1 Produit scalaire sur un espace vectoriel.

(1)

Lycée Pierre de Fermat 2020/2021

MPSI 1 TD

Espaces Préhilbertiens réels Espaces euclidiens

1 Produit scalaire sur un espace vectoriel.

⊲ Exercice 1.1.

SoitE un espace vectoriel de dimension finien∈N^∗. Soitϕune forme bilinéaire surE.

Montrer que

ϕest un produit scalaire surE ⇐⇒ ∃(e1, . . . , en) base deE telle que mat(ϕ,(e1, . . . , en)) =In

⊲ Exercice 1.2.

1. Montrer que l’application (A, B)7→Tr(^tA×B) est un produit scalaire surMⁿ(R).

2. Montrer que la norme euclidienne associée est une norme d’algèbre ce qui signifie qu’elle vérifie la propriété :

∀(A, B)∈ Mⁿ(R)², kA×Bk6kAk × kBk . 3. Montrer que∀A∈ Mⁿ(R),|Tr(A)|6√

nkAk.

⊲ Exercice 1.3.

Les formes bilinéaires suivantes sur R³ exprimées dans la base canonique sont-elles des produits scalaires ? (plus généralement, sont-elles définies et/ou positives ?)

1. ϕ1: ((x1, x2, x3),(x^′₁, x^′₂, x^′₃))7→x1x^′₁−x1x^′₂−x^′₁x2+x2x^′₂−x3x^′₃, 2. ϕ2: ((x1, x2, x3),(x^′₁, x^′₂, x^′₃))7→ −x1x^′₂−x^′₁x2+x2x^′₂−x3x^′₃, 3. ϕ3: ((x1, x2, x3),(x^′₁, x^′₂, x^′₃))7→2x1x^′₁−2x1x^′₂−2x^′₁x2+ 3x2x^′₂,

4. ϕ4: ((x1, x2, x3),(x^′₁, x^′₂, x^′₃))7→x1x^′₁−x1x^′₂−x^′₁x2+ 3x2x^′₂−x3x^′₁−x^′₃x1+ 2x3x^′₃. 5. ϕ5: ((x1, x2, x3),(x^′₁, x^′₂, x^′₃))7→x1x^′₁−2x1x^′₂−2x^′₁x2+x2x^′₂+x3x^′₃.

⊲ Exercice1.4. SoitM ∈ Mn(R). Montrer que l’application (X, Y)7→ ^tX×^tM×M×Y est un produit scalaire surM^n,1(R) si et seulement siM ∈ GLn(R).

⊲ Exercice 1.5. Autre preuve de l’inégalité de Cauchy-Schwarz.

Soit (E,h·|·i) un espace préhilbertien réel.

Soient (x, y)∈E²tels que x6= 0E ety6= 0E. Posonsδ=

x kxk− y

kyk

1. En développant l’expressionδ², donner une nouvelle preuve de l’inégalité de Cauchy-Schwarz.

2. Retrouver la caractérisation du cas d’égalité.

⊲ Exercice 1.6. Inégalité de Cauchy-Schwarz. Soient (x1, . . . , xn)∈R^∗₊ⁿ tels que x1+. . .+xn= 1. Montrer que

Xn i=1

1 xi

>n². Étudier les cas d’égalité.

⊲ Exercice1.7. [difficile]Une norme est euclidienne si et seulement si elle vérifie l’identité du parallé- logramme.

Soit (E,k · k) un espace vectoriel normé. Montrer que, si la normek · ksatisfait l’identité du parallélogramme, alors elle est induite par un produit scalaire surE.

2 Orthogonalité dans un espace préhilbertien réel.

⊲ Exercice 2.1. Géométrie dans(R²,h·|·ican)

Soient (A, B) deux points distincts du plan etM un point de la droite (AB).

1. Montrer queM ∈[A, B] ⇐⇒ −−→M A·−−→M B60.

2. Montrer queM ∈(A, B)\]A, B[⇐⇒ −−→M A·−−→M B>0.

(2)

⊲ Exercice2.2. Considérons l’espace vectoriel réelC2π⁰ (R,R) muni du produit scalaire< f|g >= 1 2π

Z 2π 0

f(u)g(u)du.

Montrer que les fonctions

sk R → R

t 7→ sin(kt)

k∈N^∗

∪

ck R → R

t 7→ cos(kt) k∈N

forment une famille orthogonale. En déduire une famille orthonormale de (C2π⁰ (R,R),h·|·i).

⊲ Exercice 2.3. Montrer que deux vecteurs x et y d’un espace préhilbertien (E,h·|·i) sont orthogonaux si et seulement si∀λ∈R,kx+λyk>kxk.

⊲ Exercice 2.4. SoientF etGdeux sous-espaces vectoriels d’un espace préhilbertien réel (E,h·|·i).

1. Montrer queF ⊂G⇒G^⊥⊂F^⊥. 2. Montrer que (F+G)^⊥=F^⊥∩G^⊥.

3. Montrer que F^⊥+G^⊥ ⊂(F ∩G)^⊥. Conclure que, si l’espace est euclidien, (F ∩G)^⊥ = F^⊥+G^⊥. Cette égalité reste-t-elle vraie si l’espace est de dimension infinie ? on pourra considérer l’espace préhilbertien (C⁰([0,1],R),h·|·i) où< f|g >=Z 1

0

f(u)g(u)duet les sous-espaces vectorielsF ={f ∈ C⁰([0,1],R)| ∃(a, b)∈ R² : ∀x∈[0,1], f(x) =ax+b} etG={g∈ C⁰([0,1],R)|g(0) = 0}.

⊲ Exercice 2.5. A-t-on pour toute partieA de E, A^⊥={0E} ⇒VectA=E?

