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Chap. 12 :
PRODUIT SCALAIRE Dans le plan
Le produit scalaire est une opération s’appliquant à deux vecteurs. Il a été inventé par deux physiciens Grassmann et Gibbs et a été baptisé ainsi par le mathématicien irlandais Hamilton (1805-1865).
En mathématiques, il permet d’utiliser les notions euclidiennes de distances, angles, orthogonalité. Il est aussi utilisé dans des notions beaucoup plus complexes qu’on ne détaillera pas ici.
En physique, il caractérise la notion de travail d’une force sur un déplacement mais est aussi utile en hydrodynamique, électromagnétisme, . . ..
Partie 1 : travail d’une force en physique et première définition
Définition : projeté orthogonal
Soient 𝑂, 𝐴 et 𝐵 trois points non-alignés du plan.
Le projeté orthogonal de 𝐵 sur la droite (𝑂𝐴) est le pied de la hauteur issue de 𝐵 dans le triangle 𝑂𝐴𝐵.
Sur les figures ci-dessous, 𝐻 est le projeté orthogonal de 𝐵 sur (𝑂𝐴) :
Le travail d’une force 𝐴𝐶(((((⃗ durant le déplacement de 𝐴 vers 𝐵 est un nombre : - positif lorsque la force favorise le déplacement de 𝐴 vers 𝐵
- nul lorsque la force ne contribue pas au déplacement de 𝐴 vers 𝐵 - négatif lorsque la force s’oppose au déplacement de 𝐴 vers 𝐵 Définition : produit scalaire
Soient 𝐴, 𝐵 et 𝑂 trois points du plan, et 𝑢(⃗ et 𝑣⃗ deux vecteurs non nuls tels que 𝑢(⃗ = 𝑂𝐴(((((⃗ et𝑣⃗ = 𝑂𝐵(((((⃗. Le produit scalaire de 𝑢(⃗ par 𝑣⃗, noté 𝑢(⃗. 𝑣⃗ (se lit « 𝑢(⃗ scalaire 𝑣⃗ ») est le réel défini de la façon suivante :
Si 𝑢(⃗ et 𝑣⃗ sont colinéaires de même sens, 𝑢(⃗. 𝑣⃗ = 𝑂𝐴 × 𝑂𝐵 Si 𝑢(⃗ et 𝑣⃗ sont colinéaires de sens contraire, 𝑢(⃗. 𝑣⃗ = −𝑂𝐴 × 𝑂𝐵
Si 𝑢(⃗ et 𝑣⃗ ne sont pas colinéaires, 𝑢(⃗. 𝑣⃗ = 𝑂𝐴(((((⃗. 𝑂𝐻((((((⃗ où 𝐻 est le projeté orthogonal de 𝐵 sur (𝑂𝐴).
Ainsi : 𝑢(⃗. 𝑣⃗ = 𝑂𝐴 × 𝑂𝐻 𝑢(⃗. 𝑣⃗ = −𝑂𝐴 × 𝑂𝐻
C
A B
C
A B B
C
A
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Partie 2 : orthogonalité
Définition : vecteurs orthogonaux
Soient 𝑢(⃗ et 𝑣⃗ deux vecteurs du plan, 𝑂 un point du plan et 𝐴 et 𝐵 les points tels que 𝑢(⃗ = 𝑂𝐴(((((⃗ et 𝑣⃗ = 𝑂𝐵(((((⃗. Les vecteurs 𝑢(⃗ et 𝑣⃗ sont dits orthogonaux si l’une des deux situations suivantes est réalisée :
𝑢(⃗ = 0(⃗ ou 𝑣⃗ = 0(⃗;
les droites (𝑂𝐴) et (𝑂𝐵) sont perpendiculaires.
Propriété : soient 𝑢(⃗ et 𝑣⃗ deux vecteurs du plan.
