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"Vecteurs colinéaires" "Coordonnées d ’ un point – Coordonnées d ’ un vecteur" " Repère et base de l’espace " Email : Réalisé par : Prof. Benjeddou Saber Niveau : Bac sciences expérimentales Résumé : Produit scalaire – Produit vectoriel dans l’espace

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Academic year: 2022

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Texte intégral

(1)

Définition : "Repère et base de l’espace"

Définition : "Coordonnées d’un point – Coordonnées d’un vecteur"

Propriétés :

Définition : "Vecteurs colinéaires"

Théorème :

Résumé : Produit scalaire – Produit vectoriel dans l’espace Niveau : Bac sciences expérimentales

Réalisé par : Prof. Benjeddou Saber Email : saberbjd2003@yahoo.fr

Deux vecteurs 𝑢 ⃗ et 𝑣 de l’espace sont colinéaires s’il existe un réel 𝛼 tel que 𝑢 ⃗ = 𝛼 𝑣 .

Deux vecteurs 𝑢 ⃗ ( 𝑎 𝑏 𝑐

) et 𝑣 ( 𝑎′

𝑏′

𝑐′

) de l’espace sont colinéaires ⟺ |

𝑎𝑏𝑎′𝑏′

| = |

𝑎𝑐𝑎′𝑐′

| = |

𝑏𝑐𝑏′𝑐′

| = 0.

Soit 𝑂 un point, 𝑖 , 𝑗 et 𝑘 ⃗ trois vecteurs de l’espace.

– (𝑂, 𝑖 , 𝑗 , 𝑘 ⃗ ) est un repère de l’espace, lorsque 𝑖 , 𝑗 et 𝑘 ⃗ ne sont pas coplanaires.

– Le triplet (𝑖 , 𝑗 , 𝑘 ⃗ ) est dit une base de l’ensemble des vecteurs de l’espace.

Soit (𝑂, 𝑖 , 𝑗 , 𝑘 ⃗ ) un repère de l’espace.

– Pour tout point 𝑀, il existe trois réels 𝑥, 𝑦 et 𝑧 tels que : 𝑂𝑀 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑥𝑖 + 𝑦𝑗 + 𝑧𝑘⃗ . 𝑥, 𝑦 et 𝑧 sont les coordonnées de 𝑴 dans le repère (𝑂, 𝑖 , 𝑗 , 𝑘 ⃗ ).

𝑥 est l’abscisse, 𝑦 est l’ordonnée et 𝑧 est le cote du point 𝑀. On note : 𝑀(𝑥, 𝑦, 𝑧).

– Tout vecteur 𝑢 ⃗ peut s’écrire : 𝑢 ⃗ = 𝑎𝑖 + 𝑏𝑗 + 𝑐𝑘⃗ où 𝑎, 𝑏 et 𝑐 sont des réels.

𝑎, 𝑏 et 𝑐 sont les coordonnées de 𝒖 ⃗⃗ dans le repère (𝑂, 𝑖 , 𝑗 , 𝑘 ⃗ ). On note : 𝑢 ⃗ ( 𝑎 𝑏 𝑐

).

Soient 𝐴(𝑥

𝐴

, 𝑦

𝐴

, 𝑧

𝐴

) et 𝐵(𝑥

𝐵

, 𝑦

𝐵

, 𝑧

𝐵

) deux points de l’espace.

– 𝐴𝐵 ⃗⃗⃗⃗⃗ (

𝑥

𝐵

− 𝑥

𝐴

𝑦

𝐵

− 𝑦

𝐴

𝑧

𝐵

− 𝑧

𝐴

)

– Le milieu du segment [𝐴𝐵] a pour coordonnées : (

𝑥𝐴+𝑥𝐵

2

,

𝑦𝐴+𝑦𝐵

2

,

𝑧𝐴+𝑧𝐵

2

)

– Si le repère est orthonormé, alors : 𝐴𝐵 = √(𝑥

𝐵

− 𝑥

𝐴

)

2

+ (𝑦

𝐵

− 𝑦

𝐴

)

2

+ (𝑧

𝐵

− 𝑧

𝐴

)

2

(2)

2/4

Professeur : Benjeddou Saber Bac Sc. Expérimentales Résumé : Produit scalaire – Produit vectoriel dans l’espace

Théorème :

Définition : "Vecteurs coplanaires"

Théorème :

Théorème :

Définition : "Produit scalaire"

Propriétés :