1. SoientE un espace euclidien de dimension finie etAune partie non vide deEtelle queA^⊥={0E}. Montrer que VectA=E.

2. Notons ℓ²(N) ={u∈R^N | X

n>0

u²_n converge}. Pour tout (u, v)∈ℓ²(N), posons< u|v >=

+∞X

n=0

unvn. Posons, pour touti∈N,γⁱ= (δi,n)n∈NetA={γⁱ| i∈N}.

(a) Montrer queℓ²(N) est un espace vectoriel.

(b) Montrer queh·|·imunitℓ²(N) d’une structure d’espace préhilbertien réel.

(c) Montrer que VectA6=ℓ²(N).

(d) Déterminer A^⊥ et répondre à la question posée en titre.

⊲ Exercice 2.6. Considérons le R-espace vectoriel Rn[X] et l’application Φ qui à (P, Q) ∈ Rn[X]² associe Xn

i=0

P(i)Q(i).

1. Montrer que (Rn[X],Φ) est un espace vectoriel euclidien.

2. Orthonormaliser la famille libre{1, X}pour ce produit scalaire.

3. Déterminer l’orthogonal deH(X) = Yn i=1

(X−i).

4. Déterminer une famille de (n+ 1) vecteurs{Li}_i∈[[0,n]] deRn[X] tels que

∀(i, j)∈[[0, n]]², Li(j) =δi,j. 5. En déduire une BON de (R_n[X],Φ).

⊲ Exercice 2.7. Considérons le R-espace vectoriel Rn[X] et l’application Φ qui à (P, Q) ∈ Rn[X]² associe 1

2 Z 1

−1

P(u)Q(u)du.

1. Montrer que (Rn[X],Φ) est un espace vectoriel euclidien.

2. Notons (P0, P1, . . . , Pn) la base obtenue en orthonormalisant la base canonique deRn[X]. Posons, pour tout k∈ {0,1, . . . , n},Lk = 1

√2k+ 1Pk. CalculerL0,L1,L2et L3 (L0(X) = 1,L1(X) =X,L2(X) = 3 2X²−1

2, L3(X) =5

2X³−3 2X).

3. Prouver que, pour toutn∈N,Ln possèdenracines réelles distinctes qui sont dans l’intervalle ]−1,1[.

⊲ Exercice 2.8. Le théorème de Riesz tombe en défaut en dimension infinie.

Considérons sur l’espace préhilbertien réel (C⁰([0,1],R),h·|·i) où< f|g >=

Z 1 0

f(u)g(u)dula fome linéaire ϕ

C⁰([0,1],R) → R

f 7→ f(1)

Supposons qu’il existehϕ∈ C⁰([0,1],R) :∀f ∈ C⁰([0,1],R),ϕ(f) =< h_ϕ|f >.

En considérant la suite de fonctions (fn)n∈N définies pour tout n ∈Npar fn :u7→uⁿ, montrer que l’on obtient une contradiction.

(3)

3 Distance à un sous-espace vectoriel, projeté orthogonal.

⊲ Exercice 3.1. Problème de minimisation.

CalculerA= inf 1

4 Z 1

0

(x²−ax−b)²dx|(a, b)∈R²

.

On introduira un espace euclidien (c’est à dire unR-espace vectoriel et un produit scalaire sur cet espace vectoriel) judicieusement choisi afin de formaliser la question posée en des termes de distance d’un vecteur à un sous-espace vectoriel.

On montrera que cet infimum est un minimum, qu’il vaut 1

720 et qu’il existe un unique couple (a, b)∈R² en lequel il est atteint, à savoir (1,−1

6).

⊲ Exercice 3.2.

ConsidéronsM²(R) muni du produit scalaireh·|·irendant orthonormal la base canonique.

SoientV = a a+b

b b

(a, b)∈R²

etJ = 1 1

1 1

. 1. Justifier que l’énoncé est cohérent. Expliciter a b

c d

a^′ b^′ c^′ d^′

. 2. Calculer d(J, V) et déterminer l’ensemble des couples (a, b)∈R² tels que

J−

a a+b

b b

=d(J, V).

⊲ Exercice 3.3. Distance à un hyperplan affine.

ConsidéronsM²(R) muni du produit scalaireh·|·irendant orthonormal la base canonique (voir exercice précédent pour l’interprétation de cette phrase).

Pour toutλ∈R, on noteH^λ l’hyperplan affine{M ∈ Mⁿ(R)| Tr(M) =λ}.

1. Donner une équation de H^λ dans la base canonique deM²(R). En déduire un vecteur normal àH^λ. 2. Exprimer, pour toute matriceM =

a b c d

∈ M²(R), d(M,H^λ).

⊲ Exercice 3.4. Distance à un hyperplan affine.

Dans l’espace euclidien canoniqueR⁴, quelle est la distance du vecteur u= (x0, y0, z0, t0) à l’hyperplan affineH d’équationx−y+ 2z+ 3t= 2 dans la base canonique.

⊲ Exercice 3.5. Inégalité de Hadamard

Soit (E,h·|·i) un espace vectoriel euclidien de dimensionn. ConsidéronsB={e1, e2, . . . , en}une BON deE. Soient L= (x1, x2, . . . , xn)∈Eⁿ. Le but de l’exercice est de prouver que

|detB(x1, x2, . . . , xn)|6 Yn i=1

kxik.

1. Montrer que le résultat est trivial siLest une famille liée. Dans la suite on supposera qu’il s’agit d’une famille libre et on notera L^′ la famille issue de l’orthonormalisation de L selon le procédé de Schmidt vis-à-vis du produit scalaire euclidien usuel de Rⁿ.

