[X ] le sous-espace des polynômes de degré inférieur ou égal à n , pour tout entier naturel n . Soit (T

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Énoncé

On désigne par R [X ] l'espace vectoriel des polynômes à coecients réels, et par R

[X ] le sous-espace des polynômes de degré inférieur ou égal à n , pour tout entier naturel n . Soit (T

)

la suite de polynômes de R [X ] dénie par T

(X) = 1 , T

(X ) = X , puis la relation :

∀n ≥ 1 T

(X ) = 2XT

(X ) − T

(X).

Partie I. Étude de la suite des polynômes (T

) . 1. Déterminer les polynômes T

et T

.

2. Déterminer le degré, la parité et le coecient dominant de T

pour m ∈ N.

3. Soit n dans N. Montrer que la famille (T

, T

, . . . , T

) est une base de R

[X] . 4. a. Etablir par récurrence les relations suivantes pour tout nombre réel x :

∀n ∈ N T

(cos x) = cos(nx) ; T

( ch x) = ch (nx).

On rappelle que : ∀(a, b) ∈ R

2 ch (a) ch (b) = ch (a + b) + ch (a − b).

b. En déduire que |T

(u)| ≤ 1 pour |u| ≤ 1 .

c. Soit n un entier naturel non nul. Montrer que, pour tout u dans ]1, +∞[ , |T

(u)| >

1 (on pourra poser u = ch (x) ).

d. En déduire que, pour tout n entier naturel non nul et pour tout u dans ] − ∞, −1]∪]1, +∞[ , |T

(u)| > 1 .

5. a. Pour tout n entier naturel non nul, résoudre dans [0, π] l'équation T

(cos(x)) = 0

b. En déduire que, pour n un entier naturel non nul, T

a n racines réelles dans [−1, 1] .

c. Soit n un entier naturel non nul. Donner la décomposition de T

en facteurs irréductibles dans R [X ] .

6. Pour |t| < 1 et x réel, considérons la suite de terme général P

k=0

t

e

. Montrer que cette suite converge et calculer sa limite.

Partie II. Étude d'un produit scalaire sur R [X] .

Dans toute la suite, on désigne par n un entier naturel non nul et les racines de T

par cos(x

), cos(x

), . . . , cos(x

) où :

x

= 2k − 1

2n π, k ∈ {1, . . . , n}.

On associe à tout couple (P, Q) de polynômes de R [X ] l'intégrale suivante :

< P, Q >=

Z

0

P (cos(x))Q(cos(x))dx.

1. Montrer que l'application (P, Q) 7→< P, Q > dénit un produit scalaire sur R [X ] . 2. a. Soit (p, q) ∈ N

tel que p 6= q . Calculer < T

, T

> .

b. Calculer < T

, T

> et < T

, T

> .

c. En déduire que, pour n entier naturel non nul, T

est orthogonal à R

[X ] . d. En utilisant les questions I.2, II.2.b et II.2.c, montrer que

< T

, X

>= π 2

3. Montrer que la famille (T

, . . . , T

) est une base orthogonale de R

[X ] . Partie III. Calcul exact d'une intégale.

On associe à un polynôme P de R [X] l'intégrale et la somme suivantes :

I(P ) = Z

0

P (cos(x))dx et S

(P ) = π n

n

X

k=1

P (cos(x

)).

1. On note, pour j ∈ {0, . . . , n} , c

= P

k=1

cos(jx

) . a. Calculer c

.

b. Calculer pour j ∈ {1, . . . , n − 1} ,

n

X

k=1

e

.

c. En déduire que, pour j ∈ {1, . . . , n − 1} , c

= 0 .

Cette création est mise à disposition selon le Contrat

Paternité-Partage des Conditions Initiales à l'Identique 2.0 France disponible en ligne http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/fr/

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2. a. Pour p ∈ {0, . . . , n − 1} , calculer I(T

) et S

(T

) .

b. En déduire que, pour tout P dans R

[X ] , I(P ) = S

(P ) .

3. Soit P un polynôme de R

[X] . On note Q et R respectivement le quotient et le reste de la division euclidienne de P par T

; on a donc P = QT

+ R où R ∈ R

[X ] .

a. Montrer que Q ∈ R

[X ] .

b. En déduire, en utilisant II.2.c, que I(P ) = I(R) . c. En déduire que, pour P ∈ R

[X] , I(P ) = S

(P ) . 4. Calculer I(T

) et S

(T

) ; qu'en conclut-on ?

Corrigé

Corrigé de tcheb2 à rédiger

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