Produit scalaire I.

Produit scalaire STI2D 1

Produit scalaire

I. Définition du produit scalaire A- Définition

Activité p 132 Définition

Soit 𝑢⃗ = 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗

La norme du vecteur 𝑢⃗ , notée ||𝑢⃗ ||, est la longueur du segment [𝐴𝐵]

||𝒖⃗⃗ || = 𝑨𝑩

Définition

On appelle produit scalaire de deux vecteurs 𝑢⃗ et 𝑣 , le nombre réel noté 𝑢⃗ . 𝑣 défini par 𝑢⃗ . 𝑣 = ||𝑢⃗ || × ||𝑣 ||cos⁡(𝑢⃗ , 𝑣 )

Soit 𝐴, 𝐵 et 𝐶 trois points du plan tels que 𝑢⃗ = 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ et 𝑣 = 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗

𝑢⃗ . 𝑣 = 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ . 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ = ||𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ || × ||𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ || cos⁡(𝐵𝐴𝐶̂)

Exemple

Soit ABC un triangle équilatéral de côté 2 cm.

Les trois côtés mesurent donc chacun 2 cm et les trois angles 60°

𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ . 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ = 2 × 2 × cos(60°) = 2 × 2 ×1 2= 2

B- Propriétés Propriétés

Pour tous vecteurs 𝑢⃗ , 𝑣 , 𝑤⃗⃗ et pour tout nombre réel 𝑘

𝑢⃗ . 𝑣 = 𝑣.⃗⃗⃗ 𝑢⃗

𝑢⃗ . (𝑣 + 𝑤⃗⃗ ) = 𝑢⃗ . 𝑣 + 𝑢⃗ . 𝑤⃗⃗

𝑢⃗ . (𝑘𝑣 ) = (𝑘𝑢⃗ ). 𝑣 = 𝑘⁡𝑢⃗ . 𝑣

Exemples

2𝑢⃗ . (𝑣 − 3𝑤⃗⃗ ) = (2𝑢⃗ ). 𝑣 + (2𝑢⃗ ). (−3𝑤⃗⃗ ) = 2𝑢⃗ . 𝑣 − 6𝑢⃗ . 𝑤⃗⃗

(𝑢⃗ − 𝑣 ). (𝑢⃗ + 𝑣 ) = 𝑢⃗ . 𝑢⃗ + 𝑢⃗ . 𝑣 − 𝑢⃗ . 𝑣 − 𝑣 . 𝑣 = 𝑢⃗ ² − 𝑣 ²

C- Vecteurs orthogonaux Propriété

Deux vecteurs 𝑢⃗ et 𝑣 sont orthogonaux si, et seulement si, 𝑢⃗ . 𝑣 = 0

Exemple

Dans un repère orthonormal (𝑂 ; 𝑖 ; 𝑗 ), 𝑖 . 𝑗 = 0

Remarque

𝑢⃗ . 𝑣 = 𝑢⃗ . 𝑤⃗⃗ n’entraine pas⁡𝑣 = 𝑤⃗⃗ mais entraine 𝑢⃗ . (𝑣 − 𝑤⃗⃗ ) = 0 qui entraine que⁡𝑢⃗ et 𝑣 − 𝑤⃗⃗ sont orthogonaux.

Voir exercice résolu 1 p 133 Applications n°1 – 2 p 133

Exercices n°1 à 28 p 141

Produit scalaire STI2D 2 II. Produit scalaire et projection orthogonale

Activité p 134 Soit 𝑢⃗ et 𝑣 deux vecteurs tels que 𝑢⃗ = 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ et 𝑣 = 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗

Soit 𝐻 la projection orthogonale du point 𝐶 sur la droite (𝐴𝐵).

𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ . 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ . (𝐴𝐻⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐻𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ ) = 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ . 𝐴𝐻⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ . 𝐻𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ . 𝐴𝐻⃗⃗⃗⃗⃗⃗

car les droites (𝐴𝐵) et (𝐻𝐶) sont perpendiculaires donc 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ . 𝐻𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ = 0.