2. Montrer que detBL=detBL^′ detLL^′

3. Montrer que|detBL^′|= 1 (on pourra utiliser que det(A)²= det(A^tA)).

4. En minorant les éléments diagonaux de la matrice de passage deL àL^′, minorer detLL^′. 5. Conclure que

|detB(x1, x2, . . . , xn)|6 Yn i=1

kxik.

6. En déduire que, siA∈ Mⁿ(R) vérifie la propriété :∃c∈R+:∀(i, j)∈[[1, n]]², |ai,j|6c, alors

|det(A)|6cⁿnⁿ².

Comparer cette majoration à une majoration établie dans le chapitre sur les déterminants, sous les mêmes hypothèses.

4 Endomorphismes des espaces préhilbertiens réels et euclidiens.

⊲ Exercice 4.1. Soient (E,h·|·i) un espace préhilbertien réel etf une application deE dansEtelle que∀(x, y)∈ E², < f(x), f(y) >=< x, y >. Montrer que f est linéaire puis qu’elle est injective (et conclure que c’est un automorphisme deE siE est un espace euclidien !).

(4)

4.1 Projections et symétries orthogonales

⊲ Exercice 4.2. ConsidéronsR2[X] muni du produit scalaire Z 1

0

P(u)Q(u)du.

1. Donner la BON obtenue par ortonormalisation de la base canonique (1, X, X²) deR2[X].

2. En déduire l’expression de la projection orthogonale sur Vect{1, X}puis celle de la symétrie orthogonale par rapport à Vect{1, X}.

3. DéterminerH ∈R2[X] tel que∀P ∈R2[X],P(1) = Z 1

0

H(u)P(u)du.

⊲ Exercice 4.3. Déterminer et représenter l’orthogonal deD= Vect 1

2

dansR² pour les trois structures euclidiennes suivantes : la structure canonique dont le produit scalaire est noté<(x1, x2)|(x^′₁, x^′₂)>c=x1x^′₁+x2x^′₂, celle associée au produit scalaire<(x1, x2),(x^′₁, x^′₂)>1=x1x^′₁−2x1x^′₂−2x2x^′₁+ 7x2x^′₂, et celle associée au produit scalaire<(x1, x2),(x^′₁, x^′₂)>2= 2x1x^′₁+ 3x2x^′₂. (les vecteurs ci-dessus sont représentés par leurs coordonnées dans la base canonique deR²).

En déduire les matrices, dans la base canonique deR², des projections orthogonales surD et des symétries orthogonales d’axeD.

⊲ Exercice 4.4. Soit (E,h·|·i) un espace vectoriel euclidien etp∈ L^R(E).

1. Montrer que si pest une projection orthogonale, alorsp²=pet ∀x∈E,kp(x)k6kxk.

2. Donner explicitement une projection vectoriellepdeR²muni de sa structure euclidienne canonique qui n’est pas une projection orthogonale et montrer qu’il existex0∈R²tel que kp(x0)k>kx0k.

3. Montrer que si p²=pet si∀x∈E,kp(x)k6kxk, alorspest une projection orthogonale.

⊲ Exercice 4.5. Soitpune projection vectorielle sur (E,h·|·i), un espace vectoriel euclidien.

1. Montrer que pest une projection orthogonale si et seulement si, pour tout (x, y)∈E², hp(x)|yi=hx|p(y)i (ce qui revient à dire quepest un endomorphisme symétrique deE).

2. Montrer que les conditions suivantes sont équivalentes : (i) pest une projection orthogonale,

(ii) dans toute BON deE, la matrice depest symétrique,

(iii) il existe au moins une BON deE dans laquelle la matrice depest symétrique.

⊲ Exercice 4.6. Dans l’espace vectoriel R⁴ muni de sa structure euclidienne canonique, F est le sous-espace vectoriel d’équation

x1+x2−x3−x4 = 0 x1−x2+x3−x4 = 0 1. Donner une BONB¹ deF.

2. Donner une BONB² deF^⊥ et une équation de F^⊥.

3. Donner, par calcul direct, dans la base canoniqueB^c deR⁴ et dans la BONB¹∪ B² deR⁴, les matricesS0

et S1 de la symétrie orthogonale d’axeF.

4. En utilisant les formules de changement de base, trouver un lien entre les deux matrices précédentes et la matrice de passage P deB^c à (B¹,B²).

5. Reprendre les mêmes questions pour la projection orthogonale surF.

4.2 Endomorphismes symétriques

⊲ Exercice 4.7. Endomorphismes symétriques. Soit u un endomorphisme d’un espace vectoriel euclidien (E,h·|·i). On dit queu est symétrique (resp. antisymétrique) si, pour tout (x, y)∈ E²,< u(x), y >=< x, u(y)>

(resp.< u(x), y >=−< x, u(y)>).

1. Montrer que les propositions suivantes sont équivalentes : (i) u est symétrique (resp. antisymétrique),

(ii) la matrice deudans toute BON deE est symétrique (resp. antisymétrique),

(iii) il existe une base orthonormale deEdans laquelle la matrice deuest symétrique (resp. antisymétrique).

Bonus : on prouvera directement, pour le “plaisir du sport”, que (iii)⇒(ii).

2. Montrer queu∈ L^R(E) est antisymétrique si et seulement si pour toutx∈E,< x, u(x)>= 0.

(5)

⊲ Exercice 4.8. Exemple de réduction explicite d’un endomorphisme symétrique en BON.

Considérons la matriceA=





0 1 1 1 0 1 1 1 0



et l’endomorphismeadeR³dontAest la matrice dans la base canonique BdeR³.

