commutent.
4. Ben oui :Eλest de dimension finie donc admet une base et on l’orthonormalise par Schmidt !
Florian L
EMONNIER2
Diffusion à titre gratuit uniquement.
