) la base canonique du R-espace vectoriel des polynômes à coe- cients réels de degré inférieur ou égal à 2 noté R

(1)

MPSI B 29 juin 2019

Énoncé

On note B = (1, X, X

²

) la base canonique du R-espace vectoriel des polynômes à coe- cients réels de degré inférieur ou égal à 2 noté R

2

[X ] . Lorsque P et Q sont deux polynômes et a un réel, le polynôme P b (Q) est obtenu en substituant Q à X dans l'expression de P . Le réel P e (a) est obtenu en substituant a à X dans l'expression de P .

On dénit

¹

les deux applications suivantes : f :







R

2

[X ] → R

2

[X]

P → 1 2 h

P( b X

2 ) + P b ( X + 1

2 ) i ϕ :

( R

2

[X ] → R P → P e (1) On rappelle aussi que l'on note f

⁰

= Id

_R₂_[X]

et, pour tout n ∈ N

^∗

, f

ⁿ

= f ◦ f

ⁿ⁻¹

.

Partie I.

1. Vérier que f est bien à valeurs dans R

2

[X ] et montrer que f est linéaire.

2. Montrer que ϕ est linéaire.

3. Écrire la matrice de f dans la base B de R

2

[X ] . 4. L'application f est elle injective ? surjective ?

5. Déterminer une base de ker ϕ . Quelle est la dimension de ker ϕ ? 6. L'application ϕ est-elle injective ? surjective ?

Partie II

On considère la matrice A ∈ M

3

( R ) et la famille B

⁰

de R

2

[X ] :

A =





 1 1

4 1 8 0 1

2 1 4

0 0 1

4 





B

⁰

= 1, −2X + 1, 6X

²

− 6X + 1

1. Écrire la matrice de ϕ dans les bases canoniques de R

²

[X ] et R. On notera L cette matrice.

1d'après Épreuve toute lière du concours commun 2009 des écoles des mines d'Albi, Alès, Douai, Nantes

2. a. Justier que la famille B

⁰

est une base de R

2

[X ] . b. Écrire la matrice de passage Q de B à B

⁰

.

c. Justier que Q est inversible et calculer son inverse.

3. a. Écrire la matrice D de f dans B

⁰

.

b. Pour tout n ∈ N, exprimer A

ⁿ

en fonction de puissances de Q et D .

c. Pour tout n ∈ N, exprimer, dans les bases canoniques de R

2

[X ] et R, la matrice de l'application de R

2

[X] dans R dénie par :

P 7→ ϕ(f

ⁿ

(P)) en fonction de L et de puissances de Q et D . 4. Montrer que

∀P ∈ R

2

[X] : (ϕ(f

ⁿ

(P )))

_n∈N

→ Z

1

0

P(t)dt e

Partie III

1. Montrer que :

∀P ∈ R

2

[X], ∀n ∈ N : f

ⁿ

(P) = 1 2

ⁿ

2ⁿ−1

X

k=0

P b ( X + k 2

ⁿ

)

2. En déduire une deuxième démonstration (indépendante de celle de la partie II) de

∀P ∈ R

2

[X ] : (ϕ(f

ⁿ

(P )))

_n∈

N

→ Z

1

0

P(t)dt e Ce résultat est-il toujours valable sans restriction sur le degré ?

Cette création est mise à disposition selon le Contrat

Paternité-Partage des Conditions Initiales à l'Identique 2.0 France disponible en ligne http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/fr/

1

Rémy Nicolai Apolymat1

(2)

MPSI B 29 juin 2019

Corrigé

Partie I.

1. La substitution de X par un polynôme de degré 1 ne change pas le degré. La fonction est bien à valeurs dans R

2

[X ] . Les propriétés de la substitution entrainent la linéarité.

2. Les propriétés de la substitution entrainent la linéarité.

3. Pour former la matrice, on calcule les images des trois vecteurs de base.

f (1) =1 f (X ) = 1 2

X

2 + X + 1 2

= 2X + 1 4 f(X

²

) = 1

2 X

²

4 + (X + 1)

²

4 = 2X

²

+ 2X + 1 8 On en déduit la matrice demandée :

Mat

_B

f

₂

=







1

¹₄ ¹₈

0

¹₂ ¹₄

0 0

¹₄







4. La matrice de f dans B est triangulaire supérieure avec des réels non nuls sur la diagonale, elle est donc de rang 3 ce qui prouve que f est un automorphisme.

5. Le noyau ker ϕ est formé par les polynômes de degré inférieur à 2 et admettant 1 comme racine c'est à dire divisibles par X − 1 soit

ker ϕ = (X − 1) R

1

[X ], base : (X − 1, X

²

− X)

On en déduit dim(ker ϕ) = dim( R

1

[X]) = 2 . On peut remarquer que ker ϕ est un hyperplan de R

2

[X] (noyau d'une forme linéaire non nulle).

6. L'application ϕ est une forme linéaire donc elle n'est pas injective car son noyau est un hyperplan (un gros sous-espace) mais elle est surjective car elle n'est pas nulle et à valeurs dans le corps de base.

Partie II.

1. La base canonique de R est la famille (1) à un seul élément. Dans cette base, un nombre réel x considéré comme un vecteur s'écrit x = x 1 , son unique coordonnée est donc x .