𝑢(⃗ ⊥ 𝑣⃗ ⟺ 𝑢(⃗. 𝑣⃗ = 0 Démonstration :
Soient 𝑢(⃗ et 𝑣⃗ deux vecteurs orthogonaux, on a deux cas :
si 𝑢(⃗ = 0(⃗ ou 𝑣⃗ = 0(⃗, alors le produit scalaire est évidemment nul ; si 𝑢(⃗ et 𝑣⃗ sont non-nuls, avec les notations de la définition précédente,
on a (𝑂𝐴) perpendiculaire à (𝑂𝐵), le projeté orthogonal de 𝐵 sur (𝑂𝐴) est 𝑂 donc 𝑢(⃗. 𝑣⃗ = 𝑂𝐴 × 𝑂𝑂 = 0.
Partie 3 : autres expressions du produit scalaire
a) Définition avec le cosinus Définition : angle de deux vecteurs Soient 𝑢(⃗ et 𝑣⃗ deux vecteurs non-nuls.
On note (𝑢(⃗ ; 𝑣⃗ ) l’angle géométrique 𝐴𝐵𝐶5, avec 𝑢(⃗ = 𝐴𝐵(((((⃗ et 𝑣⃗ = 𝐴𝐶(((((⃗
Propriété : définition avec le cosinus
Soient 𝑢(⃗ et 𝑣⃗ deux vecteurs non nuls. Le produit scalaire de 𝑢(⃗ par 𝑣⃗ noté 𝑢(⃗. 𝑣⃗ est le nombre réel défini par : 𝑢(⃗. 𝑣⃗ = ‖𝑢(⃗‖ × ‖𝑣⃗‖ × cos(𝑢(⃗; 𝑣⃗)
Démonstration : Posons 𝑢(⃗ = 𝑂𝐴(((((⃗ , 𝑣⃗ = 𝑂𝐵(((((⃗ et :𝑂𝐴(((((⃗; 𝑂𝐵(((((⃗; = 𝜗 (en radians) Si 𝝑 est un angle aigu : Si 𝝑 est un angle obtus : 𝑂𝐴(((((⃗. 𝑂𝐵(((((⃗ = 𝑂𝐴 × 𝑂𝐻 𝑂𝐴(((((⃗. 𝑂𝐵(((((⃗ = −𝑂𝐴 × 𝑂𝐻
= 𝑂𝐴 × 𝑂𝐵 × cos 𝜗 = −𝑂𝐴 × 𝑂𝐵 × cos(𝜋 − 𝜗)
= 𝑂𝐴 × 𝑂𝐵 × cos 𝜗
Cas particuliers : Si 𝑢(⃗ = 0(⃗ , ou si 𝑣⃗ = 0(⃗ , alors 𝑢(⃗. 𝑣⃗ = 0 𝑢(⃗. 𝑢(⃗ = ‖𝑢(⃗‖? soit 𝐴𝐵(((((⃗. 𝐴𝐵(((((⃗ = @𝐴𝐵(((((⃗@? = 𝐴𝐵? Notation : On note 𝑢(⃗? = 𝑢(⃗. 𝑢(⃗ le carré scalaire de 𝑢(⃗.
Propriétés : pour tous vecteurs 𝑢(⃗, 𝑣⃗ et 𝑤((⃗ et pour tout réel 𝑘,
1. 𝑢(⃗. 𝑣⃗ = 𝑣. 𝑢(⃗ (1 : le produit scalaire est symétrique) 2. 𝑢(⃗. (𝑣⃗ + 𝑤((⃗) = 𝑢(⃗. 𝑣⃗ + 𝑢(⃗. 𝑤((⃗ (2 + 3 : le produit scalaire est bilinéaire) 3. (𝑘𝑢(⃗). 𝑣⃗ = 𝑘(𝑢(⃗. 𝑣⃗)
Remarque : les égalités 1. et 3. se démontrent aisément avec la propriété car cos 𝜗 = cos(−𝜗) Exemple : (2𝑢(⃗ − 3𝑣⃗). (2𝑢(⃗ + 𝑣⃗) = 4𝑢(⃗. 𝑢(⃗ + 2𝑢(⃗. 𝑣⃗ − 6𝑣⃗. 𝑢(⃗ − 3𝑣⃗. 𝑣⃗ = 4𝑢(⃗?− 4𝑢(⃗. 𝑣⃗ − 3𝑣⃗?