1. Déteminer les valeurs propres deA, c’est à dire les réelsλtel que rg(A−λ.I3)<3 (⇐⇒ Ker(A−λ.I3)6={0R³} en notant de la même façon une matrice et l’application linéaire canoniquement associée).

2. Déterminer les sous-espaces propres associés aux valeurs propres−1 et 2 deA.

3. Montrer qu’ils sont supplémentaires orthogonaux dansR³.

4. Montrer que l’on peut choisir une BONB^′deR³(vis-à-vis de la structure euclidienne canonique deR³) dans laquelle la matrice D de l’endomorphismeaest diagonale. RelierD àA par l’intermédiaire de la matriceP de passage de BàB^′.

⊲ Exercice 4.9. Réduction théorique générale d’un endomorphisme symétrique en BON.

1. Soitsun endomorphisme symétrique d’un espace vectoriel euclidien E. Montrer que, siF est un sous-espace vectoriel deE stable pars, alorsF^⊥ est aussi stable pars. Interpréter matriciellement cette propriété (trés intéressant).

2. (Délicat) En admettant que toute matrice symétrique réelle admet au moins une valeur propre réelle (c’est à dire un réelλtel que rg(A−λ.In)< n), montrer, par récurrence surn∈N^∗\{1}que toute matrice symétrique réelle est semblable à une matrice diagonale réelle avec une matrice de changement de base orthogonale.

5 L’indispensable : complétez, démontrez ou infirmez les assertions suivantes.

⊲ Exercice 5.1.

1. Le seul vecteur orthogonal à tout autre vecteur d’un espace préhilbertien réel est le vecteur nul.

2. La matrice d’un produit scalaire est la même dans toute BON pour ce produit scalaire.

3. Donner deux BON différentes deR2[X] muni du produit scalaire (P, Q)7→ 1 2

Z 1

−1

P(u)Q(u)du.

4. Déduire, de la question précédente, les quantités inf Z 1

−1

(u²−au−b)²du

(a, b)∈R²

puis inf Z 1

−1

(P(u)−au²−b)²du

(a, b)∈R²

siP(u) = 2u²−3u+ 1. On précisera, s’il s’agit de plus petits éléments, pour quelles valeurs de (a, b) ils sont atteints.

5. Toute forme linéaire sur un espace vectoriel euclidien peut s’interpréter comme le produit scalaire avec un vecteur fixé. Illustrer le phénomène pour ϕ : P 7→ P^′(1) dans R2[X] muni du produit scalaire (P, Q) 7→

1 2

Z 1

−1

P(u)Q(u)du. On effectuera le calcul du vecteur servant à représenterϕde deux manière différentes.

6. Toute famille libre d’un espace vectoriel euclidien peut être complétée en une BON de l’espace.

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Correction des exercices

⊲ Corrigé de l’exercice 1.1

• Supposons queϕest un produit scalaire surE.

D’après le théorème d’existence d’au moins une BON dans tout espace euclidien, il existe (e1, . . . , en) BON deE.

Par conséquent,∀(i, j)∈[[1, n]]²,ϕ(ei, ej) =δi,j donc mat(ϕ,(e1, . . . , en)) =In.

• Supposons qu’il existe (e1, . . . , en) base de Etelle que mat(ϕ,(e1, . . . , en)) =In.

⋆ Par hypothèse,ϕest une forme bilinéaire.

⋆ Il existe une base dans laquelle la matrice deϕest symétrique doncϕest symétrique.

⋆ Pour toutx∈E², en notant (x_i)16i6n ses coordonnées dans la base (e1, . . . , en), ϕ(x, x) =

Xn i=1

Xn j=1

xixjϕ(ei, ej)

| {z }

=δi,j

= Xn i=1

x²_i >0

doncϕest positive.

⋆ Soitx∈E² fixé quelconque tel queϕ(x, x) = 0.

En notant (x_i)16i6n ses coordonnées dans la base (e1, . . . , en) et en reprenant le calcul effectué lors de l’étude de la positivité,

0 =ϕ(x, x) = Xn

i=1

x²_i donc∀i∈[[1, n]],x²_i = 0 d’où∀i∈[[1, n]],xi= 0 si bien que x= 0E. Par conséquent,ϕest définie positive.

Ainsiϕest un produit scalaire surE.

⊲ Corrigé de l’exercice 1.2 1. Considérons l’application Φ

Mn(R)× Mn(R) −→ R (A, B) 7→ Tr(^tA×B) .

• L’image de Φ est incluse dans le corps de base deMⁿ(R).

• Φ est symétrique.

Soient (A, B)∈ Mⁿ(R)² fixées quelconques. En utilisant que la trace d’une matrice est égale à celle de sa transposée,

Φ(A, B) = Tr(^tA×B) = Tr(^t(^tB×A)) = Tr(^tB×A) = Φ(B, A)

• Φ est une forme bilinéaire.

Soient (A, A^′, B)∈ Mⁿ(R)³et (α, α^′)∈R²fixés quelconques. En utilisant la linéarité de la transposition, du produit matriciel parB et la linéarité de la trace,

Φ(α.A+α^′.A^′, B) = Tr(^t(αA+α^′.A^′)×B)

= Tr((α.^tA+α^′.^tA^′)×B)

= Tr(α.^tA×B+α^′.^tA^′×B)

= α×Tr(^tA×B) +α^′×Tr(^tA^′×B)

= αΦ(A, B) +α^′Φ(A^′, B)

d’où la linéarité de Φ en sa première variable. On peut alors conclure à la bilinéarité de Φ puisqu’elle est symétrique.

• Φ est positive.

SoitA∈ Mⁿ(R) fixée quelconque.