La matrice d'une forme linéaire ϕ est donc la ligne des images par ϕ des vecteurs de base. On en déduit

L = ϕ(1) ϕ(X ) ϕ(X

²

)

= (1 1 1)

2. a. Notons P

₀

= 1 , P

₁

= −2X + 1 , P

₂

= 6X

²

− 6X + 1 de sorte que B

⁰

= (P

₀

, P

₁

, P

₂

) . Cette famille étant échelonnée, elle est libre dans R

2

[X] . C'est donc une base car R

2

[X ] est de dimension 3.

b. Par dénition d'une matrice de passage, Q = P

B,B⁰

=





1 1 1

0 −2 −6

0 0 6





c. Comme toute matrice de passage entre deux bases, Q est inversible. Pour calculer son inverse, on exprime la base canonique de R

2

[X ] :

P

0

=1

P

₁

= − 2X + 1 P

2

=6X

²

− 6X + 1



 

 

⇒



 



 



1 =P

₀

X = 1

2 P

₀

− 1 2 P

₁

X

²

= 1

6 P

₂

− 1 2 P

₁

+ 1

3 P

₀

⇒ Q

⁻¹

=







1

¹₂ ¹₃

0 −

¹₂

−

¹₂

0 0

¹₆







3. a. Les calculs de I.3. montrent que A = Mat

_B

f . D'après la formule de changement de base, D = Mat

_B⁰

f = Q

⁻¹

AQ avec

Q

⁻¹

A =







1

¹₂ ¹₃

0 −

¹₂

−

¹₂

0 0

¹₆













1

¹₄ ¹₈

0

¹₂ ¹₄

0 0

¹₄







=







1

¹₂ ¹₃

0 −

¹₄

−

¹₄

0 0

₂₄¹







⇒ D = Mat

_B⁰

f =







1

¹₂ ¹₃

0 −

¹₄

−

¹₄

0 0

₂₄¹













1 1 1

0 −2 −6

0 0 6







=







1 0 0 0

¹₂

0 0 0

¹₄







2

(3)

MPSI B 29 juin 2019

b. On en déduit A = QDQ

⁻¹

ce qui entraine A

ⁿ

= QD

ⁿ

Q

⁻¹

après simplication des Q

⁻¹

Q intermédiaires.

c. En fait, on cherche la matrice de ϕ ◦ f

ⁿ

. La composition des applications linéaires se traduit par une multiplication matricielle lorsque les bases correspondent. La matrice cherchée est

L Q D

ⁿ

Q

⁻¹

Il s'agit d'une matrice ligne.

4. Considérons un P = a + bX + cX

²

∈ R

2

[X] et exprimons matriciellement une valeur de la suite

ϕ(f

ⁿ

(P )) = L Q D

ⁿ

Q

⁻¹

C avec C =



 a b c



 et D

ⁿ

=





1 0 0

0 2

⁻ⁿ

0 0 0 2

⁻²ⁿ





La suite étudiée s'exprime comme une combinaison linéaire d'une suite constante et de deux suites géométriques qui convergent vers 0 . Elle est donc convergente. Calculer la limite, revient à remplacer par 0 les suites qui tendent vers 0 dans D

ⁿ

ce qui rend très simples les calculs matriciels.







1 0 0 0 0 0 0 0 0













1

¹₂ ¹₃

0 −

¹₂

−

¹₂

0 0

¹₆







=







1

¹₂ ¹₃

0 0 0 0 0 0













1 1 1

0 −2 −6

0 0 6













1

¹₂ ¹₃

0 0 0 0 0 0







=







1

¹₂ ¹₃

0 0 0 0 0 0







1 1 1







1

¹₂ ¹₃

0 0 0 0 0 0







=

1

¹₂ ¹₃

On en déduit que (ϕ(f

ⁿ

(P )))

_n∈

N

converge vers

1

¹₂ ¹₃





 a b c







= a + b 2 + c

3 = Z

1

0

P e (t) dt.

Partie III.

1. Notons P

_n

la proposition à démontrer.

P

n

: ∀p ∈ R

2

[X ], f

ⁿ

(P ) = 1 2

ⁿ

2ⁿ−1

X

k=0

P( b X + k 2

ⁿ

)

!

et montrons par récurrence que les propositions P

n

sont vraies pour n ≥ 1 . Pour n = 1 , il s'agit de la dénition même de f .

Montrons que P

n

entraine P

n+1

. Pour k ∈ J 0, 2

ⁿ

− 1 K, introduisons des notations polynomiales

Q

_k

= P b ( X + k 2

ⁿ

) ⇒



 

 

Q c

_k

( X

2 ) = P( b X + 2k 2

ⁿ⁺¹

) Q c

k

( X + 1

2 ) = P( b X + 2k + 1 2

ⁿ⁺¹

)

En sommant sur les k < 2

ⁿ

, on obtient, avec les 2k et 2k + 1 tous les k

⁰

< 2

ⁿ⁺¹

. Par linéarité,

f

ⁿ⁺¹

(P) = 1 2

ⁿ

2ⁿ−1

X

k=0

f (Q

k

) = 1 2

ⁿ⁺¹

2ⁿ−1

X

k=0

P b ( X + 2k

2

ⁿ⁺¹

) + P b ( X + 2k + 1 2

ⁿ⁺¹

)

= 1

2

ⁿ⁺¹

2ⁿ⁺¹−1

X

k⁰=0

P( b X + k

⁰

2

ⁿ⁺¹

) en regroupant dans la même somme les termes pairs 2k et le termes impairs 2k + 1 . 2. D'après la formule précédente, ϕ(f

ⁿ

(P )) s'exprime comme une somme de Riemann

(vers la droite) :

ϕ(f

ⁿ

(P )) = 1 2

ⁿ

2ⁿ−1

X

k=0

P e ( k + 1 2

ⁿ

)

attachée à la subdivision régulière de pas 2

⁻ⁿ

. La suite des sommes de Riemann converge vers l'intégrale car la fonction polynomiale est continue.

Dans ce raisonnement, c'est la continuité qui joue le rôle important. La limite vers l'intégrale sera donc valable pour des polynômes de n'importe quel degré.

3