A l’aide de la définition du produit scalaire, on a alors 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ . 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ . 𝐴𝐻⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝐴𝐵⁡ × 𝐴𝐻 × cos⁡(𝐵𝐴𝐻̂ ) cos(𝐵𝐴𝐻̂ ) dépend de la position du point H sur la droite (𝐴𝐵)

a) Si les vecteurs 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ et 𝐴𝐻⃗⃗⃗⃗⃗⃗ sont dans le même sens, 𝐵𝐴𝐻̂ = 0°⁡donc cos(𝐵𝐴𝐻̂ ) = 1.⁡

D’où⁡𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ . 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝐴𝐵⁡ × 𝐴𝐻

b) Si les vecteurs 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ et 𝐴𝐻⃗⃗⃗⃗⃗⃗ sont dans le sens contraire, 𝐵𝐴𝐻̂ = 180°⁡donc cos(𝐵𝐴𝐻̂ ) = −1.⁡

D’où⁡𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ . 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ = −𝐴𝐵⁡ × 𝐴𝐻

Propriété

Soit deux vecteurs 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ et 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ et 𝐻 la projection orthogonale du point 𝐶 sur la droite (𝐴𝐵).

Si 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ et 𝐴𝐻⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ont le même sens, alors ⁡𝑨𝑩⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . 𝑨𝑪⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑨𝑩⁡ × 𝑨𝑯

Si 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ et 𝐴𝐻⃗⃗⃗⃗⃗⃗ n’ont pas le même sens, alors ⁡𝑨𝑩⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . 𝑨𝑪⃗⃗⃗⃗⃗ = −𝑨𝑩⁡ × 𝑨𝑯 Exemples (L’unité est le côté du carreau)

𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ . 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝐴𝐵⁡ × 𝐴𝐻 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ . 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ = −𝐴𝐵⁡ × 𝐴𝐻 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ . 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ = −𝐴𝐵⁡ × 𝐴𝐻 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ . 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ = 6 × 2 = 12 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ . 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ = −3 × 3 = −9 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ . 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ = −2 × 1 = −2

Voir exercices résolus 2 – 3 p 135 Applications n°1 – 2 p 135

Exercices n°29 à 31 p 142 Exercices n°70 – 71 p 144

Produit scalaire STI2D 3 III. Expression analytique du produit scalaire

Activité p 136

A. Produit scalaire en fonction des coordonnées des vecteurs Propriétés

Dans un repère orthonormal (𝑂 ; 𝑖 ; 𝑗 ),⁡

𝑖 . 𝑗 = 𝑗 . 𝑖 = 0 ||𝑖 || = 1 ||𝑗 || = 1

Dans un repère orthonormal (𝑂 ; 𝑖 ; 𝑗 ), on considère les vecteurs 𝑢⃗ (𝑥 ; 𝑦) et 𝑣 (𝑥’ ; 𝑦’) 𝑢⃗ = 𝑥𝑖 + 𝑦𝑗 et 𝑣 = 𝑥’𝑖 + 𝑦’𝑗

𝑢⃗ . 𝑣 = (𝑥𝑖 + 𝑦𝑗 ). (𝑥’𝑖 + 𝑦’𝑗 )

𝑢⃗ . 𝑣 = 𝑥𝑥^′𝑖 . 𝑖 + 𝑥𝑦’⁡𝑖 . 𝑗 + 𝑥’𝑦⁡𝑗 . 𝑖 + 𝑦𝑦^′𝑗 . 𝑗 𝑢⃗ . 𝑣 = 𝑥𝑥^′+ 𝑦𝑦′

Propriété

Dans un repère orthonormal (𝑂 ; 𝑖 ; 𝑗 ), l’expression analytique du produit scalaire des vecteurs 𝑢⃗ (𝑥 ; 𝑦) et 𝑣 (𝑥’ ; 𝑦’) est 𝒖⃗⃗ . 𝒗⃗⃗ = 𝒙𝒙^′+ 𝒚𝒚′

Exemple

𝑢⃗ (3 ; 2) et⁡𝑣⃗⃗⃗ (−1 ; 4) alors 𝑢⃗ . 𝑣 = 3 × (−1) + 2 × 4 = 5

Voir exercices résolus 4 – 5 p 137 Applications n°1 – 2 p 137

Exercices n°32 à 49 – 51 à 66 p 142 – 143 Exercices n°72 à 75 p 144

B. Nouvelle expression du produit scalaire

||𝑢⃗ + 𝑣 ||² = (𝑢⃗ + 𝑣 )² = 𝑢⃗ ² + 2𝑢⃗ . 𝑣 + 𝑣 ² Or 𝑢⃗ ² = 𝑢⃗ . 𝑢⃗ = ||𝑢⃗ ||²

||𝑢⃗ + 𝑣 ||² = ||𝑢⃗ ||² + 2𝑢⃗ . 𝑣 + ||𝑣 ||²

D’où⁡2⁡𝑢⃗ . 𝑣 = [⁡||𝑢⃗ + 𝑣 ||²− ||𝑢⃗ ||²− ||𝑣 ||²]