Pour tous vecteurs 𝑢 ⃗ , 𝑣 et 𝑤 ⃗⃗ de l’epace et tous réels 𝛼 et 𝛽 : – 𝑢 ⃗ ∙ 𝑣 = 𝑣 ∙ 𝑢 ⃗

– 𝑢 ⃗ ∙ (𝑣 + 𝑤 ⃗⃗ ) = 𝑢 ⃗ ∙ 𝑣 + 𝑢 ⃗ ∙ 𝑤 ⃗⃗

– (𝛼𝑢 ⃗ ) ∙ 𝑣 = 𝑢 ⃗ ∙ (𝛼𝑣 ) = 𝛼(𝑢 ⃗ ∙ 𝑣 ) – (𝛼𝑢 ⃗ ) ∙ (𝛽𝑣 ) = 𝛼𝛽(𝑢 ⃗ ∙ 𝑣 ) Soit 𝐴, 𝐵 et 𝐶 trois points de l’espace.

Le produit scalaire des vecteurs 𝐴𝐵 ⃗⃗⃗⃗⃗ et 𝐴𝐶 ⃗⃗⃗⃗⃗ est le réel défini par : – 𝐴𝐵 ⃗⃗⃗⃗⃗ ∙ 𝐴𝐶 ⃗⃗⃗⃗⃗ = 0 si 𝐴𝐵 ⃗⃗⃗⃗⃗ = 0⃗ ou 𝐴𝐶 ⃗⃗⃗⃗⃗ = 0⃗ .

– 𝐴𝐵 ⃗⃗⃗⃗⃗ ∙ 𝐴𝐶 ⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝐴𝐵 ∙ 𝐴𝐶 ∙ cos 𝐵𝐴̂𝐶 si 𝐴𝐵 ⃗⃗⃗⃗⃗ et 𝐴𝐶 ⃗⃗⃗⃗⃗ sont non nuls.

𝐴𝐵 ⃗⃗⃗⃗⃗ ∙ 𝐴𝐵 ⃗⃗⃗⃗⃗ = ‖𝐴𝐵 ⃗⃗⃗⃗⃗ ‖

2

= 𝐴𝐵

2

.

Trois vecteurs 𝑢 ⃗ , 𝑣 et 𝑤 ⃗⃗ de l’espace sont coplanaires s’il existe deux réels 𝛼 et 𝛽 tels que 𝑢 ⃗ = 𝛼 𝑣 + 𝛽 𝑤 ⃗⃗ .

Trois vecteurs 𝑢 ⃗ ( 𝑎 𝑏 𝑐

), 𝑣 ( 𝑎′

𝑏′

𝑐′

) et 𝑤 ⃗⃗ ( 𝑎"

𝑏"

𝑐"

) de l’espace sont coplanaires ⟺ 𝑑𝑒𝑡(𝑢 ⃗ , 𝑣 , 𝑤 ⃗⃗ ) = 0.

Avec : 𝑑𝑒𝑡(𝑢 ⃗ , 𝑣 , 𝑤 ⃗⃗ ) = |

𝑎 𝑎′ 𝑎"

𝑏 𝑏′ 𝑏"

𝑐 𝑐′ 𝑐"

| = 𝑎 |𝑏′ 𝑏"

𝑐′ 𝑐" | − 𝑎′ | 𝑏 𝑏"

𝑐 𝑐" | + 𝑎" |𝑏 𝑏′

𝑐 𝑐′ | Soient 𝐴, 𝐵 et 𝐶 trois points de l’espace.

𝐴, 𝐵 et 𝐶 sont alignés ⟺ 𝐴𝐵 ⃗⃗⃗⃗⃗ et 𝐴𝐶 ⃗⃗⃗⃗⃗ sont colinéaires.

Soient 𝐴, 𝐵, 𝐶 et 𝐷 quatre points de l’espace.

𝐴, 𝐵, 𝐶 et 𝐷 sont coplanaires ⟺ 𝐴𝐵 ⃗⃗⃗⃗⃗ , 𝐴𝐶 ⃗⃗⃗⃗⃗ et 𝐴𝐷 ⃗⃗⃗⃗⃗ sont coplanaires.

2/5

(3)

Théorème : "Expression analytique du produit scalaire"

Définition : "Orientation de l’espace"

Théorème :

Soit (𝑂, 𝑖 , 𝑗 , 𝑘 ⃗ ) un RON de l’espace ξ . Pour tous vecteurs 𝑢 ⃗ (

𝑥 𝑦 𝑧

) et 𝑣 ( 𝑥′

𝑦′

𝑧′

), on a : 𝑢 ⃗ ∙ 𝑣 = 𝑥𝑥

+ 𝑦𝑦

+ 𝑧𝑧′

En particulier : ‖𝑢 ⃗ ‖ = √𝑥

2

+ 𝑦

2

+ 𝑧

2

Soit (𝑂, 𝑖 , 𝑗 , 𝑘 ⃗ ) un repère de l’espace.