Attention ! 𝑢(⃗. 𝑣⃗. 𝑤((⃗, 𝑢(⃗. 𝑣⃗ + 𝑤((⃗ ou 𝑢(⃗. (𝑘 + 𝑣⃗) n’ont pas de sens !!
Conséquence : identités vectoriels remarquables
(𝑢(⃗ + 𝑣⃗)? = 𝑢(⃗?+ 2𝑢(⃗. 𝑣⃗ + 𝑣⃗? (𝑢(⃗ − 𝑣⃗)? = 𝑢(⃗?− 2𝑢(⃗. 𝑣⃗ + 𝑣⃗? (𝑢(⃗ + 𝑣⃗). (𝑢(⃗ − 𝑣⃗) = 𝑢(⃗?− 𝑣⃗? Démonstration : d’après les propriétés précédentes.
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Autrement dit : 𝑢(⃗. 𝑣⃗ =H?(‖ 𝑢(⃗ + 𝑣⃗‖?− ‖𝑢(⃗‖?− ‖𝑣⃗‖?) Exemple : trois façons de procéder
Soient 𝐴𝐵𝐶 un triangle équilatéral tel que 𝐴𝐵 = 3, 𝐸, 𝐹 et 𝐷 les milieux respectifs de [𝐴𝐵], [𝐵𝐶] et [𝐴𝐶].
Alors :
𝐴𝐵(((((⃗. 𝐴𝐶(((((⃗ = 𝐴𝐵 × 𝐴𝐶 × cos:𝐴𝐵(((((⃗; 𝐴𝐶(((((⃗; = 3 × 3 × cosNO =?P 𝐴𝐵(((((⃗. 𝐴𝐶(((((⃗ = 𝐴𝐵(((((⃗. 𝐴𝐸(((((⃗ = 𝐴𝐵 × 𝐴𝐸 = 3 ×O?= P?
𝐴𝐵(((((⃗. 𝐴𝐶(((((⃗ =H?Q@ 𝐴𝐵(((((⃗ + 𝐴𝐶(((((⃗@?− @𝐴𝐵(((((⃗@?− @𝐴𝐶(((((⃗@?R =H?Q@ 𝐴𝐺(((((⃗@?− 𝐴𝐵?− 𝐴𝐶?R =H?Q√27?− 3?− 3?R = P? Théorème : théorème d’Al Kashi
Soit 𝐴𝐵𝐶 un triangle tel que 𝐵𝐶 = 𝑎, 𝐴𝐶 = 𝑏 et 𝐴𝐵 = 𝑐.
Alors 𝑎? = 𝑏?+ 𝑐?− 2𝑏𝑐 cos 𝐵𝐴𝐶5 Démonstration :
𝐵𝐶(((((⃗ = 𝐵𝐴(((((⃗ + 𝐴𝐶(((((⃗ d’après la relation de Chasles.
Donc 𝐵𝐶? = 𝐵𝐶(((((⃗? = :𝐵𝐴(((((⃗ + 𝐴𝐶(((((⃗ ;? = 𝐵𝐴(((((⃗?+ 2𝐵𝐴(((((⃗. 𝐴𝐶(((((⃗ + 𝐴𝐶((((((((⃗? = 𝐵𝐴(((((⃗? − 2𝐴𝐵(((((⃗. 𝐴𝐶(((((⃗ + 𝐴𝐶((((((((⃗?
= 𝐴𝐵?− 2𝐴𝐵 × 𝐴𝐶 × cos 𝐵𝐴𝐶5 + 𝐴𝐶? Remarque : le théorème de Pythagore est donc généralisé.
b) Expression analytique
Théorème : expression analytique du produit scalaire Dans un repère orthonormé (𝑂; 𝚤⃗, 𝚥⃗), si 𝑢(⃗ Q𝑥
𝑦R et 𝑣⃗ ^𝑥′
𝑦′` alors 𝑢(⃗. 𝑣⃗ = 𝑥𝑥a+ 𝑦𝑦′
Remarque : On retrouve ‖𝑢(⃗‖? = 𝑢(⃗. 𝑢(⃗ = 𝑥?+ 𝑦?