Propriété

𝑢⃗ . 𝑣 =1

2[⁡||𝑢⃗ + 𝑣 ||²− ||𝑢⃗ ||²− ||𝑣 ||²]

Exemple

Soit u et v deux vecteurs tels que ||𝑢⃗ || = 3, ||𝑣 || = 2 et (𝑢⃗ ; 𝑣 ) = ^𝜋

3. On cherche ||𝑢⃗ + 𝑣 ||

𝑢⃗ . 𝑣 = 3 × 2 × cos^𝜋

3 = 6 ×¹

2 = 3 ||𝑢⃗ ||² = 9 ||𝑣 ||² = 4

3 =¹₂[||𝑢⃗ + 𝑣 ||²− 9 − 4]

D’où ||𝑢⃗ + 𝑣 || = √19

Voir exercice résolu 6 p 139 Application n°1 p 139 Exercices n°77 à 87 p 144 – 145

Produit scalaire STI2D 4 IV. Décomposition d’un vecteur selon deux axes orthogonaux

Activité p 138 Soit le vecteur 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ et le repère orthogonal (𝐴 ; 𝑖 ; 𝑗 )

Décomposer le vecteur 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ selon les axes (𝐴 ; 𝑖 ) et⁡(𝐴 ; 𝑗 ) orthogonaux revient à projeter orthogonalement le point 𝐵 sur l’axe (𝐴 ; 𝑖 ) et sur l’axe (𝐴 ; 𝑗 )

On obtient ainsi deux points 𝐻 et 𝐾 tels que 𝑨𝑩⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑨𝑯⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝑨𝑲⃗⃗⃗⃗⃗⃗ où 𝐴𝐻⃗⃗⃗⃗⃗⃗ et 𝐴𝐾⃗⃗⃗⃗⃗ sont les composantes de 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ .

A l’aide de l’angle 𝜃 = (𝐴𝐻⃗⃗⃗⃗⃗⃗ , 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ ),⁡on a ainsi

𝑨𝑯⁡ = ⁡𝑨𝑩 𝐜𝐨𝐬 𝜽 et 𝑨𝑲 = 𝑨𝑩 𝐬𝐢𝐧 𝜽

Dans le repère orthonormal (𝑂 ; 𝑖 ; 𝑗 ), on considère les points 𝐴(𝑥_𝐴; 𝑦_𝐴) et 𝐵(𝑥_𝐵; 𝑦_𝐵).

Donc 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ (_𝑦^{𝑥𝐵−𝑥𝐴}

𝐵−𝑦_𝐴) ce qui se traduit par 𝐴𝐵 =(𝑥_𝐵− 𝑥_𝐴)⁡𝑖 +(𝑦_𝐵− 𝑦_𝐴)⁡𝑗

Comme 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐶𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ , on a alors

𝑨𝑪⃗⃗⃗⃗⃗ =(𝒙_𝑩− 𝒙_𝑨)⁡𝒊 ⁡ 𝑪𝑩⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = (𝒚_𝑩− 𝒚_𝑨)⁡𝒋

Exemples

 Dans un repère orthonormal (𝑂 ; 𝑖 ; 𝑗 ), on considère les points 𝐴(−2 ; 1) et 𝐵(4 ; −2)

𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ (₋₃⁶ ) donc 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ = 6𝑖 − 3⁡𝑗 donc 𝑨𝑪⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝟔𝒊 et 𝑪𝑩⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = −𝟑⁡𝒋

 On considère le rectangle 𝐴𝐵𝐶𝐷 et 𝐼 le milieu de [𝐶𝐷]

 La décomposition du vecteur 𝐴𝐼⃗⃗⃗⃗ selon les axes orthogonaux (𝐴 ;⁡𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ ) et (𝐴 ;⁡𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗ ) est 𝑨𝑰⃗⃗⃗⃗ =^𝟏

𝟐𝑨𝑩⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝑨𝑫⃗⃗⃗⃗⃗⃗

Voir exercice résolu 7 p 139 Application n°2 p 139 Exercices n°89 à 93 p 145 – 146

QCM n°99 p 149

Problèmes n°100 – 106 – 108 – 109 p 59 DM n°111 – 112 p 59

Fiche de synthèse p 140