I PRODUIT SCALAIRE

I PRODUIT SCALAIRE

( dans le plan )

A) DEFINITION

Soit ^u et ^{→ }v deux vecteurs non nuls du plan . ^→

Le produit scalaire de ^{→}u par ^{→→→ →}v^→→→ noté ^{→}u . ^{→→→ →}v^→→→ est le nombre défini par l’une ou l’autre des égalités ci- dessous :







→→→→

u . ^{→}v = ^→→→ 1

2 (

||

^{→}u + ^{→→→ →}v ^→→→

||

² -

||

^{→}u ^→→→

||

² -

||

^{→}v ^→→→

||

² )







→→→→

u . ^{→}v = x x’ + y y’ où ( x ; y ) et ( x’ ; y’ ) sont les coordonnées respectives de ^{→→→ }u et de ^{→ }v ^→ dans un repère orthonormal

quelconque .



→→→→

u . ^{→}v = ^→→→ OA. ^{→→→→} OB = OA ×××× OB ×××× cos AOB ^{→→→→}

=

||

^{→}u ^→→→

|| ||

^{→}v ^→→→

||

cos ( ^→u ; ^{→→→ →}v ) ^→→→

Le produit scalaire de deux vecteurs est égal au produit de leurs normes par le cosinus de l’angle qu’ils forment.



→→→→

u . ^{→}v = ^→→→ OA . ^{→→→→} OB ^{→→→→}

où O ; A et B sont trois points du plan tels que

→

u = OA et ^{→ }v = ^→ OB . ^→

H est le projeté orthogonal de B sur ( OA )

Si ^u = ^→ 0 ou ^{→ }v = ^→ 0 ; on pose ^{→ }u . ^{→ }v = 0 . ^→

Ex 1 :

Soit A ( 2 ; 3 ) ; B ( -1 ; 4 ) et C ( -2 ; 1 ) trois points du plan muni d’un repère orthonormal.

On a AB ( – 3 ; 1 ) et ^{→ →}BC ( – 1 ; – 3 ) d’où AB . ^→ BC = ( – 3 ) × ( – 1 ) + (- 3 ) × 1 = 0 ^→

Ex 2 :

Soit ABC un triangle équilatéral tel que AB = 3 ( dans l’unité de longueur choisie ) . Les points E; F et D sont les milieux des côtés.

On a alors :

=  OA ×××× OH si OA et ^{→→→→} OH sont de même sens^{→→→→} – OA ×××× OH si



→→→→

OA et



→→→→

OH sont de sens contraire

Le produit scalaire de deux vecteurs est un réel .

O H A B

H O A B

AB .→ AC= AB × AC cos ( BAC ) = 3 × 3 × cos ^→ π 3 = 9

2 ou AB .^→ AC = AB × AE = 3 × ^→ 3

2 = 9 2

AB . → CE = AB . CE × cos (^→ AB ; ^{→ →}CE ) = AB × CE × cos π 2 = 0 ou le projeté orthogonal de CE sur ^→ AB est le vecteur nul ; ^→

donc AB . ^{→ →}CE = 0

B ) PROPRIETES :OPERATIONS VECTORIELLES

Soit ^u ; ^{→ }v et ^→ w trois vecteurs du plan et k un réel; on a : ^→ Symétrie

^u . ^{→ }v = ^{→ }v . ^{→ }u^→ Linéarité

^u . ( ^{→ }v + ^→ w ) = ^{→ }u . ^{→ }v + ^{→ }u . ^→ w et ( ^{→ }u +^{→ }v ) ^→ .^→w = ^u . ^→ w + ^{→ }v . ^→ w ^→

( k ^u ) . ^{→ }v = k ( ^{→ }u . ^{→ }v ) et ^{→ }u . ( k ^{→ }v ) = ^→ k ( ^u . ^{→ }v ) ^→

conséquence :

a ^u . b ^{→ }v = ab ^{→ }u . ^{→ }v ^→ ( où a et b sont deux réels quelconques )

Preuve :

On se place dans un repère orthonormal ( utile pour la preuve seulement ) et on note ( x ; y ) ; ( x’ ; y’ ) et ( x’’ ; y’’ ) les coordonnées respectives de ^u ; ^{→ }v et ^→ w . ^→

Montrons l’égalité ^u . ( ^{→ }v + ^→ w ) = ^{→ }u . ^{→ }v + ^{→ }u . ^→ w ^→ ; les autres égalités se montrent de la même façon .

