I-Produit scalaire dans le plan :

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Chapitre XIV : Produit scalaire dans l'espace

I-Produit scalaire dans le plan :

Définitions 1 :(équivalentes)

Soientuetvdeux vecteurs du plan, une unité de longueur étant choisie.

1. Il existe A, B et C tels queu=AB,v=AC , alors



u.v=AB .AC=AB×AHoù H est le projeté orthogonal de C sur (AB)

2. Soit=u ,v [2 ], alorsu.v=∥AB∥×∥AC∥cos. 3. u.v=1

2

[

∥uv∥²−∥u∥²−∥v∥²

]

^.

4. Si dans une base orthonormalei ,j,uetvont respectivement pour coordonnées (x , y) et(x ' , y '), alors_u.v=xx 'yy '

Théorème 1 : Deux vecteurs uetvsont othogonaux si et seulement siu.v=0. Démonstration :

On note que par définition le vecteur nul est orthogonal à tout autre vecteur.

Remarque : u.u=∥u∥×∥u∥×cos0=∥u∥². on note : u²=∥u∥×∥u∥=∥u∥².

Théorème 2 : Dans un repère orthonormal, la distance, notéedA , du point A de coordonnées

x_A, y_Aà la droite d'équationa xb yc=0est égale à : dA ,=∣a x_Ab y_Ac∣



^a²^^b²

Démonstration :

II-Produit scalaire dans l'espace :

Définitions 2 : Soientuetvdeux vecteurs de l'espace, alors il existe trois points de l'espace A, B et C tels queu=AB,v=AC, d'où les vecteursABetACsont coplanaires et donc le produit scalaire deuparvest le produit scalaire deuparvdans le plan (ABC). Les formules 1, 2 et 3 du plan sont donc identiques

Théorème 3 : Si dans une base orthonormalei ,j ,k,uetvont respectivement pour coordonnées

x , y , z etx ' , y ' , z ', alorsu.v=xx 'yy 'zz' .

Propriété 1 : Quels que soient les vecteursu, v et w_ et le réelon a : 1 . u.v=v.u 2 . u.vw=u.vu.w

3 . u.v=u.v 4 . u.u0 5 . u.u=0 ⇔u=0

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u v

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II-Orthogonalité dans l'espace :

Définition 3 : Soientuetvdeux vecteurs de l'espace, alors il existe trois points de l'espace A, B et C tels queu=AB,v=AC. uetvsont orthogonaux siAB⊥AC.

Théorème 4 : Deux vecteurs uetvsont othogonaux si et seulement si_u.v=0.

Dans une base orthonormalei ,j ,k, ux , y , zetvx ' , y ' , z 'sont orthogonaux si et seulement si xx 'yy 'zz '=0.

Démonstration :

On se place dans le plan (ABC) définie par uetv et on fait la même démonstration que dans le plan.

Définition 4 : Soit P un plan de l'espace. Un vecteurn=ABnon nul de l'espace est normal à P si

AB⊥P.

Propriété 2 : Soit d une droite de l'espace,n un vecteur directeur de d et A un point de l'espace.

Alors le plan passant par A et de vecteur normalnest l'ensemble des points M de l'espace tel que : AM.n=0

Propriété 3 : Dans un repère orthonormal.

1. Tout plan P admet une équation cartésienne de la forme a xb yczd=0. De plus



na , b , cest un vecteur normal à P.

2. Réciproquement, les réels a, b et c étant donnés aveca , b , c≠0,0 ,0alors l'ensemble des points Mx , y , ztels que a xb yczd=0est un plan de vecteur normalna , b , c. Démonstration :

Théorème 5 :Dans un repère orthonormal, la distance, notée dA , du point A de coordonnées

x_A, y_A, z_A à la droite  d'équation a xb yc zd=0 est égale à : dA ,=∣a x_Ab y_Ac z_Ad∣



^a²^^b²^^c²

Démonstration :

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