Exercice 1. C est ` a la fois un C -espace vectoriel et un R -espace vectoriel.

Feuille n ^o 2 MM2

Applications lin´ eaires

Exercice 1. C est ` a la fois un C -espace vectoriel et un R -espace vectoriel.

On consid` ere les applications suivantes :

c : C → C , z 7→ z, ¯ r : C → C , z 7→ Re(z), i : C → C, z 7→ Im(z).

1. L’application c est-elle C -lin´ eaire, est-elle R -lin´ eaire ?

2. L’application c est-elle un C-automorphisme, un R-automorphisme ? 3. Montrer que r et i sont des applications R-lin´ eaires.

4. Calculer les noyaux et les images de r et i.

Exercice 2. Soient E et F deux espaces vectoriels. On note f ∈ L(E, F ) et {a _i } _i une famille (non vide) d’´ el´ ements de E.

1. D´ emontrer que si (f (a i )) _i est libre alors (a i ) _i est libre.

2. D´ emontrer que si (a i ) _i est libre et f est injective, alors (f (a i )) _i est libre.

3. Les implications r´ eciproques sont-elles vraies ?

4. D´ emontrer que si (a _i ) _i engendre E, alors (f (a _i )) _i engendre Im f.

Exercice 3. Soit E un espace vectoriel. Une application lin´ eaire p de E dans E s’appelle un projecteur si p = p ◦ p.

1. Montrer que pour tout y ∈ Im p, alors p(y) = y. On dit que y est invariant.

2. D´ emontrer que E = ker p ⊕ Im p.

3. Montrer que f ∈ L(E) est un projecteur si, et seulement si, tout vecteur de Im f est invariant.

4. Soit f ∈ L(E). On consid` ere g = Id _E − f . Montrer que les conditions suivantes sont ´ equivalentes :

(a) f est un projecteur, (b) Im f ⊂ ker g,

(c) Im g ⊂ ker f.

Exercice 4. E est un R −espace vectoriel, F et G deux sous-espaces sup- pl´ ementaires de E : E = F L

G. On pose s(u) = u F − u G o` u u = u F + u G

est la d´ ecomposition (unique) obtenue grˆ ace ` a E = F L

G. s est la sym´ etrie par-rapport ` a F de direction G.

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1. Montrer que s ∈ L(E), que u ∈ F ⇔ s(u) = u, u ∈ G ⇔ s(u) = −u, donner Ker(s) et calculer s ² .

2. R´ eciproquement si f ∈ L(E) v´ erifie f ² = id E . On pose p = ^f+id ₂

. Calculer f (u) en fonction de p(u) et u. V´ erifier que p est un projecteur, calculer son noyau et son image. Montrer que f est la sym´ etrie par rapport ` a F = {u ∈ E|f (u) = u} de direction G = {u ∈ E|f(u) =

−u}.

Exercice 5. Soient E et F deux espaces vectoriels de dimension finie. On consid` ere des applications lin´ eaires f ∈ L(E, F ) et g ∈ L(F, E) telles que :

f ◦ g ◦ f = f et g ◦ f ◦ g = g.

1. Montrer que h = g ◦f est une application lin´ eaire de E dans E. V´ erifier que h est un projecteur, i.e. h = h ◦ h.

2. Montrer que E = ker f ⊕ Im g.

3. Montrer que f , g et g ◦ f sont de mˆ eme rang.

Exercice 6. Soit E un espace vectoriel de dimension finie. Soit f ∈ L(E).

Montrer que les propri´ et´ es suivantes sont ´ equivalentes : 1. ker f = ker f ◦ f,

2. Im f = Im f ◦ f , 3. E = ker f ⊕ Im f .

Exercice 7. Soit E = R 3 [X] l’espace vectoriel des polynˆ omes de degr´ e ≤ 3, et f : E → E d´ efinie par :

f (P ) = P + (1 − X)P

.

Montrer que f ∈ L(E), donner une base de Im f et de Ker(f ).

Exercice 8. Soit K = R ou C et a ₀ , . . . , a _n ∈ K deux ` a deux distincts.

On consid` ere l’application ϕ : K 2n+1 [X] → K ²ⁿ⁺² d´ efinie par

∀P ∈ K 2n+1 [X], ϕ(P ) = (P (a ₀ ), P ⁰ (a ₀ ), . . . , P (a _n ), P ⁰ (a _n )) Montrer que ϕ est un isomorphisme de K -espaces vectoriels.

Exercice 9. Soit E un K-espace vectoriel de dimension finie.

On dit qu’une application f : E → K est une forme lin´ eaire sur E si f : (E, +, .) → ( K , +, .) est une application lin´ eaire entre les K -espaces vectoriels E et K.

On dit qu’un sous-espace vectoriel H de E est un hyperplan si H admet un suppl´ ementaire de dimension 1.

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1. Soit H un sous-espace vectoriel de E. Montrer que H est un hyperplan de E si et seulement si il existe a ∈ E, a 6= 0 _E tel que

E = H ⊕ K a avec K a = {λa | λ ∈ K }.

2. Montrer que si f est une forme lin´ eaire sur E, alors soit Ker f est ´ egal

`

a E, soit Ker f est un hyperplan de E.

3. R´ eciproquement, montrer que tout hyperplan H de E est le noyau d’une forme lin´ eaire de E, c’est-` a-dire il existe une forme lin´ eaire f de E tel que H = Ker f .

4. Soit f et g deux formes lin´ eaires de E. Montrer que Ker f ⊂ Ker g si et seulement si il existe λ ∈ K tel que g = λf .

Exercice 10. Soit E un K -espace vectoriel de dimension 3 et u un endo- morphisme de E tel que u ◦ u = 0 _L(E) .

Montrer qu’il existe une forme lin´ eaire f de E et a un vecteur de E tels que

∀x ∈ E, u(x) = f (x)a

Exercice 11. Soit E un K -espace vectoriel de dimension finie n.

On appelle dual de E, l’ensemble des formes lin´ eaires sur E. On le note E ^∗ . 1. Montrer que E ^∗ est un K -espace vectoriel.

2. Soit (e ₁ , . . . , e _n ) une base de E. Montrer qu’il existe n formes lin´ eaires de E e ^∗ ₁ , . . . , e ^∗ _n tels que

∀i, j ∈ {1, . . . , n}, e ^∗ _i (e j ) = δ ij

avec δ _ij = 1 si i = j, 0 si i 6= j.

3. Montrer que (e ^∗ ₁ , . . . , e ^∗ _n ) est une base de E ^∗ . 4. En d´ eduire que E et E ^∗ sont isomorphes.

Cependant, cet isomorphisme n’est pas canonique au sens o` u il d´ epend d’un choix pris au d´ epart (ici, la base (e 1 , . . . , e n )).

5. On note E ^∗∗ = (E ^∗ ) ^∗ le dual de E ^∗ qu’on appelle aussi bidual de E.

Montrer que E et E ^∗∗ sont canoniquement isomorphes.

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