E le R espace vectoriel R [X] des polynômes à coecients réels et E

(1)

MPSI B 20010-2011 DM 15 29 juin 2019

On note

¹

E le R espace vectoriel R [X] des polynômes à coecients réels et E

n

le sous- espace formé par les polynômes dont le degré est inférieur ou égal à n . On identiera dans ce texte un polynôme avec la fonction polynomiale qui lui est associée. Le R espace vectoriel E est muni d'un produit scalaire vériant la propriété suivante :

∀(P, Q) ∈ E

²

, (XP/Q) = (P/XQ)

Il est important de bien comprendre que (P/Q) désigne le nombre réel produit scalaire des éléments P et Q de E .

Notons 1

E

le polynôme constant 1 et c

i

= (X

ⁱ

/1

E

) pour tout entier naturel i . On dira que (P

n

)

_n∈N

est une suite de polynômes orthogonaux lorsque

∀n ∈ N , deg(P

_n

) = n

∀(i, j) ∈ N

²

, i < j ⇒ (X

ⁱ

/P

j

) = 0

On dénit une suite de fonctions polynomiales (D

_n

)

_n∈_N

et une suite de nombres réels (∆

n

)

_n∈_N

par ∆

0

= 1 , D

0

= 1

E

et les formules suivantes (déterminants) qui sont valables pour tout entier non nul n

∆

_n

=

c

₀

c

₁

· · · c

_n−1

c

_n

c

₁

c

₂

· · · c

_n

c

_n+1

... ... ... ... ...

c

_n−1

c

_n

· · · c

_2n−2

c

_2n−1

c

n

c

n+1

· · · c

_2n−1

c

2n

∀x ∈ R : D

n

(x) =

c

0

c

1

· · · c

_n−1

c

n

c

1

c

2

· · · c

n

c

n+1

... ... ... ... ...

c

n−1

c

n

· · · c

2n−2

c

2n−1

1 x · · · x

ⁿ⁻¹

x

ⁿ

Partie I

1. a. Cas particulier. Montrer que l'on dénit un produit scalaire vériant les conditions de l'énoncé en posant

(P/Q) = Z

1

−1

P (x)Q(x)dx

pour tout couple (P, Q) de polynômes.

1d'après Fractions et Polynômes éd Ellipses

b. Calculer c

n

pour tout entier n ainsi que ∆

1

, ∆

2

, D

1

, D

2

, D

3

.

2. Montrer que (D

n

)

_n∈N

est une suite de polynômes orthogonaux. Quels sont les coecients dominants ?

3. a. Soit (P

n

)

_n∈N

une suite de polynômes orthogonaux et Q un polynôme de degré strictement inférieur à n , montrer que

(P

n

/Q) = 0

b. Soit (P

_n

)

_n∈_N

une suite de polynômes orthogonaux et (λ

_n

)

_n∈_N

une suite de nombres réels non nuls. Montrer que (λ

n

P

n

)

_n∈_N

est une suite de polynômes orthogonaux.

c. Soit (P

_n

)

_n∈_N

et (Q

_n

)

_n∈_N

deux suites de polynômes orthogonaux, montrer qu'il existe une suite (λ

n

)

_n∈_N

de nombres réels non nuls tels que Q

n

= λ

n

P

n

pour tous les entiers n .

Dans toute la suite, on notera (Q

n

)

_n∈_N

l'unique suite de polynômes orthogonaux telle que le coecient dominant de chaque Q

n

soit égal à 1.

4. a. Exprimer D

n

en fonction de ∆

_n−1

et de Q

n

. b. Montrer que, pour tout entier n :

(Q

_n

/X

ⁿ

) = kQ

n

k

²

Exprimer cette quantité en fonction de ∆

n−1

et ∆

n

5. Relation de récurrence.

a. Soit (P

_n

)

_n∈_N

une suite de polynômes orthogonaux. Montrer qu'il exsite des suites (α

_n

)

_n∈_N

, (β

_n

)

_n∈_N

, (γ

_n

)

_n∈_N

telles que, pour tous les entiers n ≥ 1 :

XP

_n

= α

_n

P

_n−1

+ β

_n

P

_n

+ γ

_n

P

_n+1

b. Montrer qu'il existe des suites (a

n

)

n∈N

et (b

n

)

n∈N

telles que

∀n ≥ 2 : Q

n

= (a

n

+ X )Q

_n−1

+ b

n

Q

_n−2

Partie II

Dans cette partie, on se propose de calculer explicitement les coecients de la relation de récurrence vériée par les polynômes orthogonaux qui prennent en 1 la valeur 1 (polynômes de Legendre) pour le cas particulier de la question I.1.

On garde les notations de la partie I et on désigne par (L

n

)

n∈N

l'unique suite de polynômes orthogonaux vériant L

_n

(1) = 1 pour tout entier n .

Cette création est mise à disposition selon le Contrat

Paternité-Partage des Conditions Initiales à l'Identique 2.0 France disponible en ligne http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/fr/

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(2)

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1. Comment s'expriment les L

n

en fonction des Q

n

? 2. Montrer que pour tout entier n :

L

n

(−x) = (−1)

ⁿ

L

n

(x)

3. Montrer que β

n

= 0 pour tout entier n . (on pourra prendre la valeur en 1 et en −1 ) 4. Soit λ

n

le coecient dominant de L

n

, exprimer α

n

en fonction de λ

_n−1

, λ

n

, kL

_n−1

k

²

,

kL

n

k

²

. Exprimer γ

n

en fonction de λ

n+1

, λ

n

. 5. En considérant (L

⁰_n

/L

_n−1

) , montrer que

n λ

n

λ

_n−1

kL

_n−1

k

²

= 2

6. Montrer que

kL

n

k

²

= 1 2n + 1

Préciser la relation de récurrence vériée par la suite (Q

n

)

_n∈_N

.

Cette création est mise à disposition selon le Contrat

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