I. Produit scalaire : du plan à l’espace A. Rappels dans le plan

Chapitre 14 – Géométrie dans l’espace – Partie 2 – Produit scalaire Page 1 sur 3

Terminale S. – Lycée Desfontaines – Melle

Chapitre 14 – Géométrie dans l’espace Partie 2 – Produit scalaire

I. Produit scalaire : du plan à l’espace A. Rappels dans le plan

Dans cette partie, on considère deux vecteurs Åu et Åv non nuls du plan et les points A, B et C tels que Åu=ÄAB et Åv=ÄAC. On dispose de plusieurs expressions du produit scalaire :

1. Avec le cosinus

o Le produit scalaire de Åu par Åv est le réel défini par Åu.Åv=

║ ║

^{Åu ×}

║ ║

^{Åv ×cos}

(

^{Åu; Åv}

)

^.

o De même, le produit scalaire de ÄAB par ÄAC est défini par ÄAB.ÄAC=

║

^ÄAB

║

^×

║

^ÄAC

║

^×cos

(

^ÄAB;ÄAC

)

o Par convention, si Åu= Å0 ou si Åv= Å0 alors Åu.Åv=0 Remarques

o Si Åu et Åv sont colinéaires alors

 



Åu.Åv=

║ ║

^Åu ×

║ ║

^Åv si Åu et Åv sont de même sens Åu.Åv=-

║ ║

^Åu ×

║ ║

^Åv si Åu et Åv sont de sens contraires o Si ÄAB et ÄAC sont colinéaires alors



ÄAB.ÄAC=AB×AC si ÄAB et ÄAC sont de même sens ÄAB.ÄAC=-AB×AC si ÄAB et ÄAC sont de sens contraires o Conséquence : Åu.Åu=

║ ║

^{Åu 2 et ÄAB.ÄAB=AB2}

2. Avec une projection orthogonale

En notant H le projeté orthogonal de C sur (AB), on a ÄAB.ÄAC=ÄAB.ÄAH =



AB×AH si ÄAB et ÄAH sont de même sens -AB×AH si ÄAB et ÄAH sont de sens contraires 3. Avec des coordonnées dans un repère orthonormé

Dans un repère orthonormé

(

^{O; Åi; Åj}

)

^{, soient Åu et Åv} deux vecteurs de coordonnées

 

 

x y et

 

 

x′

y′

Alors Åu.Åv=xx′+yy′ et en particulier

║ ║

^Åu = Åu.Åu= x²+y² 4. Avec des normes

Åu.Åv=1

2

( ^║

^{Åu+ Åv}

^║

²⁻

^{║ ║}

^{Åu 2−}

^{║ ║}

^{Åv 2}

)

⁼¹₂

( ^{║ ║}

^{Åu 2+}

^{║ ║}

^{Åv 2−}

^║

^{Åu− Åv}

^║

²

)

⁼¹₄

( ^║

^{Åu+ Åv}

^║

²⁻

^║

^{Åu− Åv}

^║

²

)

B. Extension à l’espace

1- Définition

Soit Åu et Åv deux vecteurs de l’espace. Soit A, B, C trois points de l’espace tels que Åu=ÄAB et Åv=ÄAC. Il existe au moins un plan P contenant les points A, B, C (P est unique si les trois points ne sont pas alignés).

Le produit scalaire des vecteurs Åu et Åv noté Åu.Åv, est le produit scalaireÄAB.ÄAC calculé dans le plan P. 2- Avec le cosinus

On a alors Åu.Åv =AB×AC×cosθ où θ est l’angle géométrique ÆB A C. (Il n’y a pas d’orientation naturelle pour un angle de vecteurs dans l’espace).

3- Avec une projection orthogonale

Soient Åu et Åv deux vecteurs de l’espace et soient A, B, C trois points de l’espace tels que Åu=ÄAB et Åv

=ÄAC. On appelle H le projeté orthogonal du point C sur la droite (AB).