Φ(A, A) = Tr(^tA×A) = Xn i=1

[^tA×A]i,i= Xn i=1

Xn k=1

[^tA]i,k×Ak,i= Xn i=1

Xn k=1

Ak,i×Ak,i= X

i=1...n k=1...n

A²_k,i>0.

• Φ est définie.

SoitA∈ Mⁿ(R) fixée quelconque tel que Φ(A, A) = 0.

Alors X

i=1...n k=1...n

A²_k,i= 0 donc∀(i, k)∈[[1, n]]²,Ai,k = 0 doncA= 0_M_n₍R). Ainsi Φ est un produit scalaire sur Mⁿ(R).

2. Soient (A, B)∈ Mⁿ(R)² fixées quelconques.

Commençons par observer que

kAk²= Tr(^tA×A) = Xn i=1

(^tA×A)i,i= Xn i=1

Xn k=1

A²_k,i

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si bien que kAk² est la somme des carrés des coefficients deA. Il en est de même pourA×B si bien que kA×Bk²=

Xn i=1

Xn k=1

(AB)²_k,i .

Or, pour tout (k, i)∈[[1, n]]², en appliquant l’inégalité de Cauchy-Schwarz dans l’espace euclidien usuelRⁿ, (AB)²_k,i =

Xn p=1

Ak,pBp,i

!2

6 Xn p=1

A²_k,p

! _n X

p=1

B²_p,i

!

Par conséquent,

kA×Bk² 6 Xn i=1

Xn k=1

" _n X

p=1

A²_k,p

! _n X

p=1

B²_p,i

!#!

= Xn i=1

_n X

p=1

B_p,i²

! _n X

k=1

Xn p=1

A²_k,p

!!

= Xn i=1

_n X

p=1

B_p,i²

! kAk²)

!

= kAk² Xn

i=1

Xn p=1

B²_p,i

!

= kAk²× kBk² 3. SoitA∈ Mⁿ(R) fixée quelconque.

|Tr(A)| =

Xn i=1

Ai,i

6

Xn i=1

1×Ai,i

6

vu ut

Xn i=1

1²× vu ut

Xn i=1

A²_i,i en appliquant l’inégalité de Cauchy-Schwarz dans (Rⁿ,h·|·ican)

6 √

n× vu ut

Xn i=1

Xn j=1

A²_i,j

6 √n× kAk

⊲ Corrigé de l’exercice 1.3 On vérifie aisément que les applications proposées sont des formes bilinéaires symétriques surR³. Pour savoir s’il s’agit ou non de produit scalaire, il faut déterminer si elles sont définies positives ou non.

Afin d’étudier la positivité et le carctère défini des formes bilinéaires en question, nous allons mettre l’expression ϕ(x, x) sous la forme d’une somme de carrés en itérant un algorithme proche de la mise sous forme canonique d’un trinôme du second degré avec en plus la volonté de confiner définitivement une inconnue supplémentaire dans chaque nouveau carré.

1.

ϕ1((x1, x2, x3),(x1, x2, x3)) = x²₁−2x1x2+x²₂−x²₃

= (x1−x2)²−x²₃

donc ϕ1((1,1,0),(1,1,0)) = 0 donc ϕ1 n’est pas définie donc ce n’est pas un produit scalaire. De plus, ϕ1((0,0,1),(0,0,1)) =−1 donc ϕ1 n’est pas positive.

2.

ϕ2((x1, x2, x3),(x1, x2, x3)) = −2x1x2+x²₂−x²₃

= (x2−x1)²−x²₁−x²₃

donc ϕ2((1,2,0),(1,2,0)) = 0 donc ϕ2 n’est pas définie donc ce n’est pas un produit scalaire. De plus, ϕ2((0,0,1),(0,0,1)) =−1 donc ϕ2 n’est pas positive.

(8)

3.

ϕ3((x1, x2, x3),(x1, x2, x3)) = 2x²₁−4x1x2+ 3x²₂

= 2(x1−x2)²+x²₂

donc ϕ3((0,0,2),(0,0,2)) = 0 doncϕ3 n’est pas définie donc ce n’est pas un produit scalaire. En revanche, ϕ3 est positive.

4.

ϕ4((x1, x2, x3),(x1, x2, x3)) = x²₁−2x1x2+ 3x²₂−2x3x1+ 2x²₃

= x²₁−2x1(x2+x3) + (x2+x3)²−(x2+x3)²+ 3x²₂+ 2x²₃

= (x1−x2−x3)²+ 2x²₂−2x2x3+x²₃

= (x1−x2−x3)²+ 2

x²₂−2×x2

1

2x3+x²₃ 4

+1

2x²₃

= (x1−x2−x3)²+ 2

x2−1 2x3

2

+1 2x²₃

doncϕ4est positive et définie (résoudre le système triangulaire issu de la conditionϕ4((x1, x2, x3),(x1, x2, x3)) = 0) donc c’est un produit scalaire.

5.

ϕ5((x1, x2, x3),(x1, x2, x3)) = x²₁−4x1x2+x²₂+x²₃

= (x1−2x2)²−3x²₂+x²₃ donc ϕ5((2,1,√

3),(1,1,√

3)) = 0 donc ϕ5 n’est pas définie donc ce n’est pas un produit scalaire. De plus, ϕ5((9,10,0),(9,10,0)) =−1 doncϕ5 n’est pas positive.

Ce dernier exemple illustre le fait que la stricte positivité des coefficients diagonaux de la matrice associée à la forme bilinéaire symétrique ne garantit pas la positivité de la forme bilinéaire (en revanche, si la forme bilinéaire est symétrique, alors les coefficients diagonaux de toute matrice représentant la forme bilinéaire symétrique sont positifs ou nuls).