→

v + w a pour coordonnées ( x’ + x’’ ; y’ + y’’ ) . ^→ Donc

→

u . ( ^v + ^→ w ) = x ( x’ + x’’ ) + y ( y’ + y’’ ) = x x’ + x x’’ + y y’ + yy’’ = ( x x’ + y y’ ) + ( x x’’ + y y’’ ) =^{→ }u . ^{→ }v + ^{→ }u . ^→

→

w Ex :

( 3 ^u – 2 ^{→ }v ) . ( 2 ^{→ }u + ^{→ }v ) = ^→ Rem :

Il y a des ressemblances évidentes entre les règles de calcul du produit scalaire et celles sur les réels;

mais attention il ne faut pas généraliser :

En effet; on peut avoir ^u.^{→ }v = 0 avec ^{→ }u ≠ ^→ 0 et ^{→ }v ≠ ^{→ }0 . ^→ D’autre part^u.^{→ }v = ^{→ }u . ^→ w n’implique pas ^{→ }v = ^→ w . ^→

C ) CARRE SCALAIRE ET NORME

A

B C

D E

F

Pour tout vecteur ^u du plan; le produit scalaire de ^{→ }u par lui même; ^{→ }u . ^{→ }u est appelé carré scalaire ^→ de ^u . On le note ^{→ }u ^{→ 2} .

On a :

^u ^{→ 2} = ^u . ^{→ }u = ^→

||

^u ^→

||

×

||

^u ^→

||

=

||

^u ^→

||

2

Ce qui donne; pour deux points A et B :

AB ^→2 =

||

AB ^→

||

² = AB ²

Rem :

→

u est unitaire si et seulement si ^u ^{→ 2} = 1

Après quelques calculs; on retrouve des produits scalaires remarquables ( bien familiers )

( ^u + ^{→ }v ) ² = ^{→ }u ² + ^{→ }v ² + 2 ^{→ }u . ^{→ }v ; ( ^{→ }u – ^{→ }v ) ² = ^{→ }u ² + ^{→ }v ² – 2 ^{→ }u . ^{→ }v et ( ^{→ }u + ^{→ }v ) ( ^{→ }u – ^{→ }v ) ^→

= ^u ² – ^{→ }v ² ^→ Application :

Soit ABC un triangle quelconque : BC² =

→

BC² = (

→

BA +

→

AC )² = BA² + 2

→

BA .

→

AC + AC² = BA² - 2

→

AB .

→

AC + AC² BC² = BA² - 2

→

AB .

→

AC + AC² est le théorème de Pythagore généralisé ( formule d’Al Kashi ) 3 ) PRODUIT SCALAIRE ET ORTHOGONALITE







→→→→

u et ^{→}v sont orthogonaux si et seulement si leur produit scalaire est ^→→→ nul

soit ^u ⊥ ^{→ }v ^→ ⇔ ^u . ^{→ }v = 0 ^→

Rem :

Dans un repère orthonormal; le produit scalaire de ^u ( x ; y ) et ^{→ }v ( x’ ; y’ ) est ^{→ }u.^{→ }v = xx’ + yy’ ^→ On en déduit que :

^u ^→ ⊥ ^v ^→ ⇔ x x’ + y y’ = 0 Ex :

Soit ABCD un parallélogramme.

En posant AB = ^{→ }u et ^→ AD = ^{→ }v ; on retrouve que ABCD est un losange ^→ si et seulement si ses diagonales sont perpendiculaires .

→

→ u v

D B

A

En effet ( ^u + ^{→ }v ) ( ^{→ }u – ^{→ }v ) = ^→

||

^u ^→

||

² –

||

^v ^→

||

²

Ainsi

||

^u ^→

||

=

||

^v ^→

||

si et seulement si les vecteurs ^u + ^{→ }v et ^{→ }u – ^{→ }v ^→ sont orthogonaux .

4 ) COORDONNEES D’UN VECTEUR

La projection orthogonale d’un vecteur ^v sur un axe d muni d’un ^→ vecteur unitaire ^u est ( ^{→ }u . ^{→ }v ) ^{→ }u ^→

Une conséquence pour les coordonnées d’un vecteur :

Soit (O; ^i ; ^{→ }j ) un repère orthonormal et ^{→ }u ( a ; b ) ^→ un vecteur du plan .