Alors Åu.Åv =ÄAB.ÄAC =ÄAB.ÄAH 4- Avec des coordonnées

Si dans un repère orthonormal

(

^{O i j k, , ,}

)

, les vecteurs Åu et Åv ont pour coordonnées respectives (x,y,z) et (x′,y′,z′) alors Åu.Åv=xx′+yy′+z z′.

Chapitre 14 – Géométrie dans l’espace – Partie 2 – Produit scalaire Page 2 sur 3 Conséquence : Åu.Åu=x²+y²+z² donc Åu= Åu. Åu= x²+y²+z²

Remarque : Åu.Åu =ÄAB.ÄAB =AB² =Åu². 5- Avec les normes

Les expressions dans le plan sont valables dans l’espace : Åu.Åv=1

2

( ^║

^{Åu+ Åv}

^║

²⁻

^{║ ║}

^{Åu 2−}

^{║ ║}

^{Åv 2}

)

⁼¹₂

( ^{║ ║}

^{Åu 2+}

^{║ ║}

^{Åv 2−}

^║

^{Åu− Åv}

^║

²

)

⁼¹₄

( ^║

^{Åu+ Åv}

^║

²⁻

^║

^{Åu− Åv}

^║

²

)

6- Propriétés algébriques

Règles de calculs : Pour tous vecteurs Åu, Åv et w et pour tout réel k, on a : Å

Åu.Åv= Åv.Åu

(

kÅu

)

.Åv= Åu.

(

kÅv

)

=k

(

^Åu.Åv

)

Åu.

(

^Åv+ Åw

)

= Åu.w +Å Åu.Åw

(

^{Åu+ Åv}

)

²⁼

( )

^{Åu 2+2Åu.Åv+}

( )

^{Åv 2}

(

^{Åu− Åv}

)

²⁼

( )

^{Åu 2-2Åu.Åv+}

( )

^{Åv 2}

(

^{Åu+ Åv}

) (

^{Åu− Åv}

)

⁼

( )

^{Åu 2−}

( )

^{Åv 2}

II. Applications du produit scalaire

A. Rappels et compléments dans le plan

Deux vecteurs sont orthogonaux ssi leur produit scalaire est nul

Formules d’Al-Kashi : Pour tout triangle ABC, on a :

• a²=b²+c²−2b ccosAÇ b²=a²+c²−2a ccosBÇ c²=a²+b²−2a bcosC Ç

• a

sinAÇ

= b sinBÇ

= c sinCÇ

Aire(ABC)=1

2b csinAÇ=1

2a bsinC=Ç 1

2a csinB Ç Théorème de la médiane :

Soit I le milieu d’un segment [AB] alors pour tout point M du plan : MA²+MB²=2MI²+1 2AB²

Vecteur normal et équation cartésienne d'une droite :

Un vecteur normal à une droite D est un vecteur non nul dont la direction est perpendiculaire à celle de D_. Remarques :

- Un vecteur normal à une droite est donc un vecteur directeur de toute droite perpendiculaire à D_.

- pour montrer que deux droites sont perpendiculaires, on peut montrer soit que le produit scalaire de deux vecteurs directeurs respectifs est égal à 0 soit que le produit scalaire de deux vecteurs normaux respectifs est égal à 0.

- Théorème des trois perpendiculaires : Une droite D de vecteur directeur Åu est orthogonale à un plan P si et seulement si il existe deux vecteurs Åv et w non colinéaires du plan Å P tels que Åu.Åv= Åu.w=0 Å

Soit D une droite, A un point de D et Åu un vecteur normal à D. La droite D est l’ensemble des points M du plan tels que ÄAM.Åu=0.

C'est à dire M ∈ D ⇔ ÄAM.Åu=0

Conséquence : Soit

(

O,Åi,Åj

)

un repère orthonormal et Åu

 

 

a

b un vecteur non nul.

- si le vecteur Åu est normal à une droite D alors D a une équation cartésienne de la forme a x+b y+c=0 (où c est un réel) - réciproquement, toute droite ayant une équation cartésienne de la forme a x+b y+c=0 (avec

 

 

a b ≠

 

 

0

0 ) admet le vecteur Åu

 

 

a

b comme vecteur normal

Caractérisation d'un cercle de centre et de rayon donné Soit Ω un point du plan et r un réel positif .