Soit un observateur se tenant debout, dans l'axe (𝑂, 𝑘 ⃗ ), les pieds en 𝑂 et regardant le point I. Si l’observateur a le point 𝐽 à sa gauche, le repère est dit direct. Il est dit indirect dans le cas contraire.

Repère direct Repère indirect

- On dit que l’espace est orienté dans le sens direct s’il est muni d’un repère orthonormé direct.

- On dit que l’espace est orienté dans le sens indirect s’il est muni d’un repère orthonormé indirect.

Soit 𝒫 un plan.

Pour toute base (𝑖 , 𝑗 ) de 𝒫 et tout réel 𝛼 > 0, il existe un unique vecteur 𝑘 ⃗ vérifiant

‖𝑘 ⃗ ‖ = 𝛼, 𝑘 ⃗ ∙ 𝑖 = 𝑘⃗ ∙ 𝑗 = 0 et la base (𝑖 , 𝑗 , 𝑘 ⃗ ) est directe.

(4)

4/4

Professeur : Benjeddou Saber Bac Sc. Expérimentales Résumé : Produit scalaire – Produit vectoriel dans l’espace

Définition : "Produit vectoriel"

Propriétés :

Théorème : "Expression analytique du produit vectoriel"

Propriété :

Définition : " Distance d’un point à une droite "

Soit (𝑂, 𝑖 , 𝑗 , 𝑘 ⃗ ) un ROND de l’espace.

Pour tous vecteurs 𝑢 ⃗ ( 𝑥 𝑦 𝑧

) et 𝑣 ( 𝑥′

𝑦′

𝑧′

), on a : 𝑢 ⃗ ∧ 𝑣 = | 𝑦 𝑦′

𝑧 𝑧′ | 𝑖 − |𝑥 𝑥′

𝑧 𝑧′ | 𝑗 + | 𝑥 𝑥′

𝑦 𝑦′ | 𝑘 ⃗ Pour tous vecteurs 𝑢 ⃗ , 𝑣 et 𝑤 ⃗⃗ de l’epace et tous réels 𝛼 et 𝛽 :

– 𝑢 ⃗ ∧ 𝑢 ⃗ = 0 ⃗

– 𝑢 ⃗ ∧ 𝑣 = 0 ⃗ ⟺ 𝑢 ⃗ et 𝑣 sont colinéaires – 𝑢 ⃗ ∧ 𝑣 = −𝑣 ∧ 𝑢 ⃗

– 𝑢 ⃗ ∧ (𝑣 + 𝑤 ⃗⃗ ) = 𝑢 ⃗ ∧ 𝑣 + 𝑢 ⃗ ∧ 𝑤 ⃗⃗

– (𝑣 + 𝑤 ⃗⃗ ) ∧ 𝑢 ⃗ = 𝑣 ∧ 𝑢 ⃗ + 𝑤 ⃗⃗ ∧ 𝑢 ⃗ – (𝛼𝑢 ⃗ ) ∧ 𝑣 = 𝑢 ⃗ ∧ (𝛼𝑣 ) = 𝛼(𝑢 ⃗ ∧ 𝑣 ) – (𝛼𝑢 ⃗ ) ∧ (𝛽𝑣 ) = 𝛼𝛽(𝑢 ⃗ ∧ 𝑣 )

Soit 𝑢 ⃗ et 𝑣 deux vecteurs de l’espace. On appelle produit vrctoriel de 𝑢 ⃗ et 𝑣 , l’unique vecteur noté 𝑢 ⃗ ∧ 𝑣 et défini par :

– Si 𝑢 ⃗ et 𝑣 sont colinéaires, alors : 𝑢 ⃗ ∧ 𝑣 = 0 ⃗ . – Si non, alors :

{

𝑢 ⃗ ∧ 𝑣 est orthogonal à 𝑢 ⃗ et à 𝑣 (𝑢 ⃗ , 𝑣 , 𝑢 ⃗ ∧ 𝑣 ) est une base directe

‖𝑢 ⃗ ∧ 𝑣 ‖ = ‖𝑢 ⃗ ‖ ⋅ ‖𝑣 ‖ ⋅ |sin(𝑢 ⃗ ,̂ 𝑣 )|

Soit (𝑂, 𝑖 , 𝑗 , 𝑘 ⃗ ) un ROND de l’espace.

