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CY Cergy Paris Universit´e Date: Novembre 2020
Contrˆole continu 1, Math´ematiques 1-PCST
Dur´ee: 1 heure, les documents et les calculatrices ne sont pas autoris´es
Exercice 1.
D´emontrer que∀n∈N∗,
n
X
k=1
k(k+ 1) = n(n+ 1)(n+ 2)
3 .
Exercice 2.
(1) Calculer le produit scalaire et le produit vectoriel des vecteurs −→u = 2−→
i −−→ j +−→
k et−→v =−−→ i + 3−→
j −4−→
k. D´eterminer l’aire du parall´elogramme engendr´e par −→u et−→v.
(2) On consid`ere le quadruplet (O,−→u ,−→v ,−→w), o`u −→u = −−→ i −3−→
j, −→v =
−
→j + 2−→
k et −→w =−→ i −−→
j +−→
k. Calculer le produit mixte des vecteurs −→u,
−
→v et−→w. En d´eduire si le quadruplet est un rep`ere. Si oui, est il direct ou indirect?
Exercice 3.
On consid`ere deux plansP1 etP2 d’´equations cart´esiennes respectives: x+ y−2z= 1 et 2x−y+z= 2.
(1) Etudier la position relative des plansP1 etP2.
(2) D´eterminer l’´equation param´etrique de leur droite d’intersectionD.
(3) SoitA(1,−1,0), est ce queAappartient `aD? Calculer la distanced(A, D).
Exercice 4.
D´eterminer la limite des suites suivantes:
(1)un= sinn−4 cosn2 n
(2)vn= 6n2n33−n+n+72+5
(3)wn=n−√
n2−n.