SoitM ∈ Mⁿ(R) fixée. Considérons l’application Φ

M^n,1(R)× M^n,1(R) −→ R

(X, Y) 7→ ^tX×^tM×M ×Y .

• L’image de Φ est incluse dans le corps de base deM^n,1(R).

• Soient (X, Y)∈ M^n,1(R)² fixés quelconques. En observant que pour tout (U, V)∈ M^n,1(R)², ^tU V =^tV U, Φ(X, Y) =^tX×^tM ×M×Y =^t(M X)×(M Y) =^t(M Y)×(M X) =^tY ×^tM×M ×X= Φ(Y, X) donc Φ est symétrique.

• De plus, par linéarité du produit matriciel, Φ est linéaire en sa seconde variable, d’où la bilinéarité de Φ par propriété de symétrie. Enfin, Φ est à valeurs dansRdonc c’est une forme bilinéaire surM^n,1(R).

• Pour toutX ∈ M^n,1(R),

φ(X, X) =^tX×^tM×M ×X=^t(M X)×(M X) = Xn i=1

(M X)²_i >0 donc Φ est positive.

Ainsi, pour touteM ∈ Mⁿ(R), Φ est une forme bilinéaire positive.

• Supposons queM ∈ GLⁿ(R). SoitX∈ M^n,1(R) fixé quelconque tel queφ(X, X) = 0. Alors Xn i=1

(M X)²_i = 0 donc pour tout i∈[[1, n]], (M X)i = 0 donc M X = 0_M_1,n₍R) donc, en multipliant parM⁻¹,X = 0_M_1,n₍R). Par conséquent, Φ est définie donc c’est un produit scalaire.

• Suposons queM /∈ GLⁿ(R). Alors il existeX0∈ M^1,n(R)\{0M_1,n(R)}tel queM X0= 0M_1,n(R)(X0est choisi dans le noyau de l’endomorphisme canoniquement associé àM). Alors,φ(X0, X0) = ^t(M X0)×(M X0) = 0 donc Φ n’est pas définie donc ce n’est pas un produit scalaire.

Ainsi, Φ est un produit scalaire surM^n,1(R) si et seulement siM ∈ GLⁿ(R).

(9)

1.

δ² =

x kxk − y

kyk

2

= x

kxk − y kyk| x

kxk − y kyk

=

x kxk

2

+

y kyk

2

− 2hx|yi kxkkyk

= kxk²

kxk²+kyk²

kyk² − 2hx|yi kxkkyk

= 2− 2hx|yi kxkkyk

= 2 (kxkkyk − hx|yi)

kxkkyk (1)

La positivité du carré donne

kxkkyk − hx|yi>0 donc

hx|yi6kxkkyk En appliquant l’inégalité obtenue ci-dessus pour x← −x,

− hx|yi6kxkkyk si bien que

| hx|yi |6kxkkyk

Nous venons de prouver l’inégalité de Cauchy-Schwarz pour tout (x, y)∈(E\ {0E})².

Par ailleurs, l’inégalité de Cauchy-Schwarz est immédiate (les deux membres sont nuls) si l’un au moins des deux vecteurs (x, y) est le vecteur nul.

2. • Comme dans la preuve du cours, sixety sont liés, alors| hx|yi |=kxkkyk.

• Réciproque supposons que (x, y)∈E² vérifient| hx|yi |=kxkkyk.

⋆ Si x= 0_E ouy= 0_E, alors (x, y) est une famille liée.

⋆ Sinon,x6= 0_E ety6= 0_E.

⋆⋆ Si< x|y >>0, alors l’hypothèse devient

hx|yi=kxkkyk

donckxkkyk − hx|yi= 0 si bien qu’en reprenant l’égalité (1), on en déduit que

x kxk − y

kyk

2

= 0 donc x

kxk − y

kyk = 0E si bien que (x, y) est une famille liée.

⋆⋆ Sinon,< x|y ><0, alors<−x|y >>0 or| hx|yi |=kxkkykimplique| h−x|yi |=k −xkkyk. donc le point précédent s’applique pourx← −xety ←y si bien que (−x, y) est une famille liée donc (x, y) est une famille liée.

Soient (x1, . . . , xn)∈R^∗₊ⁿ fixés quelconques tels quex1+. . .+xn = 1. Appliquons l’inégalité de Cauchy-Schwarz

(10)

dans l’espace euclidien (Rⁿ,h·|·i) usuel :

n =

Xn i=1

1

= Xn i=1

√xi× 1

√xi

=

*



√x1

...

√xn











√1x1

...

√1xn





 +

6

*



√x1

...

√xn











√1x1

...

√1xn





 +

car∀a∈R,a6|a|

6





√x1

...

√xn





×







√1x1

...

√1xn







d’après l’inégalité de Cauchy-Schwarz

6 vu ut

Xn i=1

√xi 2×

vu ut

Xn i=1

√1xi2

= vu ut

Xn i=1

1 xi

car Xn

i=1

xi= 1.

On en déduit que Xn i=1

1 xi

>n².

Quant au cas d’égalité, il se produit si et seulement si

*



√x1

...

√xn











√1x1

...

√1xn





 +

=

*



√x1

...

√xn











√1x1

...

√1xn





 +

=





√x1

...

√xn





×







√1x1

...

√1xn







ce qui correspond, en notantu=





√x1

...

√xn



etv=







√1x1

...