Pour tous vecteurs 𝑢 ⃗ , 𝑣 et 𝑤 ⃗⃗ , on a :

(𝑢 ⃗ ∧ 𝑣 ) ∙ 𝑤 ⃗⃗ = (𝑣 ∧ 𝑤 ⃗⃗ ) ∙ 𝑢 ⃗ = (𝑤 ⃗⃗ ∧ 𝑢 ⃗ ) ∙ 𝑣 = 𝑑𝑒𝑡(𝑢 ⃗ , 𝑣 , 𝑤 ⃗⃗ )

4/5

On appelle distance d’un point 𝑀 à une droite 𝐷, la distance 𝑀𝐻, où 𝐻 est le projeté orthogonal de 𝑀 sur 𝐷.

Cette distance est notée 𝑑(𝑀, 𝐷).

(5)

Théorème : "Distance d’un point à une droite"

Théorème : "Aire d’un parallélogramme"

Théorème : "Volume d’un parallélépipède"

Théorème : "Volume d’un tétraèdre"

L’espace est muni d’un ROND (𝑂, 𝑖 , 𝑗 , 𝑘 ⃗ ).

Soit 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹𝐺𝐻 un parallélipipède et 𝑉 son volume. Alors :

𝑉 = 𝑎𝑖𝑟𝑒 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑏𝑎𝑠𝑒 × ℎ𝑎𝑢𝑡𝑒𝑢𝑟 = |(𝐴𝐵 ⃗⃗⃗⃗⃗ ∧ 𝐴𝐷 ⃗⃗⃗⃗⃗ ) ∙ 𝐴𝐸 ⃗⃗⃗⃗⃗ | = |𝑑𝑒𝑡(𝐴𝐵 ⃗⃗⃗⃗⃗ , 𝐴𝐷 ⃗⃗⃗⃗⃗ , 𝐴𝐸 ⃗⃗⃗⃗⃗ )|

L’espace est muni d’un ROND (𝑂, 𝑖 , 𝑗 , 𝑘 ⃗ ).

Soit 𝐴𝐵𝐶𝐷 un tétraèdre, 𝑉 son volume et ℎ la hauteur issue de 𝐴. Alors : 𝑉 = 1

3 𝑎𝑖𝑟𝑒 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑏𝑎𝑠𝑒 × ℎ𝑎𝑢𝑡𝑒𝑢𝑟 = 1

6 |(𝐴𝐵 ⃗⃗⃗⃗⃗ ∧ 𝐴𝐶 ⃗⃗⃗⃗⃗ ) ∙ 𝐴𝐷 ⃗⃗⃗⃗⃗ | = 1

6 |𝑑𝑒𝑡(𝐴𝐵 ⃗⃗⃗⃗⃗ , 𝐴𝐶 ⃗⃗⃗⃗⃗ , 𝐴𝐷 ⃗⃗⃗⃗⃗ )|

ℎ = |(𝐴𝐵 ⃗⃗⃗⃗⃗ ∧ 𝐴𝐶 ⃗⃗⃗⃗⃗ ) ∙ 𝐴𝐷 ⃗⃗⃗⃗⃗ |

‖𝐵𝐶 ⃗⃗⃗⃗⃗ ∧ 𝐵𝐷 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ‖

Soit (𝑂, 𝑖 , 𝑗 , 𝑘 ⃗ ) un ROND de l’espace et 𝐴𝐵𝐶𝐷 un parallélogramme.

L’aire du parallélogramme 𝐴𝐵𝐶𝐷 est égale à : ‖𝐴𝐵 ⃗⃗⃗⃗⃗ ∧ 𝐴𝐷 ⃗⃗⃗⃗⃗ ‖ En particulier, l’aire du triangle ABD est égale à :

1

2

‖𝐴𝐵 ⃗⃗⃗⃗⃗ ∧ 𝐴𝐷 ⃗⃗⃗⃗⃗ ‖ L’espace est muni d’un RON (𝑂, 𝑖 , 𝑗 , 𝑘 ⃗ ).

Soit 𝐷(𝐴, 𝑢 ⃗ ) une droite.

La distance de 𝑀 à 𝐷(𝐴, 𝑢 ⃗ ) est le réel positif : 𝑑(𝐴, 𝐷) =

‖𝐴𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∧𝑢⃗⃗ ‖

‖𝑢⃗⃗ ‖

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