Le cercle C de centre Ω et de rayon r est l’ensemble des points M du plan tels que ÄΩM²=r² Conséquence : le cercle C de centre Ω

(

^xΩ;y_Ω

)

et de rayon R (R>0) admet pour équation

(

^x−xΩ

)

2+

(

^y−yΩ

)

2=R²

Caractérisation d'un cercle de centre et de rayon donné

Soit A et B deux points distincts du plan. La cercle C de diamètre [AB] est l’ensemble des points M du plan tels que ÄMA.ÄMB=0

Chapitre 14 – Géométrie dans l’espace – Partie 2 – Produit scalaire Page 3 sur 3 Distance d'un point à une droite :

Soit A un point, D une droite et H le projeté orthogonal de A sur D_.

• Si B est un point de D _et Ån un vecteur normal à D alors la distance de A à D _est AH=

|

^ÄBA.Ån

|

║ ║

^Ån

• Dans un repère orthonormé, Si A

(

^xA;yA

)

^{et D} a pour équation a x+b y+c=0 (avec a ou b non nuls) alors AH=

|

^{a x}A+b y_A+c

|

a²+b²

B. Dans l'espace

…"le plan est à l'espace ce que la droite est au plan"

Deux vecteurs sont orthogonaux ssi leur produit scalaire est nul

Propriété : Une droite D de vecteur directeur Åu est parallèle à un plan P de vecteur normal Ån si et seulement si Åu.Åv=0.

Dans l'espace… l'ensemble des points M tels que ÄAM.Ån=0 ne caractérise pas une droite…

mais un plan contenant A de vecteur de normal Ån …

Par conséquent, le plan est caractérisé par une équation cartésienne contrairement à la droite…

Conséquence : Dans un repère orthogonal, un plan P de vecteur normal Ån(a,b,c) a une équation cartésienne de la forme a x+by+cz+d=0 où d est un réel.

Réciproque : a,b,c,d étant des réels donnés, avec a,b,c non tous nuls, l’ensemble des points M(x;y;z) tels que a x+b y+cz+d=0 est un plan dont un vecteur normal est Ån(a,b,c).

Equation cartésienne des plans de base :

x=0 est une équation du plan yOz ; y=0 est une équation du plan xOz ; z=0 est une équation du plan xOy Demi-espace :

P est un plan d’équation a x+b y+cz+d=0 dans un repère orthogonal.

L’ensemble des point M(x;y;z) tels que a x+b y+cz+dÃ0 et l’ensemble des points M(x;y;z) tels que a x+by+cz+dÂ0 sont deux parties de l’espace qui admettent P comme frontière commune. Elles sont appelées demi-espaces fermés de frontière P. On définit de même les demi-espaces ouverts de frontière P par l’ensemble des points M(x;y;z) tels que a x+b y+cz+d<0 et l’ensemble des points M(x;y;z) tels que a x+b y+cz+d>0.

Les demi-espaces sont les parties de l’espace qui se trouvent "de part et d’autre" du plan donné.

Caractérisation d'uns sphère :

Dans l’espace : La sphère de centre Ω

(

^xΩ;y_Ω;z_Ω

)

et de rayon R(R>0) admet pour équation :

(

^x−xΩ

)

2+

( )

^yyΩ

2+

(

^z−zΩ

)

2=R² La sphère de diamètre [AB] est l’ensemble des points M de l’espace tels que ÄMA.ÄMB=0

Distance d'un point à un plan :

Soit P un plan de vecteur normal Ån et A un point de l’espace. Soit A′ le projeté orthogonal de A sur P.

• La distance du point A au plan P est d(A;P)=AA′=|ÄAA′.Ån|



 Ån

• Dans un repère orthogonal, la distance du point A de coordonnées (α,β,γ) au plan P d’équation cartésienne a x+b y+cz+d=0 est égale à d(A;P)

=|aα+bβ+cγ+d|

a²+b²+c²

III.

Exercices

Certaines questions des exercices portant sur le produit scalaire faisant aussi intervenir d’autres notions, ces derniers sont proposés avec les exercices de la partie 3

.