√1xn







, aux égalités :

< u|v >=

A |< u|v >|=

B kuk × kvk

L’égalité “B” correspond au cas d’égalité de l’inégalité de Cauchy-Schwarz et est donc réalisée si et seulement siu etv sont colinéaires. Sachant queuet v sont colinéaires, l’égalité “A” est réalisée si et seulement si< u|v >>0 à savoir si et seulement siuet vsont positivement liés (=de même sens). Ainsi, il y a égalité si et seulement siuetv sont positivement liés, si et seulement s’il existeα∈R^∗₊ tel que

∀i∈[[1, n]], xi= α xi

(on peut ici toujours se ramener au cas u =αv car v 6= 0Rn) si bien que∀i ∈ [[1, n]], x²_i = α, or par hypothèse (x1, . . . , xn)∈R^∗₊ⁿ donc (x1, . . . , xn) vaut√α(1,1, . . . ,1) orx1+. . .+xn = 1 d’où (x1, . . . , xn) = 1

n(1,1, . . . ,1).

Ainsi, il y a égalité si et seulement s’il s’agit du vecteur 1

n(1,1, . . . ,1).

(11)

NotonsO l’origine du repère euclidien (O,−→i ,−→j) et−→u le vecteur−−→AB.

Le point mobileM(t) défini par−−−−→OM(t) =−→OA+t−→u décrit la droite affine (AB) lorsquetparcourtR.

De plus,

1. M(t)∈[A, B] ⇐⇒ t∈[0,1],

2. M(t)∈(A, B)\]A, B[⇐⇒ t∈R\]0,1[.

Calculons

−−−−→

M(t)A·−−−−→

M(t)B = −−−−→

M(t)O+−→OA

·−−−−→

M(t)O+−−→OB

= (−t−→u)·





−t−→u−−→OA+−−→OB

| {z }

=−−→AB=−→u







= −t(1−t).−→u · −→u

= t(t−1).k−→uk² Par hypothèse,A6=B donc−→u 6=−→0 donck−→uk²>0 si bien que

1. M(t)∈[A, B] ⇐⇒ t∈[0,1] ⇐⇒ −−−−→M(t)A·−−−−→M(t)B60,

2. M(t)∈(A, B)\]A, B[⇐⇒ t∈R\]0,1[⇐⇒ −−−−→M(t)A·−−−−→M(t)B>0.

— Soient (k, l)∈N^∗×N.

< sk|cl> = 1 2π

Z 2π 0

sin(ku) cos(lu)du

= 1

2π Z 2π

0

1

2(sin((k+l)u) + sin((k−l)u)) du

= 1

4π Z 2π

0

sin((k+l)u)du+ 1 4π

Z 2π 0

sin((k−l)u)du

= 0

car il s’agit de la demi somme d’intégrales de deux fonctions périodiques de valeurs myennes nulles sur un multiple entier de leur période.

— Soient (k, l)∈(N)².

< ck|cl> = 1 2π

Z 2π 0

cos(ku) cos(lu)du

= 1

2π Z 2π

0

1

2(cos((k+l)u) + cos((k−l)u)) du

= 1

4π Z 2π

0

cos((k+l)u)du+ 1 4π

Z 2π 0

cos((k−l)u)du

= 1

4π×

2π sik=l= 0,

0 sinon, + 1

4π×

2π sik=l, 0 sinon.

=







1 sik=l= 0, 1

2 sik=l >0, 0 sik6=l.

(12)

— Soient (k, l)∈(N^∗)².

< sk|sl> = 1 2π

Z 2π 0

sin(ku) sin(lu)du

= 1

2π Z 2π

0

1

2(cos((k−l)u)−cos((k+l)u)) du

= 1

4π Z 2π

0

cos((k−l)u)du+ 1 4π

Z 2π 0

cos((k+l)u)du

= 1

4π×

2π sik=l,

0 sinon, + 1

4π×0

= ( 1

2 sik=l, 0 sinon.

Ainsi,n√

2sk |k∈N^∗o

∪ {c0} ∪n√

2ck |k∈N^∗o

est une famille orthonormale de C2π⁰ (R,R),h·|·i .

• Supposons quexet y soient deux vecteurs deE orthogonaux. Alors, pour toutλ∈R, kx+λyk²=kxk²+ 2λ < x|y >+λ²kyk²=kxk²+λ²kyk²>kxk² donckx+λyk>kxk.

• Soient (x, y)∈E² tels que∀λ∈R,kx+λyk>kxk. Élevons au carré cette inégalité, développons le membre de gauche et simplifions parkxk²:

∀λ∈R, kx+λyk²>kxk²

⇐⇒ ∀λ∈R, 2λ < x|y >+λ²kyk²>0 . Proposons maintenant trois façons de conclure :

— Méthode 1. Utiliser la résolution des équations du second degré. Le polynôme 2λ < x|y >

+λ²kyk² ∈ R[λ] est positif sur R donc s’il est de degré 2 ( ⇐⇒ kyk 6= 0), son discriminant (qui vaut 4< x|y >²) est négatif ou nul d’où< x|y >= 0, et s’il n’est pas de degré 2, alorskyk= 0 d’oùy = 0_E d’où< x|y >= 0.

— Méthode 2. Méthode variationnelle.En divisant parλlorsqueλ∈R^∗₊, on obtient :

∀λ∈R, 2< x|y >+λkyk²>0

d’où, en passant à la limite pourλtendant vers 0 par valeurs positives (ce qui est possible car les deux membres de l’inégalité ont une limite lorsqueλ→0⁺),< x|y >>0.

En divisant parλlorsqueλ∈R^∗₋, on obtient :

∀λ∈R, 2< x|y >+λkyk²60

d’où en passant à la limite pourλtendant vers 0 par valeurs négatives (ce qui est possible car les deux membres de l’inégalité ont une limite lorsqueλ→0⁻),< x|y >60.