𝐴𝐵? = 𝐴𝐵(((((⃗. 𝐴𝐵(((((⃗ = (𝑥b− 𝑥c)?+ (𝑦b− 𝑦c)?
Exemple : Soient 𝐴(2 ; 3), 𝐵(−1 ; 4) et 𝐶(−2 ; 1) trois points dans le plan muni d’un repère orthonormal.
𝐴𝐵(((((⃗ Q−31 R 𝐵𝐶(((((⃗ Q−1−3R 𝐴𝐵(((((⃗. 𝐵𝐶(((((⃗ = −3 × (−1) + 1 × (−3) = 3 − 3 = 0 Conséquence : Dans un repère orthonormal, 𝑢(⃗ et 𝑣⃗ sont orthogonaux
ssi 𝑥𝑥’ + 𝑦𝑦’ = 0
Partie 4 : étude d’ensemble de points
Propriété : transformation d’une expression
Étant donné un segment [𝐴𝐵]et son milieu 𝐼, on a 𝑀𝐴((((((⃗. 𝑀𝐵((((((⃗ = 𝑀𝐼?−Hh𝐴𝐵? Démonstration :
𝑀𝐴((((((⃗. 𝑀𝐵((((((⃗ = :𝑀𝐼(((((⃗ + 𝐼𝐴((((⃗;. :𝑀𝐼(((((⃗ + 𝐼𝐵((((⃗; = :𝑀𝐼(((((⃗ + 𝐼𝐴((((⃗;. :𝑀𝐼(((((⃗ − 𝐼𝐴((((⃗; = 𝑀𝐼(((((⃗?− 𝐼𝐴((((⃗? = 𝑀𝐼?− 𝐼𝐴? Or 𝐼𝐴 =cb? donc 𝑀𝐴((((((⃗. 𝑀𝐵((((((⃗ = 𝑀𝐼?− Qcb?R? = 𝑀𝐼?−cbhi
Exemple : déterminer l’ensemble des points 𝑀 tels que 𝑀𝐴((((((⃗. 𝑀𝐵((((((⃗ = 2 avec 𝐴 et 𝐵 tels que 𝐴𝐵 = 8.
Appelons 𝐼 le milieu du segment [𝐴𝐵].
Alors 𝑀𝐴((((((⃗. 𝑀𝐵((((((⃗ = 2 ⟺ 𝑀𝐼?−Hh𝐴𝐵? = 2 ⟺ 𝑀𝐼? = 2 +Hh8? = 2 +khh = 2 + 16 = 18 Donc l’ensemble des points 𝑀 est le cercle de centre 𝐼 et de rayon √18 = 3√2.
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Propriété : cercle défini par un diamètre [𝑨𝑩]
Soit 𝒞 le cercle de diamètre [𝐴𝐵].
𝑀 ∈ 𝒞 ⟺ ABM est un triangle rectangle en 𝑀 ⟺ 𝑀𝐴((((((⃗. 𝑀𝐵((((((⃗ = 0
Démonstration : 𝑀𝐴((((((⃗. 𝑀𝐵((((((⃗ = 0 ⟺ 𝑀𝐼?−Hh𝐴𝐵? = 0 ⟺ 𝑀𝐼? =Hh𝐴𝐵? ⟺ MI =H?𝐴𝐵
(on peut enlever les carrés et passer à la racine carrée car toutes les quantités sont positives) Ainsi, les points 𝑀 sont sur le cercle de centre 𝐼 et de rayon 𝐼𝐴 =H?𝐴𝐵
Propriété : cercle et triangle rectangle
Un triangle 𝐴𝐵𝐶 est rectangle en 𝐶 si et seulement si le point 𝐶 appartient au cercle de diamètre [𝐴𝐵] (𝐶 différent de 𝐴 et 𝐵)
Démonstration : 𝐴𝐵𝐶 triangle rectangle en 𝐶 ⟺ 𝐶𝐴(((((⃗. 𝐶𝐵(((((⃗ = 0 donc d’après la propriété précédente, 𝐶 appartient au cercle de diamètre [𝐴𝐵].
