Calcul vectoriel et produit scalaire - Classe de 1ère
I - Définitions
Définitions :
• L’angle formé par deux vecteurs~u et~v de même origine est noté (~u,~v).
• On appellenormed’un vecteur~u, le nombre réel noté k~ukégal à la longueur de celui-ci.
Définition :
Soient ~u et ~v deux vecteurs du plan. On appelle produit scalaire de ~u et ~v le nombre réel noté ~u.~v défini par :
• ~u.~v = k~uk × k~vk ×cos(~u,~v)
• ~u.~v =0 si~u =~0 ou~v =~0
Exemple : Soient A, B etC trois points du plan tels que AB =4, AC =6 et B AC =45°, on a :
−→AB.−→
AC = AB ×AC ×cos(B AC)=4×6× p2
2 =12p 2
Remarque : Si~u et~v sont colinéaires :
• ~u.~v = k~uk × k~vksi~u et~v sont de même sens.
• ~u.~v = −k~uk × k~vksi ~u et~v sont de sens contraire.
Propriété : Le produit scalaire estsymétrique, c’est à dire que, pour tous vecteurs~u et~v du plan, on a :
~
u.~v =~v.~u
II - Orthogonalité
Propriété : Soient A,B etC trois points du plan et H le projeté orthogonal deC sur la droite AB. On a :
• −→
AB.−→
AC = AB × AH si −→
AB et −−→
AH sont de même sens
• −→
AB.−→
AC = −AB × AH si −→
AB et −−→
AH sont de sens contraire.
A B
C
H
Preuve : La démonstration de cette propriété est immédiate si on considère la définition du cosinus d’un angle dans le triangle rectangle AC H
Exemple : Considérons un carré ABC D de 3 cm de côté.
On a alors −→AB.−→AC = AB ×AB =9
A B
D C
Définition :
Deux vecteurs non nuls ~u = −→
AB et ~v = −−→
C D sont dits orthogonaux lorsque les droites (AB) et (C D) sont perpendiculaires.
Par convention, on considérera que le vecteur nul est orthogonal à tout autre vecteur.
Propriété : Pour tous vecteurs ~u et~v du plan, ~u et ~v sont orthogonaux si et seulement si~u.~v =0
Preuve : Considérons que ~u et~v sont non nuls (si~u =0ou~v =0, le résultat est immédiat).
On a : ~u et~v orthogonaux⇔(~u,~v)=90°⇔cos(~u,~v)=0⇔~u.~v =0
Exemple : Dans le carré de l’exemple précédent, on a par exemple :−→AB.−−→AD =0 car les vecteurs−→AB et −−→
AD sont orthogonaux.
III - Propriétés
Propriété : Pour tous vecteurs ~u et~v du plan :
~
u.~v = 1 2
£k~uk2+ k~vk2− k~u−~vk2¤
Preuve : La démonstration sera vue en exercice.
Propriété : Dans un repère orthonormé, si~u Ãx
y
! et~v
Ãx′ y′
!
, alors~u.~v =xx′+y y′.
Preuve : Il suffit d’écrire la propriété précédente avec k~uk2 = x2+ y2,k~vk2 = x′2+y′2 et k~u−~vk2 = (x−x′)2+(y −y′)2
Remarque : On en déduit immédiatement que deux vecteurs~u Ãx
y
! et~v
Ãx′ y′
!
sont orthogonaux si et seulement si xx′+y y′=0.
Propriété : Pour tous vecteurs ~u,~v et w~ du plan, on a :
• ~u.(~v +w~)=~u.~v +~u.w~
• ~u.(k~v)=k~u.~v
• ~u.~u = k~uk2
• k~u+~vk2= k~uk2+ k~vk2+2~u.~v
Preuve : Toutes ces propriétés se démontrent facilement en utilisant les coordonnées des vecteurs dans un repère orthonormé.
IV - Calculs de longueurs et d’angles
Propriété : Soient, A et B deux points distincts du plan etI le milieu de [AB].
Pour tout pointM du plan, on a :
−−→M A.−−→
MB =M I2−1 4AB2
A
B I
M
Preuve : La démonstration de cette propriété sera vue en exercice.
Exemple : Soient A et B deux points tels que AB =4cm et I le milieu de [AB].
Déterminons l’ensemble des points M tels que
−−→M A.−−→
MB =8.
−−→M A.−−→
MB =8 ⇔ M I2−1
4AB2=8
⇔ M I2=7+1 4AB2
⇔ M I2=11
⇔ M I =p 11
L’ensemble des points M est donc le cercle de p
A B
I M
Propriété : Soient, A et B deux points distincts du plan et I le milieu de [AB].
L’ensemble des points M du plan tels que −−→
M A.−−→
MB =0 est le cercle de diamètre [AB].
Preuve : D’après la propriété précédente :
−−→M A.−−→
MB =0⇔M I2−1
4AB2=0⇔M I2= 1
4MB2 ⇔M I = 1
2AB d’où le résultat.
Propriété : Formule D’Al-Kashi
Soit ABC un triangle, on a :BC2 = AB2+AC2−2AB× AC×cosB AC
Preuve : La démonstration de cette propriété sera vue en exercice.
Remarques : • Cette propriété permet de calculer des longueurs ou des mesures d’angles dans un triangle non rectangle.
• Si le triangle est rectangle en A, on retrouve le théorème de Pythagore.
Exemple : Soit ABC un triangle tel que AB =4cm, AC =3cm et B AC =70°.
D’après la formule d’Al-Kashi, on a :
BC2= AB2+AC2−2AB×AC ×cosB AC =42+32−2×4×3×cos 70°≈16,8 On en déduit que BC ≈4,1