— Méthode 3. Méthode analytique. La fonction fx,y : λ7→2λ < x|y >+λ²kyk² admet un minimum global en λ = 0 (car elle est positive ou nulle sur R et nulle pour λ = 0), or elle est polynomiale donc dérivable sur R, donc en λ = 0 qui est un minimum global donc f_x,y^′ (0) = 0. Par conséquent,

< x|y >= 1

2f_x,y^′ (0) = 0.

— Méthode 4. Méthode géométrico-analytique. Si y = 0_E, < x|y >= 0. Sinon, y 6= 0_E, donc la fonction fx,y : λ 7→ 2λ < x|y > +λ²kyk² est un trinôme du second degré dont les racines sont 0 et

−2< x|y >

kyk² , or son coefficient dominant est>0 donc elle admet un minimum en 1 2

0−2< x|y >

kyk²

=

−< x|y >

kyk² (abscisse du sommet = milieu des racines) et ce minimum est>0 car la fonction doit être>0 surRdonc

f

−< x|y >

kyk²

>0 d’où, en calculantf

−< x|y >

kyk²

,

−< x|y >² kyk² >0 donc< x|y >= 0.

(13)

— Méthode 5. Interpréter l’hypothèse comme une information sur la distance d’un vecteur à un sous-espace vectoriel.

En effet, on sait qued(x,Vect{y}) = inf{kx−zk |z∈Vect{y}}= inf{kx+λ.yk |λ∈R}donc l’hypothèse de l’exercice qui est

∀λ∈R, kx+λ.yk>kxk

impliqued(x,Vect{y})>kxk orkxk ∈ {kx+λ.yk |λ∈R}(pourλ= 0) donc d(x,Vect{y}) =kxk=kx−0k

Par ailleurs, la caractérisation de la distance d’un vecteur à un sous-espace vectoriel établit que la borne inférieure inf{kx−zk |z ∈Vect{y}}est un plus petit élément atteint pour une unique valeur de z qui estz=p^⊥_Vect{y}(x), or

kx− 0

|{z}

∈Vect{y}

k=d(x,Vect{y}) =kx−p^⊥_Vect{y}(x)k

donc, par unicité,p^⊥_Vect{y}(x) = 0E. De plus, Vect{y}⊕^⊥Vect{y}^⊥=E donc x=p^⊥_Vect{y}(x)

| {z }

= 0_E

+p^⊥_Vect{y}⊥(x) =p^⊥_Vect{y}⊥(x)∈Vect{y}^⊥

si bien quex⊥y.

Par conséquent,< x|y >= 0 doncxety sont orthogonaux.

⊲ Corrigé de l’exercice 2.4 1. Supposons queF ⊂G.

Soitx∈G^⊥ fixé quelconque.

Soitz∈F fixé quelconque. Alorsz∈G(carF ⊂G), orx∈G^⊥ donc< x|z >= 0 doncx⊥z.

Par conséquent,x∈F^⊥ d’oùG^⊥⊂F^⊥. Ainsi,F ⊂G⇒G^⊥⊂F^⊥.

2. ⋆ Soitx∈F^⊥∩G^⊥ fixé quelconque.

Soitz∈F +Gfixé quelconque. Alors∃(zF, zG)∈F×Get

< x|z >=< x|zF+zG>=< x|zF >+< x|zG>= 0 + 0 = 0 doncx∈(F+G)^⊥.

Par conséquent,F^⊥∩G^⊥⊂(F +G)^⊥.

⋆ F ⊂(F+G) (resp.G⊂(F+G)) donc, d’après la question précédente, (F+G)^⊥ ⊂F^⊥(resp. (F+G)^⊥⊂ G^⊥. Par conséquent (F+G)^⊥⊂F^⊥∩G^⊥.

Ainsi, (F+G)^⊥=F^⊥∩G^⊥.

3. ⋆ F∩G⊂F (resp.F∩G⊂G) donc, d’après la première question,F^⊥⊂(F∩G)^⊥ (resp.G^⊥⊂(F∩G)^⊥).

Soit x ∈ F^⊥ +G^⊥ fixé quelconque. Il existe (xF, xg) ∈ F^⊥×G^⊥ tels que x = xF +xG. D’après les inclusionsF^⊥⊂(F∩G)^⊥ etG^⊥⊂(F∩G)^⊥,xF et xG appartiennent au sous-espace vectoriel (F∩G)^⊥ doncx∈(F∩G)^⊥.

AinsiF^⊥+G^⊥ ⊂(F∩G)^⊥.

⋆ Si l’espace est euclidien, nous pouvons conclure à l’égalité des deux espaces par un argument de dimension : dim(F^⊥+G^⊥) = dimF^⊥+ dimG^⊥−dimF^⊥∩G^⊥

= dimF^⊥+ dimG^⊥−dim(F+G)^⊥ car (F+G)^⊥=F^⊥∩G^⊥ d’après la question précédente

= dimE−dimF+ dimE−dimG−dimE+ dim(F+G)

= dimE−dim(F∩G) car dim(F +G) = dimF+ dimG−dimF∩G

= dim(F∩G)^⊥

⋆ Si l’espace n’est pas euclidien, l’inclusion peut être stricte. Consdiérons par exemple l’espace préhilbertien (C⁰([0,1],R),h·|·i) où< f|g >=

Z 1 0

f(u)g(u)duet les sous-espaces vetorielsF ={f ∈ C⁰([0,1],R)| ∃(a, b)∈ R² : ∀x∈[0,1], f(x) =ax+b} etG={g∈ C⁰([0,1],R)|g(0) = 0}. Il est assez immédiat d’observer que

F^⊥=

f ∈ C⁰([0,1],R)

Z 1 0

f(u)du= 0 et Z 1

0

uf(u)du= 0