On : a = ^u . ^{→ }i et b = ^{→ }u . ^{→ }j ^→ Le projeté orthogonal de ^u ^→ sur ( O ;^i ) ^→ est a

→

i mais aussi ( ^u . ^{→ }i ) . ^{→ }i … ^→

5) Application du produit Scalaire :équations de droites et cercles dans un plan Exercices : Méthode 1 sans le cours

1. Déterminer une équation de la hauteur (d) du triangle ABC passant par C.

Données : un repère orthonormé et A( 1 ;2) , B(4 ;0) et C(2 ;4)

→

AB ( 4 – 1 ; 0-2) = ( 3 ; -2) , la hauteur du triangle ABC passant par C est perpendiculaire à la droite (AB) donc M(x,y) appartient à cette droite si et seulement si

→

AB .

→

CM = 0.

Soit 3 ( x – 2) + (-2) ( y – 4) = 0 ou 3 x – 6 – 2 y + 8 = 0 soit 3x –2y +2 = 0 ou y = 3 2 x + 1 2. Déterminer une équation du cercle C de diamètre [BC] .

Données : B(-2 ; 5) et C( 1 ;4) dans un repère orthonormé.

M(x ;y) appartient à C si et seulement si

→

BM .

→

CM = 0

→

BM( x + 2 ; y – 5) et

→

CM ( x – 1 ; y – 4) soit (x+2) ( x-1) + (y-5)(y-4) = 0

x² + x – 2 + y² - 9 y + 20 = 0 que l’on peut transformer en ( x + 1

2 )² +( y – 9

2 ) ² = 10 4 Le plan est rapporté à un repère orthonormé.

Définition :

Un vecteur normal d’une droite est un vecteur non nul orthogonal à tout vecteur directeur de cette droite.

→

v

→

u ( ^u . ^{→ }v ) ^{→ }u ^→

b ^j ^{→ }u ^→

→

j

^i a ^{→ }i ^→

Propriétés :

• Si n a ; br

( )

est un vecteur normal de la droite d, alors une équation de d s’écrit sous la forme ax by c 0+ + = .

Réciproquement, si a et b sont deux réels non nuls, l’équation ax by c 0+ + = est l’équation d’une droite dont le vecteur de coordonnées (a ; b) est un vecteur normal.

Si y = m x + p est une équation de la droite d, alors ^→n ( -m ; 1 ) est un vecteur normale à d.

• Le cercle de centre I (a ; b) et de rayon R est l’ensemble des points M(x ; y) tels que :

2 2

IM =R . Une équation de ce cercle est

(

x a−

)

² +

(

y b−

)

² =R².

Le cercle de diamètre [AB] est l’ensemble des points M du plan tels que :

→

MA.

→

MB = 0 .

• si la droite d a pour équation ax + by + c = 0 alors

→

d ( - b ; a )est un vecteur directeur de d.

Exemples : exercices suite Méthode 2 avec le cours :

1. Déterminer une équation de la hauteur (d) du triangle ABC passant par C.

→

AB ( 3 ; -2) et C ( 2 ; 4)

→

AB est un vecteur normal à (d) donc une équation de (d) est 3 x – 2 y + c = 0

cette droite passe par le point C donc 3 . 2 – 2 . 4 + c = 0 soit 6 – 8 + c = 0 ou – 2 + c = 0 et c = 2 (d) : 3x –2y +2 = 0

2. Déterminer une équation du cercle C de diamètre [BC]. B(-2 ; 5) et C( 1 ;4) On cherche le centre et le rayon :

Centre : I ( -2+1 2 ; 5+4

2 ) = ( - 1 2 ; 9

2 ) rayon² :







 BC

2

2

= ( 1 + 2 )² + (4 – 5) ²

4 = 3² + 1²

4 = 10 4 l’équation du cercle est donc ( x + 1

2 )² +( y – 9

2 ) ² = 10 4

II – Produit scalaire dans l’espace

Une base

(

^{i, j,k}

)

de l’espace est une base orthonormée si les vecteurs sont unitaires et deux à deux orthogonaux.

Norme, distance Avec ur

(

x;y;z

)

: ur = x² +y² +z² .

Avec A (xA ; yA ; zA) et B (xB ; yB ; zB) : AB=

(

x_B−x_A

) (

² + y_B −y_A

) (

² + z_B −z_A

)

² .

Propriété : toutes les propriétés du plan sont encore valables dans l’espace sauf dans un repère orthonormé : avec

→

u ( x, y , z) et v ( x’ , y’ , z’) alors

→

u .

→

v = x x ‘ + y y’ + z z ‘